且行且思考
——記一次說題比賽的歷程

●徐建平 (海寧中學(xué) 浙江海寧 314408)

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且行且思考
——記一次說題比賽的歷程

●徐建平 (海寧中學(xué) 浙江海寧 314408)

傅瑞琦老師在文獻(xiàn)[1]中提到“習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)活動中不可缺少的重要組成部分，通過分析解題思路、反思解題過程、拓展習(xí)題內(nèi)容形式，加固學(xué)生的知識系統(tǒng)，加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，形成完整、合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”.從某種程度上說，數(shù)學(xué)教學(xué)的主體是習(xí)題教學(xué)，習(xí)題教學(xué)承載著數(shù)學(xué)教學(xué)興盛的使命.如何將習(xí)題的功能更好地發(fā)揮，這成為教師教學(xué)研究的一個熱點.說題，應(yīng)運而生.作為一個新興的教研活動載體，說題從構(gòu)成(條件、結(jié)論分析)、解法、背景、拓展、作用等角度，展示試題的功能，從中揭示教學(xué)的內(nèi)涵與本質(zhì).同時也為教師“如何恰當(dāng)?shù)卦谡n堂教學(xué)中選擇典型例題、在課后練習(xí)中選擇習(xí)題、在考試中選擇考題”提供了更多思考.本著學(xué)習(xí)提高的宗旨，筆者近日有幸參加了浙江省嘉興市學(xué)科基地組織的首次說題比賽，一路走來，感慨頗多.

1 準(zhǔn)備

題目 已知直線y=k(x+2)(其中k>0)與拋物線C:y2=8x相交于點A,B，其中點F為拋物線C的焦點.若|FA|=2|FB|，試求k的值.

拿到題目，首先要考證題目的來源.此題是2009年全國數(shù)學(xué)高考理科第9題，主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義等知識，滲透了高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)方程思想.該題在各地的模擬試題中多次被引用，最近一次出現(xiàn)在2014年內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯第2次仿真模擬考試中.

一個試題能多次被引用，說明其作為試題的價值不菲.本著這樣的想法，筆者開始積極構(gòu)建.

1.1 說構(gòu)成，解題前的準(zhǔn)備

閱讀題目，分析構(gòu)成，發(fā)現(xiàn)：一條直線y=k(x+2)(其中k>0)待定，一條拋物線C:y2=8x已知，2者之間的關(guān)系：相交.由此形成問題的焦點：交點與拋物線焦點的連線對應(yīng)成比例.結(jié)論為探求該直線的斜率，即k的值.通過解讀，確定本題以直線與拋物線的相對位置關(guān)系為主要考查點，以|FA|=2|FB|為出發(fā)點，考查直線的斜率.因此，可以確定|FA|=2|FB|是本題的題眼，那么如何利用好這一題眼，也就成了解決本題的關(guān)鍵.

1.2 說解法，展現(xiàn)問題解決多元化

通過對試題條件與結(jié)論的分析，了解試題的構(gòu)成之后，筆者以題眼為基準(zhǔn)，展開思考，構(gòu)建解法.考慮到本題是一個解析幾何問題，其典型性在于如何利用代數(shù)的方法解決；而其本身還是幾何問題，幾何有幾何的特點.因此，在考慮本題的解法時，主要還是從代數(shù)與幾何這2個角度試圖呈現(xiàn)，實現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.

1.2.1 代數(shù)解決，凸顯解析幾何通性通法

試題的教學(xué)與分析，要從學(xué)生出發(fā)，學(xué)會揣摩學(xué)生心理，貼近學(xué)生實際，這樣的試題分析，才能獲得更多學(xué)生的認(rèn)可.從學(xué)生角度考慮，條件分析后發(fā)現(xiàn)是關(guān)于直線與拋物線相交的位置關(guān)系，則可從聯(lián)立方程的角度去解決，這體現(xiàn)了解析幾何問題解決的一貫思維——通性通法.

