淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

彭利明， 王 永， 黃志龍

浙江大學 工程力學系，杭州 310027)

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淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

彭利明， 王 永， 黃志龍

浙江大學 工程力學系，杭州 310027)

以淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件為研究對象，導出寬帶隨機激勵下以能量收集效率最大為目標的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方案。應用假設模態(tài)法及Lagrange方程法導出淺球殼結(jié)構(gòu)非線性隨機微分方程。采用穩(wěn)態(tài)期望穿閾率描述結(jié)構(gòu)跳變頻率，并選取殼體處于底圓位置的應變能衡量每次跳變可收集能量。以穩(wěn)態(tài)期望穿閾率與參考應變能乘積構(gòu)造可收集功率概念，可收集功率可平衡跳變頻率與每次跳變相應的可收集能量。以可收集功率最大為目標，導出最優(yōu)無量綱幾何參數(shù)與最優(yōu)無量綱可收集功率。因其具有無量綱本質(zhì)，該結(jié)構(gòu)最優(yōu)設計方案具有普適性。

振動能量收集；雙穩(wěn)；淺球殼；寬帶隨機激勵；穿閾率；可收集功率

由于電子器件微型化及環(huán)境振動能量廣泛存在性，對振動能量收集技術研究迅猛發(fā)展[1-5]。振動能量收集技術基于線性共振現(xiàn)象，頻帶較窄。僅當外激頻率固定并與振動能量收集器件基頻匹配時該器件才能高效工作，外激頻率在收集器件基頻附近小攝動亦會大幅減小輸出功率。盡管已發(fā)展許多技術用于拓展線性振動能量收集器件有效帶寬，如振子陣列、多模態(tài)振子、主被動頻率調(diào)節(jié)技術等[6]，但這些技術或多或少存在問題，如能量密度較低、需外界能量輸入等[7-8]。故更多高等寬帶振動能量收集技術頗受關注。

通過磁吸引、磁排斥及機械技術等人為引進剛度非線性，即可構(gòu)建非線性振動能量收集器件。引進剛度非線性能在較寬頻帶內(nèi)增強收集器件與外激耦合，為拓寬有效帶寬的潛在方法[9-11]?；趧菽芎瘮?shù)特征，非線性能量收集器件可區(qū)分為單、雙穩(wěn)兩類。單穩(wěn)非線性能量收集器件基于非線性共振現(xiàn)象，幅頻特性曲線偏移使系統(tǒng)在較寬頻帶內(nèi)具有高、低能量兩種響應。充分利用該特性，可使其在較寬頻帶內(nèi)具有大的系統(tǒng)響應。然而，為使單穩(wěn)非線性能量收集器件產(chǎn)生高輸出功率，須使振動維持在高能量。而對硬、軟化非線性，分別要求外激為升頻頻掃、降頻頻掃才能實現(xiàn)，實際環(huán)境中較難控制。此外，環(huán)境振動的隨機本質(zhì)亦嚴重制約單穩(wěn)非線性能量收集技術的應用。

在周期或隨機外激作用下，雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)狀態(tài)可在兩穩(wěn)定態(tài)間切換[12-13]。利用該現(xiàn)象可使雙穩(wěn)振動能量收集器件在外激作用下發(fā)生大幅振動從而產(chǎn)生高輸出功率。因雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)各穩(wěn)態(tài)間切換對外激頻率要求不嚴格，故雙穩(wěn)能量收集器件能收集相當頻寬的振動能量。對通過磁吸引、磁排斥技術實現(xiàn)雙穩(wěn)研究表明，雙穩(wěn)能量收集技術在有效頻寬、輸出功率兩方面均有大幅提高。然而，引入磁鐵限制了器件微型化，并會干擾周邊元器件信號，劣化其性能。機械技術直接利用本身具有雙穩(wěn)勢的具初曲率結(jié)構(gòu)，其雙穩(wěn)特性完全由結(jié)構(gòu)自身內(nèi)在特性決定，無需外在因素。因此該方式不會限制器件微型化，較通過磁鐵構(gòu)造雙穩(wěn)勢方案具有極大優(yōu)勢[14]。基于此的振動能量收集技術研究處于起步階段，在結(jié)構(gòu)上僅涉及具中心配重的后屈曲壓電梁[15]及具初始曲率的壓電曲板[16-17]。前者從理論、實驗兩方面研究了雙穩(wěn)機制在確定性、隨機外激作用下能量收集中的應用，給出后屈曲程度對收集效率影響；后者實驗研究雙穩(wěn)曲板寬帶能量收集效率，并在理論上從靜態(tài)跳變角度討論曲板尺寸及電極布置的優(yōu)化問題。淺球殼結(jié)構(gòu)為另一典型的雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)，較后屈曲梁，該結(jié)構(gòu)由于可布置大面積壓電層，故而可產(chǎn)生更多電荷及更大輸出信號；較曲板技術，該結(jié)構(gòu)在微電子工藝中更易實現(xiàn)，通過層狀結(jié)構(gòu)各層間應變錯配，可由溫度控制輕易實現(xiàn)具任意曲率淺殼，而曲板兩曲率同時控制難以實現(xiàn)[18]。因此，淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集技術具有重要研究價值，但迄今尚無涉及該方面研究。

