由一道競(jìng)賽題想到的

●蔣孝國(guó) (太湖高級(jí)中學(xué) 江蘇無(wú)錫 214125)

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由一道競(jìng)賽題想到的

●蔣孝國(guó) (太湖高級(jí)中學(xué) 江蘇無(wú)錫 214125)

例1 將集合{1,2,3,…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對(duì)于其余的每個(gè)數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個(gè)位置上總有一個(gè)數(shù)與k之差的絕對(duì)值為1，那么滿足條件的排列個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.

本題是2013年江西省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，有一定的難度.要想解決該問(wèn)題，需找準(zhǔn)一個(gè)角度，運(yùn)用所具有的知識(shí)認(rèn)真分析題目的內(nèi)涵，再通過(guò)觀察、聯(lián)想、類比找到解題路徑.本題的關(guān)鍵是“從第2個(gè)數(shù)開(kāi)始，數(shù)k的左邊某個(gè)位置上總有一個(gè)數(shù)與k之差的絕對(duì)值為1”，這一條件表述比較抽象，蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容.筆者一時(shí)沒(méi)有辦法“看透”此條件，無(wú)法知道該條件蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)含義，一個(gè)自然而然的想法就會(huì)涌上心頭：能不能從簡(jiǎn)單的情況入手去找規(guī)律，若能找到規(guī)律并將其整理歸納，然后解決一般性的問(wèn)題，即從特殊到一般.

1 嘗試——絕知此事要躬行

嘗試是行動(dòng)的開(kāi)始.面對(duì)未知的事物，要知其究竟，嘗試是行動(dòng)的第一步，只有經(jīng)過(guò)實(shí)踐，才能知道事情的大概.該如何實(shí)踐呢？從認(rèn)知規(guī)律上來(lái)說(shuō)，先認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的，再認(rèn)識(shí)復(fù)雜的.數(shù)學(xué)家華羅庚也說(shuō)過(guò)：“要善于退，退到不能退時(shí)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì).”下面筆者從特殊情況開(kāi)始嘗試，去尋找其規(guī)律.

對(duì)集合{1,2,3,…,n}，記滿足條件的排列個(gè)數(shù)為An.

1)當(dāng)n=1時(shí)，A1=1.

2)當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)列1,2；2,1都滿足題意，此時(shí)A2=2.

3)當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)列1,2,3；2,1,3；2,3,1；3,2,1都滿足題意，此時(shí)A3=4.

4)當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)列1,2,3,4；2,1,3,4；2,3,1,4；3,2,1,4；2,3,4,1；3,4,2,1；3,2,4,1；4,3,2,1都滿足題意，此時(shí)A4=8.

從n=1,2,3,4這4種簡(jiǎn)單情況猜測(cè)：對(duì)于n=k，有Ak=2k-1.從具體的數(shù)列來(lái)看，發(fā)現(xiàn)這3個(gè)規(guī)律：①末項(xiàng)為該數(shù)列的最大數(shù)或最小數(shù)；②單調(diào)數(shù)列滿足要求；③數(shù)列是先增后減，或者是先減后增.于是，我們對(duì)滿足條件的數(shù)列，有了一定的認(rèn)識(shí)，但這種認(rèn)識(shí)不全面，需要繼續(xù)挖掘，從中找到問(wèn)題的本質(zhì).

2 從末項(xiàng)考慮——小荷才露尖尖角

末項(xiàng)比較有規(guī)律，要么是最大項(xiàng)，要么是最小項(xiàng).記對(duì)1,2,3,…，n，滿足條件的數(shù)列共An個(gè)，則對(duì)1,2,3,…,n,n+1，滿足題意的數(shù)列為An+1個(gè)，可從2個(gè)角度來(lái)分析：

1)將n+1置于1,2,3,…,n所滿足條件數(shù)列的末項(xiàng)，仍然滿足題意，共An種方式；

2)將1置于2,3,…,n,n+1所滿足條件數(shù)列的末項(xiàng)，仍滿足題意，共An種方式.

因此，An+1=2An，且A1=1，解得An=2n+1.問(wèn)題雖然解決了，但筆者想進(jìn)一步挖掘，現(xiàn)在是“從末項(xiàng)考慮”的，能否從其他角度考慮呢？

3 從最大項(xiàng)考慮——橫看成嶺

對(duì)1,2,3,…，n,n+1，單調(diào)數(shù)列是滿足題意的，n+1出現(xiàn)在首位或末尾.若出現(xiàn)在首位，其后面的數(shù)只能由其余的數(shù)從大到小排列，只有1種情況；若出現(xiàn)在末尾，滿足題意的數(shù)列個(gè)數(shù)與1,2,3,…,n滿足的個(gè)數(shù)相同，共An種情況.若出現(xiàn)在第2位呢？第3位呢？第i位呢？如果n+1排在第i位，則其后的(n+1)-i個(gè)位置，只能是n+1-i，(n+1)-(i+1)，…，2，1，而它之前的數(shù)只能是(n+1)-i+1，(n+1)-i+2，…，n，共有Ai-1種排法.令i=1,2,3,…,n+1，則

An+1=1+A1+A2+…+An=

(1+A1+A2+…+An-1)+An=2An，

同上可得An=2n-1.

得出結(jié)果后，筆者繼續(xù)換角度思考.

4 從首項(xiàng)考慮——側(cè)看成峰

滿足條件的數(shù)列，要么先增，要么先減.無(wú)論先增后減，還是先減后增，都是對(duì)首項(xiàng)來(lái)說(shuō)的.對(duì)于1,2,3,…,n,n+1，滿足條件的某一排列，首項(xiàng)為k(其中1≤k≤n+1)，在其余的n個(gè)數(shù)中，大于k的n+1-k個(gè)數(shù)k+1,k+2,…,n+1按遞增的順序排列，而小于k的k-1個(gè)數(shù)1,2,3,…,k-1按遞減的順序排列.下面證明之.

