參數(shù)不確定與有界干擾自由飄浮柔性空間機械臂基于速度觀測器的奇異攝動魯棒控制及振動抑制

于瀟雁， 陳 力

福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350116)

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參數(shù)不確定與有界干擾自由飄浮柔性空間機械臂基于速度觀測器的奇異攝動魯棒控制及振動抑制

于瀟雁， 陳 力

福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350116)

討論載體位置、姿態(tài)均不受控情況下系統(tǒng)參數(shù)不確定與有界干擾自由漂浮柔性空間機械臂基于速度觀測器的奇異攝動魯棒控制及振動抑制問題。利用拉格朗日方程結(jié)合動量守恒原理獲得自由飄浮柔性空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程；用奇異攝動法將柔性空間機械臂系統(tǒng)分解為關(guān)于關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)與描述柔性桿件振動的快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，提出含慢、快變控制項的復(fù)合控制器。將動態(tài)滑模觀測器與魯棒控制結(jié)合，獲得系統(tǒng)慢變控制力矩實現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤。對快變子系統(tǒng)基于線性觀測器及線性系統(tǒng)最優(yōu)控制理論獲得系統(tǒng)快變控制力矩實現(xiàn)柔性桿振動抑制。并數(shù)值仿真證實方法的有效性。該控制方案僅需精確的載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置及柔性振動模態(tài)坐標反饋，而無需測量載體姿態(tài)角速度、關(guān)節(jié)角速度及角加速度、柔性振動模態(tài)坐標導(dǎo)數(shù)及漂浮基位置、移動速度、移動加速度。

飄浮基柔性空間機械臂；奇異攝動法；魯棒控制；速度觀測

未來空間作業(yè)中機器人將扮演重要角色，不僅能減少宇航員艙外活動危險且可節(jié)省載人航天費用，因此對空間機器人研究頗受關(guān)注[1-4]?？紤]空間機械臂質(zhì)量輕、臂長、重載等特點，為獲得空間機械臂較好控制精度及性能，需考慮機械臂柔性。蘇文敬等[5]利用假設(shè)模態(tài)法進行動力學(xué)建模并用PD控制器進行關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤控制。Senda等[6]研究關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制器，并在實現(xiàn)軌跡跟蹤后用優(yōu)化控制消除殘余振動。Yoshisada等[7]實現(xiàn)柔性機械臂快速抑制振動的自適應(yīng)控制。Joono 等[8-10]利用奇異攝動法設(shè)計出既能實現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤又能對柔性振動進行抑制的控制器。

值得一提的是，以上控制方案均需實時測量柔性空間機械臂系統(tǒng)載體姿態(tài)角速度及機械臂關(guān)節(jié)鉸的轉(zhuǎn)動速度或加速度、柔性振動模態(tài)坐標及坐標導(dǎo)數(shù)，甚至包括載體位置、移動速度、加速度，不僅增加成本且測量時會含大量噪聲信息，影響控制性能。由于在空間環(huán)境下系統(tǒng)控制燃料及其寶貴，從節(jié)省控制燃料、增加空間機器人系統(tǒng)的有效使用壽命、減少發(fā)射費用角度考慮，使用載體位置、姿態(tài)均不受控制的空間機器人系統(tǒng)非常必要。本文討論載體位置、姿態(tài)均不受控情況下，系統(tǒng)參數(shù)不確定與具有有界干擾自由漂浮柔性空間機械臂基于速度觀測器的奇異攝動魯棒控制及振動抑制問題。利用拉格朗日方程結(jié)合動量守恒原理獲得系統(tǒng)動力學(xué)方程。與關(guān)節(jié)鉸運動相比，柔性桿振動為高頻振動，故關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與振動抑制時間尺度可分開考慮。利用奇異攝動法，將柔性空間機械臂系統(tǒng)分解為關(guān)于關(guān)節(jié)軌跡的慢變子系統(tǒng)與描述柔性桿件振動的快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，針對末端抓取載荷未知及僅有精確載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置反饋情況下，利用動態(tài)滑模觀測器生成機械臂關(guān)節(jié)角速度估計向量，設(shè)計慢變子系統(tǒng)基于機械臂關(guān)節(jié)角位置、角速度估計向量的軌跡跟蹤魯棒控制方案。同時對快變子系統(tǒng)用基于線性觀測器的線性全局最優(yōu)控制對柔性桿件振動進行抑制。系統(tǒng)數(shù)值仿真結(jié)果表明，設(shè)計的控制器具有小抖振、小穩(wěn)態(tài)誤差及快速收斂等優(yōu)點。