本文以淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件為研究對象，探討寬帶隨機激勵作用下以輸出功率最大為目標的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計問題。嚴格講，應先導出輸出功率與結(jié)構(gòu)參數(shù)之關系，再求導最優(yōu)參數(shù)值。然而，由于結(jié)構(gòu)連續(xù)性、機電耦合特性及激勵隨機性，該方法不易實施。為導出簡單宜用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法，從純結(jié)構(gòu)角度出發(fā)，以寬帶隨機激勵作用下結(jié)構(gòu)跳變頻率及典型狀態(tài)應變能乘積構(gòu)造可收集功率概念，以可收集功率最大為目標優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 淺球殼結(jié)構(gòu)非線性隨機微分方程建立

圖1 淺球殼幾何模型及坐標系統(tǒng)Fig. 1 Geometry and reference frame of shallow spherical shell

淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件由淺球殼結(jié)構(gòu)與軸對稱分布的壓電層組成。外界載荷作用下淺球殼結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，壓電層通過壓電效應產(chǎn)生信號對負載供電。由于壓電層厚度較淺球殼結(jié)構(gòu)小得多，故可忽略壓電層剛度對系統(tǒng)動態(tài)響應影響；負載電路消耗系統(tǒng)能量，可視為等效阻尼附加于結(jié)構(gòu)。因此，當僅分析系統(tǒng)動態(tài)響應時，可考慮具有附加阻尼的無壓電層淺球殼結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)幾何尺寸、約束、載荷及坐標系見圖1。其底圓半徑為a，厚度h，殼高d，中曲面曲率半徑R，球殼周邊簡支。上表面受均布隨機壓力ξ(t)作用，ξ(t)為零均值Gauss白噪聲，強度為2D。材料各向同性，彈性模量E，泊松比υ。球殼上任一點由中曲面的正交曲線坐標φ，θ及沿中面法向指向殼體凹側(cè)坐標z描述。在軸對稱載荷作用下，該球殼中曲面任一點位移僅依賴于φ值，與θ無關。為方便，在底圓平行圓半徑方向引入新坐標r，則有v=0，u=u(r,t)，w=w(r,t)。

對淺球殼而言，由于φ值很小，故可引入近似關系r≈Rφ，cosφ≈1，sinφ≈φ，應變-位移關系可表示為

(1)

曲率變化分量為

(2)

內(nèi)力表達式為

(3)

淺球殼面內(nèi)平衡方程為

(4)

式中：A，B為拉梅系數(shù)。

由于A=R，B=Rsinφ≈Rφ≈r，面內(nèi)平衡方程可簡化為

(5)

將式(1)、(3)代入式(5)，整理得面內(nèi)位移u、出面位移w非線性微分關系為

(6)

h2q(t)2R(3-υ)]

(7)

通過Lagrange方程建立淺球殼動力學方程。淺球殼應變能[20]表達式為

(8)

式中：S為全域積分。

式(8)積分可轉(zhuǎn)化為對坐標r，θ的積分，積分限為[0,a]及[0,2π]，得

(9)

主動力虛功之和為

(10)

得廣義力為

(11)

設m為淺球殼中面單位面積質(zhì)量，ε為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，則系統(tǒng)動能表示為

(12)

耗散函數(shù)[21]表示為

(13)

將上述表達式代入Lagrange方程，整理得關于q(t)的運動控制方程為

(14)

據(jù)此方程研究淺球殼結(jié)構(gòu)的跳變行為，進而導出淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方案。

2 雙穩(wěn)勢存在條件及跳變行為說明

自由狀態(tài)下，淺球殼平衡位置可通過分析方程(14)得到。平衡位置由剛度零點或勢能極值導出，即由式(15)確定

(15)

求解得3個解為

(16)