對(duì)于任一個(gè)大于k的數(shù)k+m，設(shè)k+m

從上面的3個(gè)角度，觀察出不同的規(guī)律，抽象出更一般的方法，得出不同的解決方案，真是“橫看成嶺側(cè)成峰，結(jié)果總相同”.到此，問(wèn)題得到圓滿解決，筆者又想能不能更進(jìn)一步挖掘該問(wèn)題呢？

5 進(jìn)一步思考——欲窮千里目，更上一層樓

例2 設(shè)a1，a2，…,an是整數(shù)1,2,3,…,n的一個(gè)排列，且滿足①a1=1；②|ai-ai-1|≤2，其中i=2,3,4,…,n.上述排列的個(gè)數(shù)記為f(n)，求f(n)滿足的關(guān)系式.

本題是2010年新疆維吾爾自治區(qū)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，可看成是例1的延伸，也可用從特殊到一般來(lái)解決.筆者將特殊情況的討論隱去，直接給出解題過(guò)程如下.

解 容易求得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2.當(dāng)n≥4時(shí)，則一定有a1=1,a2=2或a2=3.

當(dāng)a2=2時(shí)，從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)都減去1，則a2，…,an滿足條件的排列與1,2,3,…,n-1相同，此時(shí)排列的個(gè)數(shù)為f(n-1).

當(dāng)a2=3時(shí)，1)若a3=2，則a4=4，從第4項(xiàng)起，每項(xiàng)都減去3，也可和1,2,3,…,n-3滿足題意的數(shù)列建立一一對(duì)應(yīng)，此時(shí)排列的個(gè)數(shù)為f(n-3)；2)若a3≠2，則滿足題意的數(shù)列為1,3,5,7,…,6,4,2,奇數(shù)組成數(shù)列遞增排列，后面接著是偶數(shù)組成的數(shù)列，按遞減排列.此時(shí)只有1種排法滿足題意.

通過(guò)上面的討論可得

本問(wèn)題還能延伸，可以繼續(xù)研究.

6 待研究的問(wèn)題——一山放過(guò)一山攔

思考1 將集合{1,2,3，…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對(duì)于其余的每一個(gè)數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個(gè)位置上總有一個(gè)數(shù)與k之差的絕對(duì)值為2，那么，滿足條件的排列個(gè)數(shù)為多少呢？能不能寫成關(guān)于n的表達(dá)式？

思考2 接上面的思考1，若與k的絕對(duì)值之差為m呢？m取何值時(shí)有解，該解能不能表示出來(lái)呢？

思考3 集合{1,2,3,…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對(duì)于其余的每個(gè)數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個(gè)位置上總有一個(gè)數(shù)與k之差的絕對(duì)值不超過(guò)2，那么滿足條件的排列個(gè)數(shù)是多少呢？能不能寫成關(guān)于n的表達(dá)式？

思考4 接上面的思考3，若與k之差的絕對(duì)值不超過(guò)m，那么滿足條件的排列個(gè)數(shù)呢？

7 解題收獲——吹盡黃沙始到金

解題告一段落，但解題后的反思，讓筆者產(chǎn)生了不少的想法.下面從解題、思維方式以及提出問(wèn)題這3個(gè)角度來(lái)闡釋筆者的感想和收獲.

從解題的角度來(lái)說(shuō)，面對(duì)復(fù)雜題目，首先要調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備，問(wèn)自己“該題是什么類型的問(wèn)題，涉及哪些知識(shí)，我有沒(méi)有見(jiàn)過(guò)類似的問(wèn)題，能否轉(zhuǎn)化為所熟知的問(wèn)題”，不斷地進(jìn)行自我拷問(wèn)，能產(chǎn)生題感，給我們的解題帶來(lái)想法，指出方向.但空有想法是不行的，要去執(zhí)行，就是去嘗試、探索.你所想的“解題道路”能否走通只有你親自去走才知道，就像單墫所說(shuō)：“要想學(xué)會(huì)游泳，你必須下水，要想學(xué)會(huì)解題，必須去解題.”“解題道路”上可能會(huì)遇到困難，一方面要時(shí)時(shí)監(jiān)控你的解題過(guò)程，修正你的想法；另一方面要去堅(jiān)持，不斷思索，“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”,解題中的情感因素也能決定解題成敗.

從思維方式的角度來(lái)說(shuō)，本題采用的是從特殊到一般，特殊與一般的關(guān)系反映客觀世界普遍聯(lián)系的一般規(guī)律，是人類認(rèn)識(shí)世界的重要思維方式，特殊中孕育一般，一般中發(fā)現(xiàn)特殊.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用這一思維方式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題等能力有著重要的意義.

從提出問(wèn)題角度來(lái)說(shuō)，解決該競(jìng)賽題時(shí)又產(chǎn)生了一些問(wèn)題，這些問(wèn)題使思考繼續(xù)下去.波利亞說(shuō)過(guò)：“好的問(wèn)題像蘑菇一樣，是成堆出現(xiàn)的.”因此面對(duì)問(wèn)題時(shí)，要去考慮“相近的問(wèn)題、相似的問(wèn)題是什么？能解決嗎？”“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，教師在教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生能提出自己的問(wèn)題，提出有價(jià)值的問(wèn)題.希爾伯特說(shuō)“一門學(xué)科只有包含一定量的未解問(wèn)題，它才具有生命力”、“問(wèn)題是一只能下金蛋的鵝”.問(wèn)題能促使我們思考，提高我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和理解能力.