復(fù)變函數(shù)在物理方面的應(yīng)用

杜朝麗

【摘要】復(fù)變函數(shù)的建立和發(fā)展與解決實(shí)際問(wèn)題有密切關(guān)系，本文利用復(fù)變函數(shù)的保角變換的理論，把橫截面為兩平行圓柱換成橫截面為兩平行板，計(jì)算出平行圓柱單位長(zhǎng)度的電容.利用解析函數(shù)的性質(zhì)，研究平面向量場(chǎng).

【關(guān)鍵詞】保角變換 ?解析函數(shù) ?反三角變換 ?電容器

1 ?引言

在19世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過(guò)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼和魏爾斯特拉斯的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到代數(shù)學(xué)，解析數(shù)論，微分方程，概率統(tǒng)計(jì)，計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)和電學(xué)等方面也有很多應(yīng)用，20世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理，隨著社會(huì)越來(lái)越快的發(fā)展，一些精高技術(shù)與復(fù)變函數(shù)有了很大的聯(lián)系，比如：解決如何把截面為兩平行圓柱變?yōu)閮善叫邪?，從而研究?jī)善叫袌A柱單位長(zhǎng)度的電容，電勢(shì)的問(wèn)題.了解復(fù)變函數(shù)與實(shí)際生活中物體的用途有很重要的意義，從以下幾個(gè)方面談?wù)搹?fù)變函數(shù)在物理方面的應(yīng)用.

2 ?結(jié)合復(fù)變函數(shù)對(duì)非平行板電容器進(jìn)行了分析

從電動(dòng)力學(xué)出發(fā)，結(jié)合復(fù)變函數(shù)對(duì)平行板電容器進(jìn)行了分析，找到非平行板電容器電容的一種算法，并通過(guò)實(shí)例分析了他們?cè)趯?shí)際中的應(yīng)用.

設(shè)函數(shù)為復(fù)變函數(shù).取對(duì)數(shù)函數(shù)為復(fù)變函數(shù)，

，令代入上式有： ? ?.

比較得，.

當(dāng)為常數(shù)時(shí)，平面上為平行于縱軸的的直線族，而在平面，常數(shù)的同心圓（弧）族.

當(dāng)常數(shù)時(shí)，在平面上為平行于橫軸的，直線族，在z平面上為=常數(shù)的徑向直線族.

可以確定邊界條件：

，; ， .

，; ，.

為負(fù)電極板與X軸夾角，為正電極板與X軸夾角，-.

（設(shè)非平行板電容器板長(zhǎng)為，寬為，板間電壓為，量為極板間延長(zhǎng)交于，夾角

為，兩板間窄端和寬端到原點(diǎn)距分別為，.，板間距為）.

由邊界條件：作平面圖所示：

由保角變換，原電容器成為與橫軸，縱軸平行的平行板電容器.

求得板間距為：，板寬.

板面積為：.

電容器==. ? ? ? ? ? （1）

例 設(shè)非平行板電容器的極板=0.8，極板寬=0.2，=，=0.4，=0.8，極板的帶電量=4.910C，求此電容的電容.

解 ?由（1）式 此電容器的電容

C==.

（1） 式是針對(duì)一般情況下的非平行板電容器推出的計(jì)算電容的公式，在應(yīng)用中要注意其是否滿足條件.

3 計(jì)算兩平行圓柱的電容，電勢(shì)

已經(jīng)把平面平行圓柱的橫截面變換成平面上是平行板的橫截面，則根據(jù)圖（2）可視為平行板電容器問(wèn)題處理.平面上，細(xì)和粗的兩平行圓柱所帶的單位長(zhǎng)度電量為和-之間的電壓為，同樣，在平面上所帶電量和電壓也是不變的，其電容值比變，進(jìn)而，也可以計(jì)算出平面上截面為細(xì)和粗的兩平行圓柱的電勢(shì)，用平行電容器電容公式，可求出平面上（圖2）平行板電容器每單位長(zhǎng)度電容值為

=

有（8）式 ? ? ;. ? ? ?（2）

;. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

由（2）式和（3）分別消去和，得出對(duì)平行板電容器每單位長(zhǎng)度帶電量為（變換前后電量不變）的圖2來(lái)說(shuō)，可利用靜電長(zhǎng)的高斯定理計(jì)算其電場(chǎng)強(qiáng)度為，選帶負(fù)電極板的電勢(shì)為0.

兩極板間的電勢(shì)差與變換前的電勢(shì)差（電壓）相同，為了計(jì)算半徑不同的兩平行圓柱的電勢(shì)，任選圖2中處（兩極板之間）則是對(duì)應(yīng)平面上的第個(gè)圓柱面（環(huán)），其半徑為，從圖

2來(lái)分析電勢(shì)，并考慮與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系得：

=.

4 ?解析函數(shù)在流體力學(xué)中的應(yīng)用

設(shè)在區(qū)域內(nèi)有一無(wú)源，漏的無(wú)旋流動(dòng)，從以上的討論，即知其對(duì)應(yīng)的復(fù)速度為解析函數(shù)，我們稱函數(shù).

對(duì)于無(wú)源，漏的無(wú)旋流動(dòng)，復(fù)勢(shì)總是存在的.令為某一流動(dòng)的復(fù)勢(shì)，我們稱為所述流動(dòng)的勢(shì)函數(shù).稱 （為實(shí)常數(shù)）為勢(shì)線，稱為所流動(dòng)的流函數(shù)，稱 （為實(shí)常數(shù)）為流線.

因?yàn)?? ，

所以 ? ， .

又因?yàn)?流線上點(diǎn)的速度方向與該點(diǎn)的切線方向一致，即該線的微分方程為：

即.

而為調(diào)和函數(shù)，我們有 ， 于是 .

所以 是流線方程的積分曲線.

注 ?流線與勢(shì)線在流速不為零的點(diǎn)處互相正交.

例 設(shè)復(fù)勢(shì)為試確定流線，勢(shì)線和速度

解 ?令則=

所以 勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)為 ? ? ?.

.

故勢(shì)線及流線是互相正交的兩族等勢(shì)雙曲線，在點(diǎn)的速度為：

=.

通過(guò)上面的討論，我們知道，利用解析函數(shù)多電場(chǎng)進(jìn)行研究是十分理想的，它可將對(duì)電場(chǎng)的電位和電通的研究聯(lián)系起來(lái)，克服了分別研究的復(fù)雜手續(xù)，而且使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.但找出這樣的解析函數(shù)是極不容易的.因此，一般是將問(wèn)題反轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，不是根據(jù)電場(chǎng)去找解析函數(shù)，而是先研究一些不同的解析函數(shù)，找出它們所表示的電場(chǎng)圖形，再由這些電場(chǎng)的圖形，推出帶電導(dǎo)體的形狀.

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