解法1體現(xiàn)了解析幾何解決問題的一貫方式：代數(shù)方法解決幾何問題，同時也是學(xué)生所能夠并且也是最愿意接受的，因此要重點掌握.

再作思考，直線與拋物線相交，根據(jù)|FA|=2|FB|，可以得到2個交點相應(yīng)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，如果能夠利用交點的位置來確定點B的坐標(biāo)，那么利用兩點求斜率公式就可得到k的值.

解法2的精妙之處在于：2條焦半徑之間的比例關(guān)系與拋物線的定義發(fā)生了聯(lián)系，再結(jié)合拋物線方程，建立了橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，由此得到點B的坐標(biāo)，獲得問題解決的關(guān)鍵.

1.2.2 幾何推理，彰顯幾何的簡潔美

解析幾何是幾何的重要組成部分，其研究的方向是：根據(jù)已知條件，求解曲線的方程；根據(jù)給定的曲線方程，研究曲線的幾何性質(zhì).以代數(shù)的方式解決幾何問題，體現(xiàn)了幾何的代數(shù)特征，凸顯了數(shù)與形之間的聯(lián)系.如此，是否可以回歸幾何，通過幾何推理，尋求問題解決的方法？筆者結(jié)合拋物線的定義，通過添加部分輔助線后，豁然開朗！

圖1

由此獲得第3種解法：如圖1，利用拋物線定義，轉(zhuǎn)化|FA|=2|FB|得到|AM|=2|BN|，確定點A,B,P的位置關(guān)系.根據(jù)三角形中位線定理及等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形確定點B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點斜率公式計算得到結(jié)論.

3種解法各具特色：解法1體現(xiàn)了聯(lián)立方程處理解析幾何問題的通性通法;解法2則充分利用拋物線的定義，通過轉(zhuǎn)化交點坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，確定點B的坐標(biāo)，利用兩點求斜率公式得到結(jié)論；而解法3則緊密聯(lián)系幾何性質(zhì)，利用幾何推理，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)得到等腰△OBF，并以此得到點B的坐標(biāo).問題解決相對簡潔，計算也非常簡單，這體現(xiàn)了幾何的簡潔美.如果說解法1和解法2是用代數(shù)的方式解決幾何問題，彰顯“解析”特性，那么解法3就是以“幾何”的方式揭示“幾何”本性.從數(shù)的角度計算幾何，從形的方面思考幾何，數(shù)與形在這里完美結(jié)合.得到上述解法后，還要能夠分析優(yōu)劣，加以理解，并最后形成對比，為后面的問題解決尋求更合適的方法.

1.3 說背景，尋根探源話變式、鏈接高考，呈現(xiàn)問題縱深性

對于任何一個試題，都要分解出其主要知識點、與教材的聯(lián)系及其所要呈現(xiàn)的功能，以及可能出現(xiàn)的拓展、變式等狀況.筆者在完成對解法的深入探究后，結(jié)合個人經(jīng)驗以及一些思考，嘗試著從探源、變式、鏈接高考的角度對該試題進(jìn)行深度挖掘.

1.3.1 尋根探源話變式

教學(xué)需要立足教材，以教材為綱，探尋試題與教材例習(xí)題之間的聯(lián)系.分析試題知識點，發(fā)現(xiàn)人教A版選修2-1中第69頁的例4是與之相關(guān)的問題：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于點A,B，求線段AB的長.

試題以聯(lián)立方程的形式，體現(xiàn)了直線與圓錐曲線相對位置關(guān)系的通性通法，同時也以數(shù)形結(jié)合的方式，突出了拋物線定義的重要性，這與本題的前2種解法不謀而合.

試題來源于教材，為教材服務(wù)，又要努力體現(xiàn)知識應(yīng)用的可能性與全面性.本題通過對課本例題的改編，利用條件的改變，同時圍繞直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查，體現(xiàn)了對解析幾何問題聯(lián)立方程這一通法的重要性.因此適當(dāng)?shù)淖兪接兄诩由顚栴}及其解決方法的理解.