1 飄浮基柔性空間機械臂動力學(xué)模型

圖1 飄浮基柔性空間機械臂Fig.1 A planar free-floating flexible space manipulator

考慮做平面運動的飄浮基柔性空間機械臂系統(tǒng)，見圖1。該系統(tǒng)可視為由自由飄浮載體B0、剛性機械臂B1、柔性臂B2組成。建立各分體Bi(i=0,1,2)聯(lián)體坐標系Oixiyi，其中O0與B0質(zhì)心OC0重合，Oi(i=1,2)為聯(lián)結(jié)Bi-1與Bi的轉(zhuǎn)動鉸中心，x1為剛性機械臂B1的對稱軸,x2軸與柔性臂B2始終相切于O2。OC1為B1質(zhì)心，OC1距O1為d1。設(shè)O1在x0軸上與O0距離為l0，Bi沿xi(i=1,2)軸長度為li，載體與剛性機械臂質(zhì)量及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量分別為mi、Ii(i=0,1)，柔性機械臂為勻質(zhì)桿,單位長度線密度為ρ,機械臂端部載荷質(zhì)量及中心轉(zhuǎn)動慣量為mE、IE,OC為系統(tǒng)總質(zhì)心。

建立平動慣性坐標系(O-xy)，設(shè)各分體沿(x,y)平面作平面運動，θ0、θ1、θ2分別為系統(tǒng)載體姿態(tài)及機械臂桿件關(guān)節(jié)鉸相對轉(zhuǎn)角，載體、剛性機械臂B1質(zhì)心OCi(i=0,1)相對于慣性坐標系原點O矢徑為ri，柔性臂任一點相對于慣性坐標系原點O的矢徑為r2。當柔性臂滿足小變形假設(shè)，忽略柔性臂B2的軸向變形及剪切變形影響，柔性臂可視為Euler-Bernoulli梁，其彈性變形基于假設(shè)模態(tài)法[11]描述為

式中：φi(x2)為柔性臂B2第i階模態(tài)函數(shù)；δi(t)為φi(x2)時變振幅；m為截斷項數(shù)，本文m=2。

忽略微弱重力梯度，由拉格朗日第二類方程及動量守恒原理可得(圖1)載體位置、姿態(tài)均不受控漂浮基柔性空間機械臂的系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(1)

2 動力學(xué)模型奇異攝動分解

各種物理系統(tǒng)或多或少存在一些小參數(shù),數(shù)學(xué)上均能用某個小參數(shù)ε與某一比例系數(shù)乘積表示。此類小參數(shù)在整個系統(tǒng)參數(shù)中為次要成分，所起動態(tài)影響表現(xiàn)為“攝動”或“微擾”，但在建立模型時不可忽略。雙時標分解即將原集中控制系統(tǒng)利用攝動[12-13]概念分解成不同時標的快、慢子變系統(tǒng)。攝動方法基本思想即通過忽略系統(tǒng)某些弱關(guān)聯(lián)獲得系統(tǒng)的近似低階模型，并使其保留系統(tǒng)的主要動態(tài)特征。攝動方法可分為兩類：即針對 “弱耦合”模型的正規(guī)攝動法及針對“強耦合”模型的奇異攝動法?！皬婑詈稀蹦Ｐ鸵话阈问綖?/p>

(2)

初始條件為

x1(t0)=x10,x2(t0)=x20

式中：x1(t)，x2(t)分別為慢、快變狀態(tài)列陣；u(t)為系統(tǒng)輸入列陣；ε為小時間常數(shù)。

模型分解原則為保留原系統(tǒng)主要動態(tài)特征即慢變過程，將小時間常數(shù)對動態(tài)系統(tǒng)影響近似為0予以忽略。設(shè)矩陣A22非奇異，當ε→0，式(2)退化為

(3)

(4)

