面向?qū)ο笥?jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的一種時(shí)間最優(yōu)滑模算法

朱 斌

（吉林省促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展服務(wù)中心，吉林 長春 130033）

0 引 言

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)和自動(dòng)化儀表裝置與被控對(duì)象連接而成的具有各種自動(dòng)化功能的技術(shù)工程系統(tǒng)。近年來，隨著單片機(jī)、DSP（Digital Signal Processing）、FPGA（Field－Programmable Gate Array）等微處理器的迅猛發(fā)展，已經(jīng)使計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)具有集成化越來越高、體積越來越小、處理速度越來越快等優(yōu)點(diǎn)。時(shí)間最優(yōu)控制［1－2］理論上是改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性行之有效的方法，但在實(shí)際應(yīng)用中由于不斷以正反兩個(gè)方向系統(tǒng)所能承受的最大控制信號(hào)施加到控制系統(tǒng)中，使系統(tǒng)的超調(diào)量變大，容易產(chǎn)生震顫，即系統(tǒng)魯棒性變差?；？刂聘鶕?jù)當(dāng)前狀態(tài)有目的使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不斷改變，使系統(tǒng)具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已成為研究熱點(diǎn)［3－8］。

文中面向?qū)ο箅姍C(jī)提出對(duì)電機(jī)控制系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)滑?？刂?。將時(shí)間最優(yōu)控制的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)為滑模面切換函數(shù)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制策略使系統(tǒng)狀態(tài)快速趨近滑模面，并沿著滑模面快速達(dá)到空間平衡點(diǎn)，這樣既保證了系統(tǒng)的快速性，又保證系統(tǒng)具有魯棒性。進(jìn)行了大量理論仿真研究計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中全數(shù)字化時(shí)間最優(yōu)滑模控制，取得很好的控制效果。

1 面向?qū)ο笥?jì)算機(jī)控制系統(tǒng)模型的建立

控制對(duì)象為永磁同步電機(jī)，采用id＝0的控制方式可以使單位定子電流獲得最大轉(zhuǎn)矩。PMSM在dq坐標(biāo)系下電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：Te——電磁轉(zhuǎn)矩；

p0——磁極對(duì)數(shù)；

Ψf——永磁體磁鏈；

iq——旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系q軸電流分量；

id——旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系d軸電流分量；

Kt——電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)；

J——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

wm——轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；

θm——轉(zhuǎn)子機(jī)械角位置；

Tl——負(fù)載轉(zhuǎn)矩；

B——摩擦系數(shù)。

在不考慮外部負(fù)載擾動(dòng)Tl情況下，根據(jù)式（1）和式（2）伺服系統(tǒng)角位置的傳遞函數(shù)：

由于J?B，故可將式（3）中摩擦系數(shù)B忽略，即式（3）可寫為：

所以，此系統(tǒng)的模型可用雙積分環(huán)節(jié)代替，即狀態(tài)空間可表示為：

設(shè)狀態(tài)變量

式中：θ——轉(zhuǎn)子的機(jī)械角位移；

θr——給定的角位移；

w——角速度。

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，式（5）可表示為：

式中：T——采樣周期。

2 時(shí)間最優(yōu)控制算法

線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全可控，狀態(tài)方程

時(shí)間最優(yōu)控制為使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x（0）＝x0轉(zhuǎn)移到空間狀態(tài)平衡點(diǎn)（即x（tf）＝0）的時(shí)間最短［9］。性能指標(biāo)如下：

式中：tf——最終時(shí)刻；

u（t）——控制律。

式（7）取最小值的控制過程。文中

式中：A——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；

B——控制矩陣。

令式（5）中u（t）＝umax，得

解方程（8）得

由上式得時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)軌跡切換函數(shù)：

式中：sgn——符號(hào)函數(shù)。

由文獻(xiàn)［2］知時(shí)間最優(yōu)控制律為：

式中：umax——控制量u的最大值。

3 時(shí)間最優(yōu)滑模控制算法

由文獻(xiàn)［6］知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量處于滑模面時(shí)，系統(tǒng)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)具有很好的魯棒性。因此，如果將滑模面函數(shù)取為時(shí)間最優(yōu)控制軌跡構(gòu)成時(shí)間最優(yōu)滑模控制器。采取相應(yīng)控制策略使系統(tǒng)任一初始狀態(tài)快速平穩(wěn)地趨近滑模面，并沿著滑模面運(yùn)動(dòng)。保證系統(tǒng)狀態(tài)快速平穩(wěn)地沿著時(shí)間最優(yōu)軌線運(yùn)動(dòng)，避免由于時(shí)間最優(yōu)控制在±umax控制量切換時(shí)引起的震顫。

