一點(diǎn)引兩弦斜率積為定值充要條件的探討及應(yīng)用

●石向陽 (南雅中學(xué) 湖南長沙 410129)

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一點(diǎn)引兩弦斜率積為定值充要條件的探討及應(yīng)用

●石向陽 (南雅中學(xué) 湖南長沙 410129)

在數(shù)學(xué)高考和數(shù)學(xué)競賽中，常常會(huì)出現(xiàn)這類問題：曲線上一定點(diǎn)P引出2條動(dòng)弦PQ,PR，這2條弦斜率的乘積(即kPQ·kPR)為定值，求動(dòng)直線QR恒過定點(diǎn)或kQR恒為定值．筆者經(jīng)過深入地思考和探索，得出一組非常漂亮、實(shí)用的性質(zhì)，現(xiàn)簡潔整理出來，以饗讀者．

證明 作平移x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф(x，y)=0得

(1)

設(shè)QR的方程為lx′+my′=1，代入式(1)得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+(Φ1x′+Φ2y′)(lx′+my′)=0,整理得

(A+Φ1l)=0.

(2)

即

lΦ1+m(-λΦ2)=λC-A.

(3)

lΦ1+m(-λΦ2)=0,

即

從而

上述性質(zhì)，不僅形式優(yōu)美，而且能幫助我們迅速破解一些試題.

(2011年湖北省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題)

可得λ=-1，即∠AQB=90°．

例2 已知點(diǎn)A(1,2)，過點(diǎn)(5,-2)的直線與拋物線y2=4x交于另外2個(gè)點(diǎn)B,C，那么△ABC是

( )

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.不確定

(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

kAB·kAC=λ(≠0).

注意到當(dāng)x0=1，y0=2時(shí)，令

得

λ=-1，

圖1

故選C．

例3 如圖1，設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線y2=4px(其中p>0)上除原點(diǎn)以外的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

(2000年安徽省春季數(shù)學(xué)高考試題)

解 因?yàn)镺A⊥OB，所以

kOA·kOB=-1.

(x-2p)2+y2=4p2(其中x≠0).

圖2

1),2)略；

3)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB．

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

證明 設(shè)P(x0,y0)，則A(-x0,-y0)，C(x0,0)，由推論3知?jiǎng)又本€AP過中心(0,0)的充要條件是

故

即

PA⊥PB．

例7 設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(其中m>0,且m≠1)．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．

1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

2)過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于點(diǎn)P，Q，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H．問:是否存在m，使得對(duì)任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2)如圖3，對(duì)任意x1∈(0.1)，設(shè)P(x1,y1)，H(x2,y2)，則Q(-x1,-y1)，N(0,y1).由推論3知?jiǎng)又本€PQ過中心(0,0)的充要條件是

又點(diǎn)Q，N，H共線，從而

即

而PQ⊥PH等價(jià)于

kPH·kPQ=-1，

即

圖3

例8 已知橢圓C:9x2+y2=m2(其中m>0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有2個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

圖4

證明 如圖4，聯(lián)結(jié)AO并延長與橢圓交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，O為線段AC的中點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，因此OM∥CB，即kOM=kCB．由推論3知?jiǎng)又本€AC過中心(0,0)的充要條件是

從而kAB·kOM=kAB·kCB=kBA·kBC=-9,

故直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．