由式(2)第二式可導(dǎo)出

(5)

(6)

初始條件為

(7)

(8)

式中：Drr∈R3×3,Drf∈R3×2,Dfr∈R2×3,Dff∈R2×2為矩陣D的對應(yīng)子矩陣；hrr∈R3×3,hrf∈R3×2,hfr∈R2×3,hff∈R2×2為矩陣h的對應(yīng)子矩陣。

由于系統(tǒng)慣性矩陣D對稱、正定，其逆矩陣可定義為

(9)

式中：

式中：Nrr∈R3×3,Nrf∈R3×2,Nfr∈R2×3,Nff∈R2×2為矩陣N的對應(yīng)子矩陣。

因而式(8)可表示為

(10)

(11)

(12)

(13)

整個柔性空間機械臂的控制目標為設(shè)計控制輸入τ使系統(tǒng)機械臂關(guān)節(jié)鉸能準確追蹤期望軌跡并使部分解耦系統(tǒng)式(12)、(13)的振動得到控制。因此，該控制輸入τ可由兩部分組成

(14)

由式(14)看出，系統(tǒng)剛性運動與柔性桿振動僅通過控制輸入τ耦合。一般而言，系統(tǒng)關(guān)節(jié)鉸跟蹤期望軌跡可通過適當選擇τ獲得控制效果，而僅通過期望軌跡選擇控制輸入不能保證耦合的振動模態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，將通過奇異攝動法[13]同時實現(xiàn)剛性軌跡追蹤及振動主動抑制。

為得到漂浮基柔性空間機械臂慢變子系統(tǒng)，設(shè)ε= 0，由式(12)、(13)得

(15)

(16)

由式(16)得

(17)

由式(15)得

上式可寫為

(18)

(19)

邊界層系統(tǒng)可寫為

(20)

(21)

ε→0，用式(16)可得快變子系統(tǒng)近似方程為

(22)

3 慢變子系統(tǒng)速度滑模觀測與魯棒控制

考慮外部擾動，慢變子系統(tǒng)模型可寫為

(23)

相應(yīng)狀態(tài)空間方程為

(24)

模型偏差簡化為

(25)

特性2. 對任意向量z∈R3存在關(guān)系為

式中：Chmax,Chmin為正常數(shù)。

由矩陣范數(shù)性質(zhì)，得

借助特性1得

(26)

3.1 滑模觀測器設(shè)計

滑模觀測器設(shè)計為

(27)

由式(24)、(27)得觀測器誤差方程為

(28)

3.2 觀測誤差收斂性分析

(29)

V1對時間t求導(dǎo)得

(30)

證明：設(shè)計Lyapunov函數(shù)為

(31)

V2對時間t求導(dǎo)，代入式(28)并據(jù)特性2～4得

(32)

針對式(32)，設(shè)計動態(tài)補償增益ηi為

從而得

(33)

因初始觀測點保持在滑模態(tài)，由等價控制原理[19]得

(34)

式中：(·)eq為等價控制量。

將式(33)、(34)代入式(32)得

(35)

(36)

3.3 魯棒控制器設(shè)計

設(shè)計系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(37)

式中：sl1為系統(tǒng)滑模。

V對時間t求導(dǎo)并代入式(24)得

(38)

(39)

(40)

借助特性4，不確定項ν滿足

(42)

式中：

針對式(41)設(shè)計魯棒控制項為

(43)

將式(43)代入式(40)，有

(44)

4 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計

忽略不確定部分，則快變子系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，且完全可控。采用最優(yōu)控制方法抑制柔性臂的柔性振動，即系統(tǒng)狀態(tài)ζ調(diào)節(jié)到零。最優(yōu)控制性能泛函取為

式中：Q，R分別用于對狀態(tài)向量ζ及控制向量τf引起的性能度量相對重要性進行加權(quán)。

快變子系統(tǒng)最優(yōu)控制為

τf=-Koptζ=-R-1BfPζ

(45)

式中：P為Ricatti方程的解，即

PAf+AfTP-PBfR-1BfTP+Q=0

設(shè)式(1)的實際柔性振動模態(tài)坐標qf與期望輸出向量qfd=[0 0]T之間的輸出誤差向量ef寫為

ef=qf-qfd

(46)