這些變式都是從直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考查的通法——聯(lián)立方程入手，體現(xiàn)了問題解決的一貫原則：由一題多變到多題一解.

1.3.2 鏈接高考，體現(xiàn)問題功能性

數(shù)學(xué)試題的功能在于承載數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，也在于學(xué)生磨練之后在高考中能有所體現(xiàn).本題作為2009年的全國高考題，重點考查了直線與拋物線的位置關(guān)系.從近幾年各地高考和競賽試題來看，拋物線的定義、基本幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，甚至是一些與高等數(shù)學(xué)有關(guān)的初等數(shù)學(xué)問題解決，都是考查的熱點與難點.如2012年安徽省、重慶市、北京市的高考卷，2013年浙江省、全國大綱版高考卷，2014年海南省、四川省的高考卷，2014年重慶市高考卷在選修模塊中甚至以參數(shù)方程與極坐標(biāo)的形式對其進(jìn)行了考查.若將問題拓展到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，則這樣的高考試題不勝枚舉.

分析問題的條件與結(jié)論，尋找解決問題的方向，強化解題思路；拓展其各種變化，展示問題的全面性，拓寬學(xué)生問題研究的道路；挖掘問題深含的本質(zhì)，尋求問題解決的通法，幫助學(xué)生知一題而達(dá)一類.試題是數(shù)學(xué)問題的重要承載工具，試題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)一道重要工序.做好試題教學(xué)，有助于學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué).要做好試題教學(xué)，教師不能盲目追求數(shù)量而不顧質(zhì)量，應(yīng)該去教會學(xué)生思考，而且要善于思考.如何善于思考？一題多解、發(fā)散變式、尋蹤探源是不變的追求.這既能讓學(xué)生的思維獲得遷移、發(fā)散和開拓，又能促使學(xué)生溝通知識點之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.最后還要引導(dǎo)學(xué)生對比、小結(jié)，以此充分發(fā)掘試題潛能，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，并在更大程度上培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

2 后記

參加此次比賽，筆者花了4個多小時準(zhǔn)備，比賽時間為15分鐘，一等獎的結(jié)果讓筆者感到興奮，有運氣，也有諸多感慨.

2.1 說題需要勇氣

本次說題活動，采取比賽前一天通過郵件公布試題的方式，因此，時間緊、任務(wù)重是本次活動的最大特點.而拿到試題的同時，恰逢學(xué)校有事，時間更加緊迫.白天準(zhǔn)備基本沒有可能，一時有放棄的準(zhǔn)備.轉(zhuǎn)念一想，活動難得，一則可以展示一下自己對試題的理解功底，二則還可以近距離觀摩其他教師的說題內(nèi)容，學(xué)習(xí)他們分析試題的經(jīng)驗，可以為自己在今后的試題分析方面積累素材與經(jīng)驗.于是抱著不怕丟人的想法，利用晚上的休息時間，抓緊準(zhǔn)備，毅然參加了這次比賽.后來想想，勇氣來源于對知識的渴求.

2.2 說題需要理解

2.2.1 理解數(shù)學(xué)是說好題的前提

眾所周知，解數(shù)學(xué)題的本質(zhì)是：要找到并且規(guī)范而簡明地表述從題目已知條件到要求目標(biāo)的一系列命題轉(zhuǎn)化的道路.如何找到這條路，就需要對數(shù)學(xué)有比較深刻的理解.如何理解？筆者認(rèn)為可以從3個角度進(jìn)行探究：初級理解在于就題論題，從試題層面找到解決問題的方法，并能夠順利解決問題，甚至可以探尋一些一題多解問題；中級理解在于解題之后的反思，領(lǐng)會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，并能夠比較解法的優(yōu)劣，從而廣開思路，另辟蹊徑，探索最適合的解決問題的方法；高級理解在于不僅能夠一題多解，還要能夠通過搜集加工、自行設(shè)計一些問題，進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，并作適當(dāng)?shù)貧w納與提煉，以此達(dá)到“知一題而達(dá)一類”的效果.迪厄多內(nèi)說：任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對他所要處理的數(shù)學(xué)對象有一個可靠的“直覺”.說題的目的，最終在于能夠幫助學(xué)生找到這個“直覺”.

