基于回傳射線(xiàn)矩陣法成層土中部分埋入黏彈性樁的波動(dòng)響應(yīng)研究

余云燕， 姚 棟

蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

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基于回傳射線(xiàn)矩陣法成層土中部分埋入黏彈性樁的波動(dòng)響應(yīng)研究

余云燕， 姚 棟

蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

基于回傳射線(xiàn)矩陣法獲得樁頂作用半個(gè)正弦波脈沖時(shí)成層土中部分埋入黏彈性樁樁頂處速度導(dǎo)納，利用Fourier逆變換與卷積定理獲得瞬態(tài)半正弦激振力作用下樁頂處時(shí)域速度響應(yīng)。比較均勻地基部分埋入樁受樁身材料阻尼與樁側(cè)土體阻尼作用的樁頂速度響應(yīng)，分析軟(硬)夾層厚度、夾層土土性參數(shù)、樁底土土性參數(shù)變化對(duì)樁頂速度導(dǎo)納及反射波影響。結(jié)果表明，樁身材料阻尼對(duì)樁頂速度導(dǎo)納及反射信號(hào)均有衰減作用，且會(huì)使樁底反射波發(fā)生彌散現(xiàn)象；樁側(cè)、樁底土體剛度變化會(huì)使速度導(dǎo)納低頻段曲線(xiàn)產(chǎn)生偏移量；樁側(cè)、樁底土體阻尼變化對(duì)樁頂速度導(dǎo)納及反射波較二者剛度變化影響更大。

回傳射線(xiàn)矩陣法；成層土；部分埋入黏彈性樁；瞬態(tài)波動(dòng)；速度導(dǎo)納

樁基礎(chǔ)因其優(yōu)點(diǎn)諸多廣泛用于土木工程領(lǐng)域，樁基檢測(cè)成為施工中不可缺少環(huán)節(jié)。而樁的縱向振動(dòng)理論為各種樁基動(dòng)力檢測(cè)的理論基礎(chǔ)，開(kāi)展樁的縱向振動(dòng)理論研究對(duì)進(jìn)一步弄清動(dòng)力測(cè)樁機(jī)理及正確分析測(cè)試曲線(xiàn)十分重要。已有諸多對(duì)樁的縱向振動(dòng)理論及求解方法進(jìn)行深入系統(tǒng)研究且成果頗豐。 Van Koten等[1]采用函數(shù)代換及求黎曼函數(shù)方法獲得均質(zhì)土中半無(wú)限長(zhǎng)均勻截面樁在任意激振力作用下的時(shí)域縱向響應(yīng)。王奎華等[2-4]研究獲得有限長(zhǎng)樁、變截面阻抗樁的時(shí)域解析解。劉東甲[5]利用分段矩陣相乘法求得不均勻土中多缺陷樁的縱向時(shí)域半解析解。馮世進(jìn)等[6]運(yùn)用拉普拉斯變換與矩陣?yán)碚摣@得成層土中樁的振動(dòng)半解析解。以往研究均針對(duì)全埋入樁基，而實(shí)際工程中大多樁基部分埋入，如橋梁、碼頭樁基等。因此，尋求新計(jì)算方法解決部分埋入樁基縱向振動(dòng)非常必要。

Howard等[7-8]提出用回傳射線(xiàn)矩陣法分析框架、剛架結(jié)構(gòu)的初期瞬態(tài)波動(dòng)響應(yīng)。 該方法采用兩組局部坐標(biāo)系，使射線(xiàn)追蹤過(guò)程具有因果關(guān)系，使結(jié)果更精確；且主要求解過(guò)程均在頻域內(nèi)進(jìn)行，可精確求得解析解，用Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)避免系統(tǒng)矩陣方程求逆中的奇異性問(wèn)題，無(wú)需劃分更多單元即可求出結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的解析解。余云燕等[9-17]將該方法用于埋置框架的波動(dòng)響應(yīng)研究中，土體對(duì)樁基作用用彈簧模擬，對(duì)脈沖荷載作用下有無(wú)缺陷埋置框架的瞬態(tài)波動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析；并對(duì)軸向激振力作用下部分埋入完整樁、缺陷樁在均質(zhì)土、成層土中的波動(dòng)響應(yīng)深入系統(tǒng)研究，獲得許多有價(jià)值的結(jié)論。雖對(duì)樁基波動(dòng)響應(yīng)研究已有不少文獻(xiàn)，但尚無(wú)能綜合考慮部分埋入樁基、土體分層性質(zhì)及樁身材料阻尼等多種因素對(duì)波動(dòng)響應(yīng)影響。本文用回傳射線(xiàn)矩陣法研究成層土中部分埋入黏彈性樁樁頂脈沖作用下波動(dòng)響應(yīng)，分析土體剪切模量、上覆土層厚度、軟(硬)夾層厚度對(duì)樁頂速度導(dǎo)納、反射波影響。

