這道中考題得分為什么如此之低
——由2015年安徽省數(shù)學(xué)中考第22題閱卷引發(fā)的思考

●劉國超 (阜陽師范學(xué)院附屬中學(xué) 安徽阜陽 236041)

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這道中考題得分為什么如此之低
——由2015年安徽省數(shù)學(xué)中考第22題閱卷引發(fā)的思考

●劉國超 (阜陽師范學(xué)院附屬中學(xué) 安徽阜陽 236041)

筆者有幸參加了2015年安徽省阜陽市數(shù)學(xué)中考的閱卷工作，作為閱卷題組長，具體負(fù)責(zé)第22題的評判.結(jié)果統(tǒng)計(jì)表明，考生解答該題的情況很不理想，平均得分1.87分，得分率只有16%；其中得0分的占56.3%.面對如此多的零分情況，給了筆者極大的觸動和思考，下面把閱卷過程中學(xué)生的一些典型錯誤以及筆者對錯誤的思考整理成文，以期廣大同仁的交流、分享．

1 試題再現(xiàn)

圖1

題目 為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80 m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖1所示的①②③這3塊矩形區(qū)域，而且這3塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．

1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍;

2)x為何值時，y有最大值,最大值是多少？

(2015年安徽省阜陽市數(shù)學(xué)中考試題第22題)

參考答案 1)設(shè)AE=a,BE=b，則

2x+3a+2b=80.

由2xb=ax,得a=2b,代入上式得

2x+8b=80,

即

2)由第1)小題得，當(dāng)x=20時，ymax=300.

考查目的 本題從考查的角度看是考查學(xué)生是否會根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)解析式，并求面積最大值.情境設(shè)置看似平凡，但內(nèi)涵豐富，頗具創(chuàng)意,主要針對“二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這個初中數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)內(nèi)容.從思想的角度看本題涉及的數(shù)學(xué)思想主要有：一是數(shù)學(xué)建模的思想，主要體現(xiàn)在把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為方程模型、函數(shù)模型的過程；二是轉(zhuǎn)化與化歸思想，主要體現(xiàn)在第1)小題求函數(shù)解析式的過程中，即把數(shù)學(xué)問題中的“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”的過程；三是數(shù)形結(jié)合思想，以實(shí)際問題為背景，融合幾何直觀，把數(shù)式計(jì)算和幾何關(guān)系很好地結(jié)合起來．因此，這道中考題是一個很好的函數(shù)應(yīng)用題，值得關(guān)注和重視．

試題以圍成矩形區(qū)域的面積作為角度切入，源于教材，又高于教材．在課本題的基礎(chǔ)上加以變化延伸，體現(xiàn)了“立足基礎(chǔ)，滲透思想，突出能力，著重創(chuàng)新”的課改理念，具有較好的教學(xué)導(dǎo)向性.試題是由人教版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第57頁習(xí)題第6題拓展而來：

課本習(xí)題 如圖2，用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18 m，這個矩形的長、寬各為多少時？菜園的面積最大，最大面積是多少？

雖然試題與原型相比，讓我們覺得“有本、有源”，由于在生活中用圍網(wǎng)在水庫中圍成矩形區(qū)域沒有用籬笆在平地上圍成矩形區(qū)域更常見，因此從學(xué)生角度看，試題并沒有散發(fā)出“就在身邊的親切感”．

圖2

為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，命題者會設(shè)計(jì)一些現(xiàn)實(shí)情境，在現(xiàn)實(shí)情境中，除數(shù)學(xué)知識之外，還有其他因素.教師和學(xué)生的視角不同，教師關(guān)注的是現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)學(xué),而學(xué)生更傾向于從現(xiàn)實(shí)生活的角度思考問題情境．題目情境給學(xué)生領(lǐng)會題意與分析問題帶來很大的挑戰(zhàn)，例如試題敘述的中間隔欄是不是用圍網(wǎng).學(xué)生一旦被這些所干擾，就會造成對理解問題的障礙，這是該題出現(xiàn)大量空白卷的原因之一，從而暴露試題在敘述上存在瑕疵！另一方面，二次函數(shù)應(yīng)用問題的本質(zhì)模型是根據(jù)二次函數(shù)求最值，試題通過3塊矩形區(qū)域的面積相等作了“結(jié)構(gòu)變式”，給學(xué)生“建?！痹O(shè)置了障礙，當(dāng)然就不能順利地“解?！?，這也是造成該題得零分多的又一個原因．

2 學(xué)生的解答及相應(yīng)的錯誤

通過閱卷發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解答與命題者所期望的答案相差甚遠(yuǎn)．學(xué)生解答中的典型錯誤和主要原因有：

1)不敢設(shè)多元未知數(shù)．由于相當(dāng)多的考生不能把“總長為80 m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③這3塊矩形區(qū)域”和“而且這3塊矩形區(qū)域的面積相等”這2個重要的已知條件，轉(zhuǎn)換成方程模型，從而不能發(fā)現(xiàn)a，b及x之間的數(shù)量關(guān)系，這同時也表現(xiàn)出大部分學(xué)生受思維定勢影響，沒有大膽的“設(shè)元意識”，導(dǎo)致“不敢”再設(shè)其他輔助元，就沒法建立函數(shù)關(guān)系式，多數(shù)考生在試卷上留下了一片片白色的遺憾.從另一個方面也反映出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、用字母表示數(shù)的意識較弱，不知道使用字母表示數(shù)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理.