2.2.2 理解學(xué)生是說好題的關(guān)鍵

無論何種方式的教學(xué)，主題對象都是學(xué)生.教學(xué)方式的優(yōu)與劣，直接體現(xiàn)在學(xué)生對知識的掌握程度.因此，要說好題，關(guān)鍵在于理解學(xué)生.貼近學(xué)生實際的說題，才是最成功的說題.關(guān)注學(xué)生，首先在于關(guān)注學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生能夠“跳一跳，碰得到”，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，即讓學(xué)生站在能夠觸到的地方，韋達(dá)定理是學(xué)生能夠跳到的地方；其次在于關(guān)注學(xué)生的思維活動，要能夠模擬學(xué)生的思考方向，優(yōu)選解法，并嘗試分析優(yōu)劣，最終能夠引導(dǎo)學(xué)生掌握一個最熟悉或最簡單的問題解決方法.最后，教學(xué)的目的在于嘗試培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、求異思維、直覺思維和創(chuàng)新思維，從貼近學(xué)生的思維角度出發(fā)，編擬一些開放性的試題，通過變式，同化規(guī)律，使學(xué)生能夠嘗試掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律、特點與方法，從而形成創(chuàng)新意識.

2.3 說題需要儲備

2.3.1 資料儲備

說題需要把試題的來龍去脈、多樣解法、各類拓展以及與高考的相關(guān)性等比較詳細(xì)地進(jìn)行說明，同時，如果可以，還需要對試題所呈現(xiàn)的本質(zhì)有所挖掘.教師不能僅憑借“百度”解決問題，平日資料的積累非常重要.出于對數(shù)學(xué)教學(xué)的熱愛，筆者加入了數(shù)學(xué)群，收集了大量的資料，為本次說題活動的資料準(zhǔn)備提供了很大幫助.通過查找資料，能夠迅速找到與之有關(guān)的、相貼近的試題，同時還能從提供的試題解答中獲取不同的解法和靈感.

2.3.2 能力儲備

有了資料，其實還不夠，還需要能夠把這些資料有機(jī)地整合起來，這需要一定的能力.筆者在準(zhǔn)備過程中，盡管解法呈現(xiàn)并不是很多，只有3種，但筆者從通性通法、定義以及數(shù)形結(jié)合的角度，從貼近學(xué)生實際的角度進(jìn)行呈現(xiàn)，不僅將試題的功能展露無遺，而且可以使學(xué)生能夠更好地接受，這是筆者比較滿意之處.但也有不足之處，由于平時研究不夠深入，對于試題的變式，只能就題論題，進(jìn)行簡單、淺層次地變化，而不能深入挖掘試題所蘊含的本源，同時對試題的功能總結(jié)還不夠細(xì)致，這些都是在以后的教學(xué)、教研中需要加以改進(jìn)的.

一路走來，幸福大于痛苦，且行且珍惜！

[1] 傅瑞琦.說題，讓主題教研更精彩[J].中國數(shù)學(xué)教育，2012(3)：45-48.

[2] 方家鴻.數(shù)學(xué)“說題”活動的過程與方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010(4)：33-35.

[3] 曹鳳山.你能看出結(jié)果嗎？—以一道例題的探究為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(9)：37-39.

[4] 沈恒.說題談題品題——一次說題活動預(yù)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012(9)：3-5.

[5] 劉薇,沈恒.唯有漫江碧透，方可魚翔淺底——一次說題活動給予的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(4)：70-72.

[6] 高紅志,孫蘭香.怎樣理解數(shù)學(xué)[J].滄州師范專科學(xué)校學(xué)報，2004，20(3)：23-24.