圖2 淺球殼勢能曲線Fig. 2 Potential energy curve of shallow spherical shell

由式(14)出發(fā)，給出白噪聲激勵下淺球殼結(jié)構(gòu)隨機響應樣本，說明淺球殼結(jié)構(gòu)動態(tài)跳變行為。選一組特定參數(shù)ε/m=0.05，mh=1/3，Eh3/(4ma4)=0.001，D=0.06，υ=0.3，k=18，采用龍格-庫塔法數(shù)值求解式(14)，得典型樣本曲線見圖3，時間單位為s。由圖3可知，淺球殼運動含3種特征，即分別圍繞兩平衡位置的隨機振動及在兩平衡位置間的隨機跳變。載荷的隨機性致跳變時間亦呈隨機性。

圖3 淺球殼跳變行為Fig.3 Snap-through behavior of shallow spherical shell

3 期望穿閾率確定

由于淺球殼結(jié)構(gòu)每次跳變均對應一次大的變形改變，大變形改變相應于大電信號輸出。若每次跳變產(chǎn)生的輸出信號相當，則跳變越快輸出功率越大。因此，估計單位時間內(nèi)發(fā)生的跳變次數(shù)即穿閾率，對衡量淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件性能具有重要意義。由于激勵的隨機性，特定時刻的穿閾率為隨機變量，需通過穿閾率均值即期望穿閾率衡量跳變頻率。此外，期望穿閾率隨時間變化而變化，表現(xiàn)出演化特性。對能量收集技術而言，考慮瞬態(tài)期望穿閾率意義不大，故本文局限于對穩(wěn)態(tài)期望穿閾率研究。

式(14)寫成標準形式為

(17)

式中：

(18)

其穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度[22]為

(19)

由歸一化條件得歸一化常數(shù)C為

(20)

(21)

穿越上述閾值的期望穿閾率可通過穩(wěn)態(tài)概率密度導出，即

(22)

將式(19)代入式(22)并整理得

(23)

圖4 穩(wěn)態(tài)期望穿閾率υa隨無量綱參數(shù)k變化(離散點：蒙特卡洛模擬結(jié)果)Fig.4 Variation of the stationary ratio of expectation crossingυa with the non-dimensional geometric parameterk(discrete points: results from Monte Carlo simulation)

穩(wěn)態(tài)期望穿閾率υa隨淺球殼無量綱幾何參數(shù)k=a2/(Rh)的變化關系見圖4。系統(tǒng)參數(shù)取ε/m=0.05，mh=1/3，Eh3/(4ma4)=0.001，D=0.06，υ=0.3。由圖4可見，隨無量綱幾何參數(shù)k的增大穩(wěn)態(tài)期望穿閾率υa減小。在底圓半徑a及殼體厚度h保持不變條件下，無量綱幾何參數(shù)k增大相應于殼體曲率半徑R減小，跳變更難實現(xiàn)，與分析結(jié)果一致。當無量綱幾何參數(shù)k較大時穩(wěn)態(tài)期望穿閾率趨于零，對應于幾乎無跳變發(fā)生，淺球殼圍繞其中一個平衡位置振動。通過與蒙特卡洛模擬結(jié)果比較知，其中離散圓點為模擬結(jié)果。分析解及模擬解的一致性證實理論方法的有效性。

4 可收集功率定義及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

在底圓半徑a及殼體厚度h保持不變條件下，淺球殼曲率半徑R越大越易發(fā)生跳變，或謂期望穿閾率越大。而對大曲率半徑R，每次跳變變形改變較小即輸出能量較小。期望穿閾率及每次跳變輸出能量為一對矛盾，1個變大時另個必減小。振動能量收集器件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計以輸出功率最大為目標，要求權衡期望穿閾率及每次跳變的輸出能量。由于每次跳變的輸出信號及變形改變有直接關系，對壓電型器件而言，為簡單線性關系，可考慮用典型狀態(tài)參考應變能替代對每次跳變產(chǎn)生的輸出能量衡量。將穩(wěn)態(tài)期望穿閾率與參考變形能相乘，可構(gòu)造所謂可收集功率概念。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計通過可收集功率最大為目標實現(xiàn)。

選淺球殼結(jié)構(gòu)處于平行圓位置時的應變能為參考應變能，即

(24)

參考應變能U*24a2/(πEh5)隨淺球殼無量綱幾何參數(shù)k=a2/(Rh)的變化關系見圖5，其中泊松比υ=0.3。由圖5可見，隨k的增大U*增大。

圖5 參考應變能隨無量綱幾何參數(shù)變化關系 Fig.5 Variation of the referred deformation energy with the non-dimensional geometric parameter