1 問(wèn)題提出與求解

成層土中部分埋入樁-土計(jì)算模型見(jiàn)圖1?；炯俣椋孩?樁為有限長(zhǎng)，樁身材料為黏彈性材料，軸向應(yīng)變黏性阻尼系數(shù)為ηp，樁總長(zhǎng)l、橫截面積Ap、密度ρp、彈性模量Ep，下標(biāo)p表示有關(guān)樁的參數(shù)。在樁長(zhǎng)度、密度、橫截面積及彈性模量不變條件下，據(jù)樁身是否埋入土體及土層性質(zhì)變化情況將樁分為n段，樁頂～樁底各段長(zhǎng)度分別為l12，l23，l34，…，ln(n+1)。② 樁身部分埋于成層土中。樁側(cè)各土層對(duì)樁的作用簡(jiǎn)化為線(xiàn)性彈簧κuj及線(xiàn)性阻尼器βuj以并聯(lián)方式耦合，下標(biāo)u表示有關(guān)土體參數(shù)，j表示第j層土體參數(shù)，土層編號(hào)自上而下為1，2，…，n-1，各土層厚度分別為l23，l34…，lij…，ln(n+1)(i=2，3，…，n；j=3，4，…，n+1)。③ 樁底土對(duì)樁的作用簡(jiǎn)化為線(xiàn)性彈簧κt與線(xiàn)性阻尼器βt以并聯(lián)方式耦合。④ 樁-土系統(tǒng)振動(dòng)為小變形。

圖1 部分埋入樁-土計(jì)算模型Fig.1 Calculation model of pile-soil embedded partially in soil

所謂黏彈性樁為既有彈性又具有黏性性質(zhì)，從能量轉(zhuǎn)換考慮，固體的彈性使外力在彈性體變形過(guò)程中所做功全部以彈性勢(shì)能方式儲(chǔ)存，而固體的黏性可視為其內(nèi)部存在的內(nèi)磨擦力，當(dāng)固體在外荷載作用下變形時(shí)，外力克服磨擦力做功，導(dǎo)致能量在傳遞過(guò)程中耗散從而產(chǎn)生波在傳播過(guò)程中發(fā)生衰減現(xiàn)象。

以樁頂中心為原點(diǎn)對(duì)樁建立豎直向下總體坐標(biāo)系X(圖1)。該樁設(shè)n個(gè)單元n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)單元ij引入局部坐標(biāo)系xi及xj，原點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)i，j。

考慮樁身材料阻尼，局部坐標(biāo)系下各單元運(yùn)動(dòng)方程統(tǒng)一寫(xiě)為

(1)

式中：u=u(x,t)為樁身質(zhì)點(diǎn)位移；j=0，1，2，…，n；κu0=0，βu0=0表示地面以上桿件無(wú)土體作用。

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行Fourier變換，得

(3)

式中： “^”表示頻域中變量。

求解式(3)可得

(4)

經(jīng)無(wú)量綱化后，頻域中速度、軸力表達(dá)式為

(5)

頻域中，對(duì)所有節(jié)點(diǎn)建立力的平衡、位移協(xié)調(diào)條件，以節(jié)點(diǎn)3為例，有

(6)

將上式整理合并為

d3(ω)=S3(ω)a3(ω)+s3(ω)

a3=[a32,a34]T,d3=[d32,d34]T

以此類(lèi)推，得各節(jié)點(diǎn)局部入射波波幅向量及出射波波幅向量，分別將其組集到總體矩陣a(ω)，d(ω)中，有

d(ω)=S(ω)a(ω)+s(ω)

(7)

式中：a(ω)，d(ω)分別為總體入、出射波波幅向量；S(ω)，s(ω)分別表為總體散射矩陣及總體波源向量。

對(duì)任一單元ij，因其兩端各假設(shè)局部坐標(biāo)系，故一端的入射波對(duì)另一端則為出射波，故a，d之間存在相位關(guān)系，即

a(ω)=PUd(ω)

(8)

式中：P=diag{-e-ik0l12,-e-ik0l21,-e-ik1l23,…,-e-iknln(n+1),-e-iknl(n+1)n}為傳播矩陣；U為置換矩陣。

將式(8)代入式(7)，得

d(ω)=[I-R(ω)]-1s(ω)

(9)