(47)

5 數(shù)值仿真算例

設(shè)空間機械臂系統(tǒng)載體姿態(tài)及兩關(guān)節(jié)鉸的期望運動軌跡分別為

θ0d=0

由仿真結(jié)果看出，初始誤差較大時，基于動態(tài)滑模觀測器的魯棒跟蹤控制能使機械臂關(guān)節(jié)快速、穩(wěn)定追蹤期望運動軌跡。仿真t=0.4 s后，追蹤誤差收斂到0，而由動態(tài)滑模觀測器生成的偽速度信號也很快進入穩(wěn)態(tài)。柔性桿一、二階模態(tài)t=7 s后亦趨于0。

該控制方案僅需精確的載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置及柔性振動模態(tài)坐標反饋，而無需直接測量載體姿態(tài)角速度、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度及柔性振動模態(tài)坐標導(dǎo)數(shù)；且能有效克服空間機械臂存在的非線性、不確定性、強耦合、柔性等因素影響，使跟蹤誤差及柔性振動較快收斂到0。因利用系統(tǒng)動量守恒關(guān)系消去系統(tǒng)動力學(xué)方程中載體位置、線速度、線加速度項，具有無需反饋及測量載體位置、線速度、線加速度優(yōu)點。

6 結(jié) 論

(1) 利用拉格朗日方程結(jié)合動量守恒原理建立飄浮基柔性空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型。利用奇異攝動法，將該系統(tǒng)分解為慢變子系統(tǒng)(剛性空間機械臂子系統(tǒng))與柔性臂快變子系統(tǒng)。

(2) 對剛性空間機械臂子系統(tǒng)，在末端抓取載荷未知及僅有精確載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置反饋情況下，利用動態(tài)滑模觀測器生成機械臂關(guān)節(jié)角速度估計向量，設(shè)計出基于機械臂關(guān)節(jié)角位置、角速度估計向量軌跡跟蹤魯棒控制方案。

(3) 對快變子系統(tǒng)用基于線性觀測器的線性全局最優(yōu)控制對柔性桿件振動進行抑制，可推廣到具有任意柔性臂的飄浮基柔性空間機械臂系統(tǒng)。該控制方案僅需精確的載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置及柔性振動模態(tài)坐標反饋，而無需直接測量載體姿態(tài)角速度、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度、柔性振動模態(tài)坐標導(dǎo)數(shù)及漂浮基位置、移動速度、移動加速度。

[1] Garneau M. Space in the service of society: a canadian case study[C]//Proceedings of 2ndInternational Conference on Recent advances in Space Technologies, Istanbul, Turkey, 2005: 1-6.

[2] Nohmi M. Development of space tethered autonomous robotic satellite[C]//Proceedings of 3rdInternational Conference on Recent advances in Space Technologies, Istanbul, Turkey, 2007:462-467.

[3] Holcomb L B, Montemerlo, M D. NASA automation and robotics technology program[J]. IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2009, 2(4):19-26.

[4] Yoshida K. Achievements in space robotics[J]. IEEE Robotics and Automation Magazine, 2009, 16(4): 20-28.

[5] 蘇文敬,吳立成,孫富春,等?？臻g柔性雙臂機器人系統(tǒng)建模、控制與仿真研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2003,15(8)：1098-1100. SU Wen-jing, WU Li-cheng, SUN fu-chun, et al. Dynamics modeling, control and simulation for flexible dual-arm space robot[J].Journal of System Simulation,2003, 15(8): 1098-1100.

[6] Senda K, Murotsu Y. Methodology for control of a space robot with flexible links[J]. IEEE Control Theory and Applications, 2000, 47(6): 562-568.

[7] 戈新生,崔瑋,趙秋玲.剛?cè)嵝择詈蠙C械臂軌跡跟蹤與振動抑制[J].工程力學(xué),2005,22(6)：188-191. GE Xin-sheng, CUI wei, ZHAO Qiu-ling. Trajectory tracking control and vibration suppression of rigid flexible manipulators[J].Engineering Mechanics, 2005, 22(6): 188-191.

