一道考查“中點”的好題

●李玉榮 (金陵中學河西分校 江蘇南京 210019)

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一道考查“中點”的好題

●李玉榮 (金陵中學河西分校 江蘇南京 210019)

線段的中點是幾何圖形中一個特殊的點，除了中點的概念外，依據(jù)《數(shù)學課程標準》和《義務(wù)教育標準教科書》，解題時常見的聯(lián)想途徑有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形的中位線平行于第3邊，并且等于第3邊的一半；倍長中線構(gòu)造全等三角形(或平行四邊形)等．每年中考涉及中點的試題比比皆是，而2014年遼寧省本溪市數(shù)學中考第25題卻讓人眼前一亮，此題獨具匠心、特色鮮明，中考復習時供學生練習事半功倍．

題目 如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，聯(lián)結(jié)BE,CD，F(xiàn)為BE的中點，聯(lián)結(jié)AF．

1)如圖2，當∠BAE=90°時，求證：CD=2AF.

圖1 圖2

2)當∠BAE≠90°時，第1)小題的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖1說明理由．

分析 此題由2個小題構(gòu)成:第1)小題因為AF是Rt△ABE斜邊上的中線，所以BE=2AF，然后通過△ABE≌△ACD即可得證;第2)小題∠BAE≠90°，如何利用中點是關(guān)鍵，顯然無法直接使用，需添加輔助線，有以下2種思路(共5種證法)：

思路1 構(gòu)造三角形的中位線，延長EA至點H，使得AH=AE，根據(jù)三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，然后證明△ABH≌△ACD，從而BH=CD，即可解決問題.

思路2 倍長中線AF，構(gòu)造平行四邊形得到AG=2AF，然后通過△ABG≌△CAD證得AG=CD，也能解決問題．

1)證明 如圖2，當∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°時，∠DAC=90°.在△ABE與△ACD中,

從而

△ABE≌△ACD(SAS)，

于是

CD=BE.

因為在Rt△ABE中，F(xiàn)為BE的中點，所以BE=2AF，進而CD=2AF．

2)證法1 當∠BAE≠90°時，第1)小題的結(jié)論仍成立.如圖3，延長EA至點H，使得AH=AE，從而AH=AE=AD，聯(lián)結(jié)BH.因為∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠EAB+∠DAC=180°.

又因為∠EAB+∠BAH=180°，所以

∠BAH=∠DAC.

在△ABH與△ACD中,

從而

△ABH≌△ACD(SAS)，

于是

BH=CD.

因為EF=FB，AH=AE，所以

BH=2AF，

進而

CD=2AF．

以上是命題者提供的參考答案，筆者研究此題，另有收獲：

圖3 圖4

2)證法2 當∠BAE≠90°時，第1)小題的結(jié)論仍成立.如圖4，延長BA至點M，使得AM=AB，則AM=AB=AC，聯(lián)結(jié)EM.因為∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠EAB+∠DAC=180°.

又因為∠EAB+∠EAM=180°，所以

∠EAM=∠DAC.

在△AEM與△ADC中,

從而

△AEM≌△DAC(SAS)，

于是

EM=CD.

因為EF=FB，AM=AB，所以

EM=2AF，

進而

CD=2AF．

2)證法3 如圖5，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AE與AD重合.因為∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠DAB′+∠DAC=∠EAB+∠DAC=180°，

從而點B′,A,C在一條直線上.又因為AB=AC，BF=FE，所以CD=2AF．

圖5 圖6

2)證法4 如圖6,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合.因為∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠E′AC+∠DAC=∠EAB+∠DAC=180°，

從而點E′,A,D在一條直線上.又因為AE=AD，EF=FB，所以CD=2AF．

圖7

2)證法5 如圖7，延長AF至點G，使得FG=AF，則AG=2AF.因為EF=FB，所以四邊形ABGE是平行四邊形，從而

BG=AE=AD，GB∥AE，

于是 ∠EAB+∠GBA=180°.

因為∠BAC+∠EAD=180°，所以

∠EAB+∠DAC=180°，

進而

∠GBA=∠DAC.

在△ABG與△CAD中,

從而

△ABG≌△CAD(SAS)，

于是

AG=CD，

故

CD=2AF．

評注 要證CD=2AF，可倍長AF轉(zhuǎn)化為證明2條線段相等．在教學實踐中，大多數(shù)學生想到的是這種方法，通過證明△AEF≌△GBF，得出BG=AE=AD，但接下來如何證明，部分學生一籌莫展，需教師提示利用△AEF≌△GBF，得出GB∥AE(還可得內(nèi)錯角相等)，從而∠EAB+∠GBA=180°，再與已知∠EAB+∠DAC=180°溝通，才能完成證明．盡管過程稍顯繁瑣，但作為常用的一種思路、方法，教師還是應(yīng)該予以肯定．

拓展 從證法5可得∠FAB=∠ACD，“求證：∠FAB=∠ACD”是一道更有挑戰(zhàn)性的習題．

從題目的命制看，試題旨在考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及與“中點”相關(guān)的2個重要定理.第1)小題的特殊角“∠BAE=90°”，應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”不難證明CD=2AF;第2)小題的非特殊角“∠BAE≠90°”，先讓學生猜想“第1)小題的結(jié)論是否成立？”，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想，但條件改變了，對結(jié)論的證明無法機械地套用第1)小題的方法，需創(chuàng)新思維，聯(lián)系與中點相關(guān)的輔助線是解題的關(guān)鍵.

從題目的解法看，方法的多樣性是一道題目被認為是“好題”的重要條件之一.證法1～4從不同的角度構(gòu)造出三角形的中位線解決了問題，尤其是證法3和證法4，利用旋轉(zhuǎn)的不變性，將AF與CD這2條分散的線段巧妙地集中在一個三角形中，利用“三角形的中位線等于第3邊的一半”直接得解，解題過程極為簡潔，而證法5所采用的“倍長中線”則是眾多教材上一道典型例(習)題揭示的基本圖形，具有極高的利用價值，常有意想不到的收獲．此題與學生日常學習“獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”密切相關(guān)，給考生留下了廣闊的思維空間，彰顯了《課程標準》中“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的理念，不愧是一道耐人尋味的考查“中點”的好題，值得中考復習中選為例題或習題，并將探究解法的教學過程展開，盡可能地讓學生主動參與解法探究，提出各自解決問題的策略，進行比較和討論，豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高數(shù)學思維的水平．

著名數(shù)學家波利亞說過：一個專心、真正備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生完善問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領(lǐng)域．我們期待2015年中考有更多這樣的好題問世，為數(shù)學試題的“大花園”增色添彩．

[1] 郝新武．一道習題的探究與反思[J]．中國數(shù)學教育：初中版，2012(5)：25-27．