式中：R=SPU為回傳射線(xiàn)矩陣；I為單位矩陣。

將式(9)代入式(8)即可求出a。求出a，d后即可在頻域中求出任一點(diǎn)的任意物理量。如在樁頂單位脈沖作用下(即樁頂激勵(lì)f(t)=δ(t)時(shí)間函數(shù)，且f(ω)=1)的頻域速度響應(yīng)為

(10)

式中：AV，DV分別為樁的入、出射波速度波相矩陣。

將式(8)、(9)代入式(10)得

(11)

(12)

為消除極點(diǎn)，可將[I-R]-1用Neumann級(jí)數(shù)方式展開(kāi)，即

[I-R]-1=I+R+R2+…+RN+…

(13)

將式(13)代入式(12)得

[I+R+R2+…+RN+…]seiωtdω

(14)

式中級(jí)數(shù)每一項(xiàng)表示波從某一節(jié)點(diǎn)向相鄰節(jié)點(diǎn)的一次傳播，故實(shí)際計(jì)算中可只計(jì)算級(jí)數(shù)中所需前面若干項(xiàng)，獲得有限時(shí)間內(nèi)瞬態(tài)波的波動(dòng)響應(yīng)。

d，a分別由N次多項(xiàng)式dN及N-1次多項(xiàng)式aN-1近似表示[18]為

(15)

式(14)可表述為

(16)

當(dāng)樁頂輸入半個(gè)正弦波激振力f(t)=Qmax(sinπt/Ta),t∈[0,Ta]，其中Qmax，Ta分別為激振力幅值及持續(xù)時(shí)間，通過(guò)卷積定理即獲得樁頂速度波時(shí)域響應(yīng)，即

(17)

2 參數(shù)分析

2.1 均質(zhì)土中樁身材料及樁側(cè)阻尼對(duì)部分埋入完整單樁樁頂速度導(dǎo)納與反射波影響

圖2 樁身材料、樁側(cè)土體阻尼對(duì)完整樁頂速度導(dǎo)納影響Fig.2 Damping surrounding the pile or pile damping on velocity admittance at top of perfected pile

圖3 樁身材料、樁側(cè)土體阻尼對(duì)完整樁頂反射波影響Fig.3 Damping surrounding the pile or pile damping on velocity wave at top of perfected pile

2.2 樁身材料阻尼對(duì)三層土地基中部分埋入黏彈性樁樁頂速度導(dǎo)納和反射波的影響

圖4 三層土中部分埋入黏彈性樁-土計(jì)算模型Fig.4 Calculation model of viscous-elastic pile-soil embedded partially in three-layered soil

2.3 軟(硬)夾層厚度對(duì)三層土地基中部分埋入黏彈性樁頂速度導(dǎo)納及反射波影響

體呈衰減狀。低頻時(shí)三條曲線(xiàn)差異較大，說(shuō)明軟夾層厚度對(duì)速度導(dǎo)納值影響較大；而到達(dá)高頻后三條曲線(xiàn)漸趨重合，說(shuō)明樁材阻尼影響逐漸顯現(xiàn)，軟夾層厚度影響變得越不明顯。 由圖8知，隨軟夾層厚度增加，由樁頂首次到達(dá)軟夾層頂部(即節(jié)點(diǎn)3處)反射波(傳播路徑12321)到達(dá)接收點(diǎn)時(shí)間越來(lái)越早，而軟夾層底部(即節(jié)點(diǎn)4處)反射波(傳播路徑1234321)到達(dá)接收點(diǎn)時(shí)間越遲，4節(jié)點(diǎn)處反射信號(hào)越強(qiáng)烈經(jīng)樁底(節(jié)點(diǎn)5)的反射波(傳播路徑123454321)信號(hào)越強(qiáng)。說(shuō)明軟夾層厚度增加，樁側(cè)介質(zhì)阻尼較小樁段占樁長(zhǎng)比例增大，對(duì)樁內(nèi)反射波能量耗散減弱。當(dāng)然，樁材阻尼對(duì)波形彌散作用及信號(hào)強(qiáng)度衰減作用顯而易見(jiàn)。

2.4 樁周土性參數(shù)對(duì)三層土地基中部分埋入黏彈性樁頂速度導(dǎo)納及反射波影響

2.5 樁底土土性參數(shù)對(duì)三層土地基中部分埋入黏彈性樁頂速度導(dǎo)納及反射波影響

圖17 樁底土阻尼對(duì)黏彈性樁頂速度導(dǎo)納影響Fig.17 Effect of damping at tip of pile on velocity admittance at top of viscous-elastic pile

