與角平分線性質(zhì)有關(guān)的高考題探究

●周順鈿 (杭州高級中學(xué) 浙江杭州 310003)

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與角平分線性質(zhì)有關(guān)的高考題探究

●周順鈿 (杭州高級中學(xué) 浙江杭州 310003)

筆者在研究2015年全國各地的數(shù)學(xué)高考試題時，發(fā)現(xiàn)湖北省數(shù)學(xué)高考理科第14題和四川省數(shù)學(xué)高考理科第20題有著驚人的相似之處，在解決問題的過程中，又發(fā)現(xiàn)它們與三角形的角平分線有著緊密的聯(lián)系，現(xiàn)整理如下：

1 角平分線的性質(zhì)

圖1

例1 如圖2，⊙C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于點A,B(點B在點A的上方)，且|AB|=2．

1)⊙C的標準方程為______.

2)過點A任作一條直線與⊙O:x2+y2=1相交于點M,N，下列3個結(jié)論：

其中正確結(jié)論的序號是______(寫出所有正確結(jié)論的序號).

(2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

圖2 圖3

OT2=OA·OB.

因為ON=OT，所以

ON2=OA·OB，

故△OAN∽△ONB，從而∠ONA=∠OBN.同理可得，△OAM∽△OMB，得∠OMA=∠OBM.

又由OM=ON，得∠OMA=∠ONA，于是∠OBM=∠OBN，由內(nèi)角平分線性質(zhì)得

從而結(jié)論①成立.

因為

所以

結(jié)論②③也成立.

評注 充分利用平面幾何性質(zhì)，可以快速高效地解決問題.

1)求橢圓E的方程.

(2015年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

圖4 圖5

解得t=2，故點Q坐標只能為(0,2).

下證直線l的斜率存在且不為0時，結(jié)論也成立.

如圖5,設(shè)l:y=kx+1，代入x2+2y2=4，得

(1+2k2)x2+4kx-2=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則

可得

易知，點B關(guān)于y軸的對稱點為B′(-x2,y2)，從而

可得kQA=kQB′，即點Q,A,B′共線，因此

評注 特例探路，一般驗證，是解決探究性問題的重要思想方法.

3 問題的探究

證明 設(shè)l:y=kx+r，代入b2x2+a2y2=a2b2，得

(b2+a2k2)x2+2kra2x+a2(r2-b2)=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則

評注1 當(dāng)0b時，點A,B在點P的同側(cè)，PQ為∠AQB的外角平分線.

證明 設(shè)l:x=my+r，代入b2x2-a2y2=a2b2，得

(b2m2-a2)y2+2mrb2y+b2(r2-a2)=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則

評注 對于雙曲線，在實軸上存在滿足條件的點對，在虛軸上不存在滿足條件的點對.

4 問題的本質(zhì)

上述性質(zhì)也可以推廣到拋物線中去，請讀者思考.