定義可收集功率為

P=U*υa

(25)

由圖4、圖5可見，該定義體現(xiàn)了無量綱幾何參數(shù)k=a2/(Rh)變化時穩(wěn)態(tài)期望穿閾率υa與參考應變能U*競爭關系。將式(24)、(23)代入上式，整理得

(26)

式中：A，I均為無量綱量，即

(27)

式(26)左端項亦為無量綱量，為無量綱可收集功率。由式(27)可見，I僅依賴參數(shù)A、泊松比υ及幾何參數(shù)k。因此式(26)右端項也僅依賴于這些參數(shù)。對給定的泊松比υ及參數(shù)A，可得最優(yōu)無量綱幾何參數(shù)及可收集功率。

圖6 無量綱可收集功率隨無量綱幾何參數(shù)變化關系Fig.6 Variation of the non-dimensional harvestable power with the non-dimensional geometric parameter

對給定泊松比值υ=0.3，淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件最優(yōu)無量綱幾何參數(shù)k及最優(yōu)無量綱可收集功率隨無量綱參數(shù)A的變化關系，見圖7、圖8。由二圖可見，隨A增大k及無量綱功率減小，且該趨勢對任意泊松比成立。對給定A=10-8，淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件最優(yōu)無量綱幾何參數(shù)k及最優(yōu)無量綱可收集功率隨泊松比υ的變化關系見圖9、圖10。由二圖可見，隨υ增大k減小而最優(yōu)無量綱可收集功率增大。由于無量綱本質(zhì)，上圖可認為淺球殼型振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化的普適設計圖。對給定材料參數(shù)、激勵參數(shù)、阻尼系數(shù)、殼體厚度及底圓半徑，可由圖7直接得到最優(yōu)無量綱幾何參數(shù)k，進而直接給出最優(yōu)曲率半徑值。因此，該方法對淺球殼型振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計具有重要意義。

圖7 最優(yōu)無量綱幾何參數(shù)對無量綱參數(shù)依賴關系Fig.7 The dependence of optimal non-dimensional geometric parameter on the non-dimensional parameter

5 結(jié) 論

(1) 提出淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方案。通過假設模態(tài)法及Lagrange方程法導出控制淺球殼結(jié)構(gòu)響應的非線性隨機微分方程；以殼體頂點到底圓中心距離為閾值， 通過結(jié)構(gòu)隨機響應的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度表示穩(wěn)態(tài)期望穿閾率；選殼體處于底圓位置狀態(tài)的應變能為參考應變能，衡量每次跳變可收集的能量總量；通過穩(wěn)態(tài)期望穿閾率與參考應變能乘積構(gòu)造可收集功率概念，可收集功率可平衡跳變頻率與每次跳變的可收集能量。以可收集功率最大為目標，給出最優(yōu)無量綱可收集功率值。

(2) 通過研究知，淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集技術為對屈曲梁型及曲板型雙穩(wěn)振動能量收集技術的補充，并在微電子制備工藝上具有優(yōu)勢；由于雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)的強非線性特性及機電耦合效應的復雜性，引入可收集功率概念，導出形式簡潔的結(jié)構(gòu)最優(yōu)設計公式。因具無量綱本質(zhì)，該公式對淺球殼型雙穩(wěn)振動能量收集器件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計具有普遍適用性。

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Structural optimum design of shallow spherical shell-type bistable vibration energy harvester

PENG Li-ming, WANG Yong, HUANG Zhi-long

Department of Engineering Mechanics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

A shallow spherical shell-type bistable vibration energy harvester was investigated, and its structural optimum design was achieved by maximizing the efficiency of the energy harvesting. A nonlinear stochastic differential equation was derived by using the assumed mode method and the Lagrange procedure. The stationary rate of expectation crossing was adopted to describe the frequency of snapping through, while the deformation energy of the shell lying at the bottom circle position to describe the harvestable energy in each snapping through. The concept of harvestable power was introduced and it is expressed as the product of stationary rate of expectation crossing and referred deformation energy, which can make a balance between these two indexes. The optimal non-dimensional geometric parameters and the associated optimal non-dimensional harvestable power were then derived by maximizing the harvestable power. Due to the non-dimensional property, the proposed structural optimum design method keeps universality.

vibration energy harvesting; bi-stable; shallow spherical shell; wideband random excitation; rate of crossing; harvestable power

國家自然科學基金項目(11025211, 11302064)

2014-03-10 修改稿收到日期：2014-06-19

彭利明 男，碩士生，1990年7月生

王永 男，副教授，1979年9月生

O324

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.005