滑模面切換函數(shù)為：

為了保證時(shí)間最優(yōu)滑?？刂瓶焖仝吔Ｃ妫闹胁捎弥笖?shù)趨近率形式如式（6），指數(shù)趨近率趨近速度從以較大值逐步減小到零，不僅縮短了趨近時(shí)間，而且還保證狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑模面時(shí)速度很小，避免系統(tǒng)震顫。

由式（6）、式（12）和式（13）得

整理得出基于指數(shù)趨近率的時(shí)間最優(yōu)控制器為：

選取Lyapunov函數(shù)為

則

4 理論仿真研究

在Matlab中建立仿真模型并進(jìn)行理論仿真研究，仿真模型如圖1所示。

圖1 時(shí)間最優(yōu)滑模控制系統(tǒng)框圖

全數(shù)字化時(shí)間最優(yōu)滑模算法在S－Function中實(shí)現(xiàn)，仿真算法中，ky＝1，kv＝13.0／0.518 5，T＝1／800s，ε＝1.952，g＝13，umax＝15。

分別以180°、90°、60°階躍信號(hào)為捕獲目標(biāo)進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 180°階躍信號(hào)仿真結(jié)果

圖3 90°階躍信號(hào)仿真結(jié)果

圖4 60°階躍信號(hào)仿真結(jié)果

定量仿真結(jié)果見表1。

表1 時(shí)間最優(yōu)滑模算法定量仿真結(jié)果

從圖2～圖4及表1可知，時(shí)間最優(yōu)滑?？刂扑惴ㄉ仙龝r(shí)間及調(diào)節(jié)時(shí)間短，超調(diào)量接近0。從以上分析可知，時(shí)間最優(yōu)滑?？刂祈憫?yīng)速度快，穩(wěn)態(tài)誤差小，定位精度高，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié) 語

提出了時(shí)間最優(yōu)滑?？刂扑惴ǎ鶕?jù)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的特點(diǎn)進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)滑?？刂扑惴ǖ娜珨?shù)字化研究。該算法的滑模面為時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)計(jì)相應(yīng)的趨近率。使時(shí)間最優(yōu)滑?？刂撇粌H具有時(shí)間最優(yōu)控制與滑?？刂频目焖僬{(diào)節(jié)性，還有滑?？刂频聂敯粜?。最終以180°、90°、60°階躍信號(hào)進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果為時(shí)間最優(yōu)滑?？刂普{(diào)節(jié)時(shí)間、上升時(shí)間短，超調(diào)量為0。最終結(jié)果表明，時(shí)間最優(yōu)滑?？刂普{(diào)節(jié)時(shí)間短、超調(diào)小、穩(wěn)態(tài)值平穩(wěn)、穩(wěn)態(tài)誤差小、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)適合應(yīng)用于光電跟蹤系統(tǒng)目標(biāo)快速捕獲，具有重要的研究與應(yīng)用價(jià)值。

［1］ 程國揚(yáng)，曾佳福.快速定位伺服系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009（1）：52－56.

［2］ Zhang D Q，Guo G X.Discrete－time sliding mode proximate time optimal seek control of hard disk drives［J］.Control Theory and Applications，IEE Proceedings，2000，147（4）：440－446.

［3］ 常琳，金光，范國偉，等.基于terminal滑?？刂频男⌒l(wèi)星機(jī)動(dòng)方法［J］.光 學(xué)精密工程，2015（2）：485－496.

［4］ Ji Y J，Lee C W，Chung C C，et al.A discrete－time modified sliding mode proximate time－optimal servomechanism for scanning－probe－microscope－based data storage［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2008，44（11）：3750－3753.

［5］ Jin M，Lee J，Ahn K K.Continuous nonsingular terminal sliding－mMode control of shape memory alloy actuators using time delay estimation［J］.Mechatronics IEEE／ASME Transactions on，2015，20（2）：899－909.

［6］ 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2012.

［7］ 姚禹，杜江，姜大偉，等.伺服系統(tǒng)復(fù)合滑?？刂品抡娣治觯跩］.長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，33（6）：611－614.

［8］ 張顯偉，吳忠偉，張鳳海，等.移動(dòng)機(jī)器人模糊滑模軌跡跟蹤控制［J］.長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（4）：373－378.

［9］ 李鳳俐.時(shí)間最優(yōu)控制理論在雷達(dá)伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.測(cè)控技術(shù)，2008（6）：47－49.