圓、橢圓、三角形的一個相關(guān)性質(zhì)的證明

●蔡玉書 (蘇州市第一中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

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圓、橢圓、三角形的一個相關(guān)性質(zhì)的證明

●蔡玉書 (蘇州市第一中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

2009年東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽有一道平面幾何試題如下：

例1 如圖1，已知⊙O,⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，證明：過⊙O上任意一點(diǎn)D，都可以作一個△DEF，使得⊙O,⊙I分別是△DEF的外接圓和內(nèi)切圓.

圖1

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第6期徐道老師利用解析法證明了命題1：

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第10期“對一道例題的探求與發(fā)現(xiàn)”中研究了這樣的試題：

例2 已知P，Q，R為拋物線y=x2-2上3個不同的點(diǎn)，求證：當(dāng)直線PQ與PR都和圓x2+y2=1相切時，直線QR也和該圓相切.

該文得到并證明了：

命題2 過拋物線C1:x2=2py上的點(diǎn)A向⊙C2:x2+(y-b)2=r2(其中p>0，b>0，r>0)引2條切線AB，AC,分別交拋物線C1于點(diǎn)B，C，聯(lián)結(jié)BC，則直線BC是⊙C的切線的充要條件是2pb=r2+2pr.

該文最后得到了一個猜想,筆者證明之:

證明 設(shè)A(acosθ1,bsinθ1)，B(acosθ2,bsinθ2)，C(acosθ3,bsinθ3)，則直線AB的方程為

a(cosθ2-cosθ1)(y-bsinθ1)=b(sinθ2-sinθ1)(x-acosθ1)，

即

因?yàn)锳B與圓x2+y2=r2相切，所以

即

從而

[a2b2+(a2-b2)r2]cosθ1cosθ2+[a2b2-(a2-b2)r2]sinθ1sinθ2+[a2b2-(a2+b2)r2]=0，

(1)同理，由直線AC與x2+y2=r2相切，得

(2)

b2[a2b2+(a2-b2)r2]x1x+a2[a2b2-(a2-b2)r2]y1y+a2b2[a2b2-(a2+b2)r2]=0，

從而直線BC與圓x2+y2=r2相切的充要條件是

(3)

b[a2b2+(a2-b2)r2]=a[a2b2-(a2-b2)r2]，

圖2

1)求圓G的半徑r；

2)過點(diǎn)M(0,1)作⊙G的2條切線交橢圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明：直線EF與⊙G相切．

(2009年江西省數(shù)學(xué)高考文科壓軸題)

進(jìn)一步研究得到:

a2r2(a+m+r)2=b2(a+m+r)2(a+m-r)(a-m-r)，

注意到(a+m+r)2>0，得a2r2=b2[(a-r)2-m2]，整理得

(a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0.

(充分性)設(shè)A(acosθ1,bsinθ1)，B(acosθ2,bsinθ2)，C(acosθ3,bsinθ3)，即A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則直線AB的方程為

a(cosθ2-cosθ1)(y-bsinθ1)=b(sinθ2-sinθ1)(x-acosθ1)，

即

因?yàn)锳B與圓(x-m)2+y2=r2(其中m≥0，r>0)相切，所以

即

亦即

從而b2(m2-r2)[1+cos(θ1+θ2)]-a2r2[1-cos(θ1+θ2)]-2ab2m(cosθ1+cosθ2)+a2b2[1+cos(θ1-θ2)]=0，

即 [b2(m2-r2)+a2(r2+b2)]cosθ1cosθ2+ [a2(-r2+b2)-b2(m2-r2)]sinθ1sinθ2-

2ab2m(cosθ1+cosθ2)+b2(m2-r2)+a2(b2-r2)=0.

因?yàn)?a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0，所以

ab2(a-r)cosθ1cosθ2+ab2rsinθ1sinθ2-ab2m(cosθ1+cosθ2)+a2(b2-r2)-ab2r=0，

即

b2(a-r)x2cosθ1+abry2sinθ1-b2m(acosθ1+x2)+a2(b2-r2)-ab2r=0.

同理，直線AC與圓(x-m)2+y2=r2(其中m≥0，r>0)相切，得

b2(a-r)x3cosθ1+abry3sinθ1-b2m(acosθ1+x3)+a2(b2-r2)-ab2r=0，

從而點(diǎn)B，C在直線b2(a-r)xcosθ1+abrysinθ1-b2m(acosθ1+x)+a2(b2-r2)-ab2r=0上，此直線方程可以寫成

b2[(a-r)cosθ1-m]x+abrysinθ1+a2(b2-r2)-ab2r-ab2mcosθ1=0.

注意到(a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0，得

a2r2+b2m2=[b(r-a)]2， [b(r-a)]2-a2r2=b2m2，

從而圓心C2到直線BC的距離為

圖3

這說明直線BC與⊙C2相切.

有趣的是我們還可以繼續(xù)研究一個圓錐曲線的外接多邊形是另一個圓錐曲線內(nèi)切多邊形的問題(如圖3).

但是要獲得一般結(jié)論，初等數(shù)學(xué)可能無能為力，希望讀者進(jìn)一步研究.

(本文得到胡曉昊老師的支持，在此一并感謝.)