圖18 樁底土阻尼對(duì)黏彈性樁頂反射波影響Fig.18 Effect of damping at tip of pile on velocity wave at top of viscous-elastic pile

3 實(shí)例分析

圖19 實(shí)測(cè)曲線(xiàn)Fig.19 Fitted curve

圖20 理論曲線(xiàn)Fig.20 Measured curve

4 結(jié) 論

基于回傳射線(xiàn)矩陣法，研究成層土中部分埋入黏彈性樁頂速度導(dǎo)納及反射波，進(jìn)一步分析軟(硬)夾層厚度與樁周、樁底土性參數(shù)對(duì)樁頂時(shí)域及頻域速度響應(yīng)影響，結(jié)論如下：

(1) 樁身材料阻尼會(huì)使速度導(dǎo)納曲線(xiàn)及樁底反射波發(fā)生衰減，并使樁底反射波產(chǎn)生彌散現(xiàn)象；樁側(cè)介質(zhì)阻尼會(huì)使速度導(dǎo)納曲線(xiàn)各波峰值驟減而波谷幅值不變，亦會(huì)對(duì)樁底反射信號(hào)強(qiáng)度產(chǎn)生衰減作用，且對(duì)樁側(cè)介質(zhì)發(fā)生變化處反射波影響較大。

(2) 軟夾層越厚速度導(dǎo)納曲線(xiàn)各波峰值越大，各波谷幅值略微減小，樁底反射波信號(hào)亦越強(qiáng)；硬夾層越厚速度導(dǎo)納曲線(xiàn)各波峰值越小，各波谷幅值越大，樁底反射信號(hào)強(qiáng)度越弱。

(3) 樁周夾層土剛度越大，速度導(dǎo)納曲線(xiàn)在低頻段向右偏移量越大，而高頻時(shí)偏移現(xiàn)象消失；反射波隨無(wú)量綱時(shí)間增大會(huì)出現(xiàn)漸增向下偏移量。樁周夾層土阻尼越大速度導(dǎo)納曲線(xiàn)各波峰值減小，各波谷幅值增大；樁底反射信號(hào)強(qiáng)度越弱，而樁底反射波終止點(diǎn)之后的上抬量亦越大，并使土體阻尼變化段層面反射信號(hào)向下變化。

(4) 樁底土剛度越大，速度導(dǎo)納曲線(xiàn)在低頻時(shí)向右偏移量亦越大，但該偏移現(xiàn)象在高頻時(shí)越不明顯；樁底反射信號(hào)被扭曲，當(dāng)樁底土剛度增大到一定程度后，反射波與入射波方向相反，樁底支撐由彈性支撐變?yōu)閯傂灾?。樁底土阻尼越大樁頂速度?dǎo)納曲線(xiàn)越平緩，當(dāng)該值增大到某一值時(shí)曲線(xiàn)上各點(diǎn)僅在H(ω)=1處作輕微上下振蕩；樁底土阻尼對(duì)反射信號(hào)前期幾乎無(wú)影響，樁底土阻尼越大樁底反射信號(hào)強(qiáng)度越弱。

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Transient wave response of a viscous-elastic pile partially embedded in layered soil based on the method of reverberation-ray matrix

YU Yun-yan, YAO Dong

School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on the method of reverberation-ray matrix, the velocity admittance curves of a viscous-elastic pile partially embedded in layered soil, caused by a vertical unit impulse at the top of pile were derived. The time-domain velocity responses of the pile, subjected to a semi-sine impulse at the top, were obtained with the help of the inverse Fourier transform and the convolution theorem. The velocity responses at the top of pile embedded partially in homogeneous soil were compared, considering either the pile material damoing or the soil damping surrounding the pile. The influences of soft(or hard)interlayer thickness, interlayer soil parameters and soil parameters at pile end on the velocity admittance and the reflection wave of pile top were analyzed in detail. The results show that: the pile material damping makes the velocity admittance and reflecting signals of pile top attenuate, and causes the dispersion phenomenon of reflecting wave at the bottom of pile. The changes of soil stiffness surronding pile and at pile end may generate an offset of the low frequency band curves of velocity admittance, while the changes of soil damping surronding pile and at pile end may have a bigger effect on velocity admittance and reflecting wave of pile top.

reverberation-ray matrix method; layered soil; viscous-elastic pile embedded partially in soil; transient wave; velocity admittance

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(51268031)；甘肅省高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)基金資助(212098)；甘肅省基礎(chǔ)研究創(chuàng)新群體(145RJIA332)

2014-04-28 修改稿收到日期：2014-07-01

余云燕 女，博士，教授，1968年生

TU473

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.011