[8] Joono C H, Wan K Y C H, Youngil Y. Fast suppression of vibration for multi-link flexible robots using parameter adaptive control[C]// Proceedings of the 2001 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Maui, Hawail, USA, 2000: 913-918.

[9] Yoshisada M, Showzow T S,Kei S, et al. Trajectory control of flexible manipulators on a free-flying space robot[J]. IEEE Control Systems,1992, 12(3): 51-57.

[10] 洪昭斌,陳力.漂浮基柔性空間機械臂基于奇異攝動法的模糊控制和柔性振動主動控制[J].機械工程學(xué)報,2010, 46(7): 35-41. HONG Zhao-bin, CHEN Li. Active vibration control and fuzzy control of free-floating space flexible manipulator based on singular perturbation theory[J]. Journal of Mechanical Engineering,2010,46(7):35-41.

[11] Alessandro D L, Bruno S. Closed-form dynamic model of planar multilink lightweight robots[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1991, 21(4): 826-839.

[12] 席裕庚．動態(tài)大系統(tǒng)方法導(dǎo)論[M]．北京：國防工業(yè)出版社,1988.

[13] Kokotovic P, Khalil H K, O’Reilly J. Singular perturbation methods in control analysis and design[M].Academic Press, 1986.

[14] Siciliano B, Sciavicco L, Villani L, et al. Robotics, modelling, planning and control[M].New York:Opringer, 2009.

[15] Slotine J E, Li W P. On the adaptive control of robot manipulators [J]. Journal of the Robotics Research, 1987, 6(3):49-59.

[16] Ortega R, Spong Mark W. Adaptive motion control of rigid robots: a tutorial[C]//Proceedings of the 27th Conference on Decision and Control. Austin, Texas, 1988: 1575-1584.

[17] Arteaga Marco A, Kelly R. Robot control without velocity measurements: new theory and experimental results[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2004, 20(2): 297-308.

[18] Nicosia S, Tomei P. Robot control by using only joint position measurements[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, 35(9): 1058-1061.

[19] Ibrahim H, Mit Ozguner U, Utkin V. On sliding mode observers via equivalent control approach[J]. International Journal of Control, 1998, 71(6): 1051-1067.

[20] Wit De C C, Slotine J J E. Sliding observers for robot manipulators [J]. Automatica, 1991, 27 (5): 859- 864.

[21] Lewis F L , Abdallah C T , Dawson D M. Control of robot manipulators[M] . New York: MacMillan , 1993.

[22] Lee J Y, Ha T J, Yeon J S, et al. Robust nonlinear observer for flexible joint robot manipulators with only motor position measurement[C]//International Conference on Control, Automation and Systems, COEX, Seoul, Korea, 2007: 56-61.

Velocity observer based singular perturbation robust control and vibration suppression for a free-floating flexible space manipulator with unknown payload parameters and bounded disturbances

YU Xiao-yan, CHEN Li

School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China)

The robust control based on a velocity observer was introduced for a free-floating flexible space manipulator with unknown payload parameters and bounded disturbances. The dynamic model of the free-floating space manipulator with a flexible link was established by applying the momentum conservation principle and the Lagrange equations. The singular perturbation model of the flexible space manipulator system was obtained according to the two-time scale control theory, in which the system was decoupled into slow (rigid) and fast (flexible) subsystems. Then a composite controller consisting of a slow control component and a fast control component was proposed. A sliding observer based robust control algorithm was applied to control the slow subsystem with unknown payload parameters and bounded disturbances to track the desired trajectory. The fast controller was designed with the estimated velocity based on a linear observer to damp out the vibration of the flexible link using optimal linear quadratic regulator (LQR) method. Finally, a numerical simulation was carried out, which confirms the controller proposed was feasible and effective. The virtue of this control scheme is that the linear position, linear velocity, linear acceleration and angular velocity of the base, the angular velocities, angular accelerations of the joint as well as the derivative of the flexible vibration mode needn’t be measured directly.

free-floating flexible space manipulator; singular perturbation approach; robust control; velocity observe

國家自然科學(xué)基金資助項目(11372073)；福建省自然科學(xué)基金資助項目(2010J01003)

2013-11-08 修改稿收到日期：2014-06-19

于瀟雁 女，碩士，副教授，1974年11月生

V42;TP241

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.015