變式與比較在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用

徐滿珍

烏申斯基說：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”在小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念：數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。只有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進(jìn)數(shù)的整除性概念的形成。所以掌握數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)，同時，也是發(fā)展學(xué)生智力和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的前提。

一、學(xué)生概念的獲得與偏差

學(xué)生概念獲得實質(zhì)上就是掌握同類事物的共同的本質(zhì)特征。概念形成有兩個條件：一是學(xué)生自身的內(nèi)部條件，即學(xué)生必須辨別概念的正反例證;二是教師方面的外部條件，教師必須對學(xué)生所提出的概念的關(guān)鍵特征的假設(shè)作出肯定或否定的反應(yīng)，也就是說要讓學(xué)生從外界獲得反饋信息。然而，在學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的過程中會受到很多因素影響，從而產(chǎn)生了概念獲得的偏差。在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時容易出現(xiàn)的三種錯誤情況：

1.擴大內(nèi)涵，縮小外延。這主要是因為他們把概念的一些無關(guān)特征當(dāng)成了本質(zhì)特征，在概念的內(nèi)涵中不僅包括概念的本質(zhì)特征，還包括了非本質(zhì)特征，從而擴大了概念的內(nèi)涵，縮小了概念的外延。

例如，有些學(xué)生認(rèn)為合數(shù)必須是偶數(shù)，實際上，合數(shù)可能是偶數(shù)、也可能是奇數(shù)，數(shù)的奇偶性并不是合數(shù)的本質(zhì)屬性。

2.擴大外延，縮小內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生沒有把概念的所有本質(zhì)特征完全包含在概念的內(nèi)涵中，或者，沒有認(rèn)識到本質(zhì)特征，卻把非本質(zhì)特征當(dāng)成了本質(zhì)特征，就可能擴大概念的外延。

例如，教學(xué)《梯形的認(rèn)識》，教學(xué)中老師會選擇一些“非標(biāo)準(zhǔn)”的梯形讓學(xué)生辨別，幫助學(xué)生排除標(biāo)準(zhǔn)圖形所帶來的干擾，避免出現(xiàn)誤將“上底短，下底長，腰方向（腰相等）”等非本質(zhì)特征當(dāng)作本質(zhì)特征的片面認(rèn)識。

3.混淆概念。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生常常會把一些相似的概念搞混淆。發(fā)生這些錯誤的根本原因在于沒有能夠清晰準(zhǔn)確地抓住概念的本質(zhì)屬性、排除概念的無關(guān)特征。

例如：數(shù)位與位數(shù)、體積與容積，減少與減少到等等相對應(yīng)概念，存在許多共同點與內(nèi)在聯(lián)系。

二、抓住概念的本質(zhì)進(jìn)行變式

“變式”是指本質(zhì)屬性不變而非本質(zhì)屬性發(fā)生變化。變式用以說明同一個概念的本質(zhì)特征相同、非本質(zhì)特征不同的一組實例。這些實例都是概念的正例，但是它們在概念的非本質(zhì)特征方面有變化。

（一）圖形變式

如教學(xué)“平行四邊形面積”時，學(xué)生通過對平行四邊形的割、拼、擺，推導(dǎo)出“平行四邊形的底等于長方形的長”，“平行四邊形的高等于長方形的寬”，通過轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。在強化概念理解的環(huán)節(jié)中，課件出示一個平行四邊形中不對應(yīng)的一個高和一個底，并要求大家求出它的面積。

通過交流分析，學(xué)生明確：運用公式求平行四邊形的面積必須知道相應(yīng)的底和高。運用變式可以使學(xué)生透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，避免學(xué)生形成思維定勢，從而真正掌握概念。

（二）符號變式

如教學(xué)“方程”時，在這個判斷是不是方程中，學(xué)生必須對“未知數(shù)”、“等式”這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，并以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。

（1） ?56+23=79？ ? ? ? ?（2） 23-x=67？ ? ? ?（3） x÷5=4.5

（4） ?44×2=88 ? ? ? ? （5） 75÷x=4？ ? ? ?（6） 9+x=123

三、運用比較，揭示概念的本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有許多既有聯(lián)系又有區(qū)別、似同實異、容易混淆的問題。在教學(xué)中適時、恰當(dāng)?shù)剡\用比較法，引導(dǎo)學(xué)生加以區(qū)別，有助于突出教學(xué)重點、突破教學(xué)難點、防止知識混淆、提高辨別能力。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)運用比較可以幫助學(xué)生解決兩個方面的學(xué)習(xí)困難：