2)化歸能力薄弱．還有一部分考生也設(shè)輔助元了，這表明這部分學(xué)生有用字母表示數(shù)的意識，但在使用過程中，把問題中的條件符號化，以及怎樣用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示問題的條件和結(jié)論出現(xiàn)了問題——學(xué)生不明確這里的運(yùn)算對象“a，b”，沒有把輔助元都向“x”靠攏，即用含“x”的代數(shù)式表示它們，導(dǎo)致思維受阻，從而不能正確得出函數(shù)解析式.這也說明學(xué)生把實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題的能力欠缺.

圖3

4)確定自變量取值范圍存在問題．沒有把含有自變量x的式子和圖形中的線段對應(yīng)起來，造成對自變量的取值范圍判斷錯誤，導(dǎo)致失分，這說明學(xué)生在解題習(xí)慣方面仍有不足.

6)該題的難點(diǎn)在于根據(jù)3個區(qū)域面積相等這一已知條件得出各邊之間的關(guān)系，即FG=EG，DF=2CF,尤其是后者．但最根本的難點(diǎn)還是分析法思維，即要有如下的意識：在不知道各邊關(guān)系的情況下，因?yàn)榱谐龅暮瘮?shù)關(guān)系式子中含有未知量CF和DF，要利用已知條件(面積相等、總長80、BC長為x)把它們表示出來的意識．還有相當(dāng)一部分學(xué)生混淆了總長和周長，導(dǎo)致少算了HG，列錯了函數(shù)關(guān)系式.

3 對課堂教學(xué)的啟示

很多教師認(rèn)為本題不難，但多數(shù)考生留下一片片白色的遺憾表明我們的日常教學(xué)存在失誤和不足！大家知道，數(shù)學(xué)思想是形成數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵，通過學(xué)生對該題的解答可以看出，部分學(xué)生的數(shù)學(xué)思維還存在嚴(yán)重的缺陷，那么在實(shí)際教學(xué)中如何解決呢？

3.1 課堂教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真閱讀題目的習(xí)慣

本題除了著重考查學(xué)生的理解能力、分析能力、數(shù)學(xué)建模能力之外，由于AE，AB與x的等量關(guān)系比較隱蔽，對學(xué)生的閱讀理解能力的要求也比較高．很多學(xué)生不能順利解答第1)小題的主要原因是沒有認(rèn)真閱讀題目，不能分析出其中的已知量、未知量及它們之間的數(shù)量關(guān)系．給我們的教學(xué)啟示：教學(xué)時呈現(xiàn)問題后，要留出時間讓學(xué)生充分閱讀題目，指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題、找問題關(guān)鍵詞、確定它是什么樣的數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試用自己的語言對已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行描述；在對問題進(jìn)行提煉、解決的過程中強(qiáng)調(diào)為什么要用字母表示數(shù)以及什么情況下用字母表示數(shù)，幫助學(xué)生對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)理解，這才是突破數(shù)學(xué)模型建立的關(guān)鍵！

3.2 在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷模型建立的全過程

從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)建模的第一步，需要經(jīng)歷把實(shí)際情境到數(shù)學(xué)表達(dá)的思維過程，在這個過程中包含用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等來表達(dá)數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是建立數(shù)學(xué)模型過程中極為重要的一個環(huán)節(jié)．在這個過程中既可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，而且還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．可惜的是，筆者與一些教師交流后得知，平時的課堂教學(xué)中很少讓學(xué)生經(jīng)歷思維活動的過程，大多都只是重視“解題類型和方法”，而忽視對過程的分析，以及對解題思維的培養(yǎng).教師總是直接教“思維結(jié)果”，沒有將“思維過程”教給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生沒有學(xué)習(xí)思維的方法，這樣最直接的弊端就是學(xué)生缺乏獨(dú)立思考、開拓創(chuàng)新的意識和能力，一旦碰到與實(shí)際生活相對疏遠(yuǎn)的問題就束手無策．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》提出的“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用于拓展”的研究學(xué)習(xí)模式，就是一個指導(dǎo)我們進(jìn)行有效教學(xué)的策略.在實(shí)際教學(xué)時可以結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用這一模式，以學(xué)生為中心，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)組織教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷模型建立的全過程與知識應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識、基本技能，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，同時提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.實(shí)施這一策略的教學(xué)程序是：創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)求知欲；逐步概括，建立數(shù)學(xué)模型；分析模型，選用數(shù)學(xué)知識；問題解決，感受數(shù)學(xué)知識；歸納總結(jié)，升華數(shù)學(xué)知識．

3.3 課堂教學(xué)中關(guān)注建模思想的滲透

中考是短暫的,但是給我們留下的思考是長遠(yuǎn)的．在閱卷的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生仍然使用小學(xué)列算式的方法進(jìn)行解答，這不得不引起教師的思考：經(jīng)過3年的教學(xué)，學(xué)生對矩形邊長關(guān)系的求解不會使用方程工具，其中的原因是什么？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思考，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考．因此在課堂教學(xué)中要重視對方程、不等式、函數(shù)等使用場合和使用方法的介紹，關(guān)注建模思想的滲透，這樣學(xué)生對知識的理解就有了“源”，知識的運(yùn)用就有了“根”，知識的拓展才會有“魂”！