一道求橢圓離心率范圍題的多種解法

●李德安 (曲靖市第一中學(xué) 云南曲靖 655000)

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一道求橢圓離心率范圍題的多種解法

●李德安 (曲靖市第一中學(xué) 云南曲靖 655000)

研究橢圓離心率范圍問題是圓錐曲線中的常見問題.下面通過幾例常見題型，談?wù)劥祟悊栴}的一些常見解答.常見解答匯集成了一題多解，希望能給讀者帶來不常見的思維觸動(dòng).

解法1 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則

x2-c2+y2=0，

與橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2聯(lián)立得

c2x2+a2b2-a2c2=0.

該方程必有根，故

Δ=-4c2(a2b2-a2c2)≥0,

從而

b2≤c2,

于是

a2≤2c2,

即

故

又因?yàn)?

評(píng)注 聯(lián)立方程、消元、“Δ”、韋達(dá)定理是解決解析幾何問題的固用套路.解法1由等式到不等式的轉(zhuǎn)化，是由于點(diǎn)M的存在性，其對(duì)應(yīng)方程有解，從而得到Δ≥0，由這一不等關(guān)系求出e的范圍.

點(diǎn)撥2 在代數(shù)變形過程中，注意借助橢圓中x,y的有界性求出e的范圍.

解法2 在解法1中，可知

(1)

又點(diǎn)M在橢圓上，得

(2)

由式(1)和式(2)，得

即

因?yàn)?≤x2≤a2,所以

即

故

又因?yàn)?

評(píng)注 代數(shù)問題的解決，關(guān)鍵是變形，變形中洞察力要強(qiáng)，解答題目發(fā)展的方向源于變形中所帶來的思維啟發(fā).

點(diǎn)撥3 利用橢圓的焦半徑公式解題.

解法3 設(shè)M(x0,y0)，則

|MF1|=a+ex0, |MF2|=a-ex0.

從而

|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,

即

亦即

由題意：點(diǎn)M在橢圓上，但不在x軸上，從而

于是

進(jìn)而

0≤2c2-a2

即

故

評(píng)注 由垂直想到勾股定理，自然涉及到|MF1|,|MF2|的長度，通過焦半徑公式，輕松找到含有x0,a,c,e的等式，再由x0的范圍作為出發(fā)點(diǎn)，求出e的范圍.

點(diǎn)撥4 通過三角代換(或參數(shù)方程)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將e用三角函數(shù)式表示.

又因?yàn)辄c(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),所以

即

a2cos2θ+b2sin2θ=c2,

亦即

a2cos2θ+(a2-c2)sin2θ=c2，

從而

a2=c2(1+sin2θ)，

故

由θ∈(0,π)∪(π,2π),知0

故

即

評(píng)注 通過三角代換，借助正、余弦函數(shù)的有界性，求出e的范圍，顯得很自然.

b≤c

即

b2≤c2

從而

a2-c2≤c2-a2，

進(jìn)而

于是

故

評(píng)注 問題化歸到圓與橢圓必有公共點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合，言簡意賅，準(zhǔn)確到位地找到不等式b≤c

點(diǎn)撥6 找到e取值的邊界值，再分析取值范圍b≤c

圖1

解法6 如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在短軸的頂點(diǎn)B(或A)處時(shí)，∠F1MF2取最大值.若∠F1BF2=90°，則

評(píng)注M是橢圓上的點(diǎn)，那么∠F1MF2的大小可以很小，甚至可以是0°.但∠F1MF2的最大值，并不是任意大的.因此，為了保證橢圓上存在點(diǎn)M使∠F1MF2=90°，應(yīng)使∠F1MF2的最大值大于或等于90°，使∠F1MF2的最大值為∠F1BF2=90°，找到e的邊界值再分析.解法6針對(duì)選擇題、填空題顯得更靈活.

點(diǎn)撥7 通過解法6，可知應(yīng)使∠F1MF2的最大值∠F1BF2≥90°即可，為了保證∠F1BF2≥90°，可借助余弦定理.

解法7 由題意可知∠F1BF2≥90°，即

cos∠F1BF2≤0,

從而

即

2a2-4c2≤0，

進(jìn)一步

故

評(píng)注 分析題目的本質(zhì)，即∠F1MF2的最大值∠F1BF2≥90°，接下來從解三角形的角度，想到余弦定理.

點(diǎn)撥8 分析到∠F1MF2的最大值∠F1BF2≥90°，除了利用余弦定理，還可利用向量的數(shù)量積，去求e的范圍.

解法8 由題意可知∠F1BF2≥90°，則

即

-c2+b2≤0，

亦即

a2-c2≤c2，

從而

評(píng)注 利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直接找到含b,c的不等式，從而求出e的范圍.

解法9 由題意可知∠F1BF2≥90°，即

在Rt△OBF2中，

又因?yàn)?

評(píng)注 研究最大角的半角所滿足的條件，來得更快.

點(diǎn)撥10 分別設(shè)出|MF1|,|MF2|的長度，再利用重要不等式，求出e的范圍.

解法10 設(shè)|MF1|=m，|MF2|=n，則

(3)

(4)

由式(3)得m2+n2+2mn=4a2.

(5)

式(5)-式(4)，得

4a2-4c2=2mn≤m2+n2=4c2，

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，等號(hào)成立,即

2c2≥a2，

亦即

又因?yàn)?

評(píng)注 設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n，由橢圓定義及題設(shè)條件可得到含有m,n及a,b,c的等式，通過代數(shù)運(yùn)算，借助重要不等式，就找出了e的范圍.雖引進(jìn)了m,n這2個(gè)量，但整體結(jié)構(gòu)的處理正是借助關(guān)于m,n的重要不等式得到所需不等式.

點(diǎn)撥11 在解法10的基礎(chǔ)上，通過等面積法，由三角形高的范圍求出e的范圍.

解法11 由解法10可知

mn=2(a2-c2)=2b2.

設(shè)△F1MF2的邊F1F2上的高為h，由等面積法可得

2ch=mn,

即

a2≤2c2,

得

又因?yàn)?

評(píng)注 從三角形高的范圍，求出e的范圍，可謂新穎.

解題的訓(xùn)練就是思維的訓(xùn)練，解題的過程就是化歸轉(zhuǎn)化的過程，使要解決的問題轉(zhuǎn)化到我們熟知的范疇上；解題的過程就是解決矛盾的過程，矛盾在哪里，問題就在哪里，解題的突破口也就在那里；解題的過程就是聯(lián)想的過程，聯(lián)想可用怎樣的方法原理解決這一新的問題；解題的過程更是創(chuàng)新超越的過程，要有勇氣從不同的角度看問題，探究嘗試一題多解，不易樂乎！

布魯納曾說過：“一個(gè)人學(xué)習(xí)一門學(xué)科的知識(shí)，不是要建立有關(guān)這門學(xué)科的小型圖書館，而是要掌握其知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法原理.只有這樣，我們才能從知識(shí)的成品倉庫進(jìn)入知識(shí)的生產(chǎn)車間.”希望數(shù)學(xué)的解題能進(jìn)入生產(chǎn)的車間.

本文是云南省曲靖市教育局、曲靖師范學(xué)院教育科學(xué)規(guī)劃課題(項(xiàng)目編號(hào)：QJQSKT2015001)的研究成果之一.