（一）通過比較來幫助學(xué)生明確概念的內(nèi)涵和外延。

例如，在前面的“合數(shù)”概念教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生分別比較所舉的每一組合數(shù)實例內(nèi)部的相同點和不同點，在此基礎(chǔ)上，比較三組實例之間的相同點和不同點，從而概括出“合數(shù)”的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，明確概念的內(nèi)涵和外延。

（二）通過比較來幫助學(xué)生明確有關(guān)概念間的關(guān)系。

學(xué)生產(chǎn)生概念混淆往往是由于不能區(qū)分概念之間的異同，不明確概念之間的聯(lián)系。在對容易混淆的概念進(jìn)行比較時，要抓住它們的本質(zhì)區(qū)分點。

例如，“偶數(shù)”和“奇數(shù)”的本質(zhì)區(qū)分點是能否被2整除;“銳角”和“鈍角”的本質(zhì)區(qū)分點是大于還是小于“直角”或“90度角”。

四、變式與比較相兼，融會貫通

在變式的運用中，還應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的比較能力。幫助學(xué)生通過比較找出事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，并在此基礎(chǔ)上加以概括，以奠定概念的基礎(chǔ)。通過已知條件和問題的變化，進(jìn)行變式和比較，讓分散的知識點趨于系統(tǒng)化，掌握概念間的本質(zhì)關(guān)系，揭示解題規(guī)律，幫助學(xué)生學(xué)會模型判斷。

例如：在“長方體和正方體”教學(xué)中，因為教學(xué)內(nèi)容較為抽象，邏輯思維性強，在實際生產(chǎn)、生活中用途廣泛的一種基礎(chǔ)知識，由于受各方面的制約和影響，在學(xué)習(xí)過程中，常常會出現(xiàn)一些共性錯誤。所以教師的主要任務(wù)是幫助學(xué)生建立棱長、表面積、體積的模型，能分辨實際問題中，需要求什么內(nèi)容。

模型1：V=abh

變式一：已知一個長方體游泳池的長是15米，寬10米，深2米，在池底鋪上一層碎石，已知碎石厚0.2米。 問游泳池實際能蓄水多少？（在運用體積模型中，找到模型相對應(yīng)的高）

變式二：在一個棱長為24厘米的正方體魚缸中放入一石塊（石塊完全侵入水中），水面上升了1.5厘米，這個石塊的體積是多少立方厘米？（上升部分水的體積就是石頭體積）

模型2：C=（a+b+h）×4

一個長方體長5厘米，寬3厘米，高2厘米，它的棱長和是多少？

變式一：用彩色絲帶包扎一只長7分米，寬5分米，高2分米的紙箱（連接部分忽略），這根絲帶最少長多少？

模型三：S=（ab+ah+bh）×2

長方體的長是12厘米，寬8厘米，高5厘米，它的表面積是多少？

變式一：一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現(xiàn)在要在它的四周貼上商標(biāo)紙，這張商標(biāo)紙的面積是多少平方厘米？

變式二：把一個棱長2分米的正方體切成兩個體積相等的長方體，其中一個長方體的表面積是多少平方分米？

學(xué)生通過對具體材料、問題的比較，不僅能夠較好地理解數(shù)學(xué)知識，而且能夠深化數(shù)學(xué)思維。小學(xué)生的比較能力是隨著其年齡和知識的增長、智力水平的發(fā)展而逐步提高的。培養(yǎng)學(xué)生的比較能力，還要考慮不同年級學(xué)生的思維水平，結(jié)合具體材料由淺入深、由簡單到復(fù)雜地提出比較的要求。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該充分考慮如何運用“變式”，幫助學(xué)生通過“變”與“不變”的比較，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，讓所學(xué)的知識點融會貫通，加深對知識的理解;逐步清晰地認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，分析數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)，學(xué)會學(xué)習(xí);進(jìn)而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運用技能。