啟發(fā)學(xué)生通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)數(shù)學(xué)規(guī)律題的策略

韋芬

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)計(jì)算 數(shù)學(xué)規(guī)律 推導(dǎo)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）04A-

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數(shù)學(xué)規(guī)律題的邏輯性、抽象性很強(qiáng)，學(xué)生解答時(shí)要具備較強(qiáng)的識(shí)記能力和理解能力，具備一定的分析推理能力。教師應(yīng)根據(jù)初中生的心理特征、知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等實(shí)際，結(jié)合題意，合理設(shè)問(wèn)質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生從最熟悉的計(jì)算切入，激勵(lì)和喚醒學(xué)生的積極思維，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、猜想、嘗試、計(jì)算、推理、歸納等過(guò)程，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)數(shù)學(xué)規(guī)律題，讓每個(gè)學(xué)生跳一跳都能摘到“果子”。“題”讓學(xué)生自己解，“法”讓學(xué)生自己探，通過(guò)嘗試計(jì)算找到規(guī)律，創(chuàng)造性地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)啟發(fā)七年級(jí)新生從熟悉的知識(shí)了解規(guī)律題，嘗試計(jì)算推導(dǎo)數(shù)學(xué)規(guī)律題，掌握要領(lǐng)。首先，營(yíng)造一個(gè)輕松的學(xué)習(xí)氛圍，由易到難、循序漸進(jìn)、逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)中。其次，用小學(xué)的規(guī)律題舉例填空，體驗(yàn)成功的快樂(lè)，提高學(xué)習(xí)的興趣。最后，引伸到用字母表示數(shù)的規(guī)律題，使教師想說(shuō)的結(jié)論由學(xué)生親口說(shuō)出來(lái)，教師的想法在學(xué)生的頭腦中顯現(xiàn)出來(lái)，掌握答題要領(lǐng)。

例1，填空：2，4，6，8，10 ，14；學(xué)生脫口而出：“填12?！惫P者順勢(shì)由此題變形為以下的題目：

例2，有一數(shù)列為：2，4，6，8，10，12，14……第20個(gè)數(shù)為 ；第100個(gè)數(shù)為 ；第n個(gè)數(shù)為 。通過(guò)設(shè)問(wèn)啟發(fā)學(xué)生理解題意，如問(wèn)“12”是第幾個(gè)數(shù)？學(xué)生很容易找到“12”是第6個(gè)數(shù)。再問(wèn)“12”是怎樣算出來(lái)的？有幾種算法？學(xué)生積極思考，答案并不唯一。如：10+2=12、14-2=12、2+2×5=12、2×6=12等。承前啟后，激勵(lì)學(xué)生類(lèi)比例1算法推導(dǎo)例2。學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，解得第20個(gè)數(shù)為“40”，并歸納出用到第20個(gè)數(shù)中的“20”，即20×2=40這個(gè)算法快，乘勝追擊第100個(gè)數(shù)為200，第n個(gè)數(shù)為2n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，綜合列表如下：

這樣列表，學(xué)生一目了然，理解“位置數(shù)”，并知道可以用“位置數(shù)”參與表示對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，計(jì)算方式不變，體驗(yàn)如何嘗試計(jì)算推導(dǎo)規(guī)律題的全過(guò)程，讓舊知迅速正遷移到規(guī)律題。

七年級(jí)學(xué)生多加練習(xí)，積累數(shù)感，可以嘗試計(jì)算，列出如例2的表格，解出規(guī)律題。而啟發(fā)八、九年級(jí)的學(xué)生，則應(yīng)通過(guò)嘗試計(jì)算推導(dǎo)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律題，一般可分以下四個(gè)步驟。

一、初步理解題意，拓展到最近發(fā)展區(qū)

經(jīng)過(guò)初步讀題，承前啟后，迅速拓展已知。舉一些新的例子，有數(shù)的添上新數(shù)，有式子的添寫(xiě)新式，有圖的添畫(huà)新圖…… 引導(dǎo)學(xué)生邁開(kāi)第一步。降低難度，化難為易，分層次啟發(fā)學(xué)生嘗試解題，層層深入到規(guī)律中，讓每個(gè)學(xué)生學(xué)到相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。教會(huì)學(xué)生觀察、分析、思考，承上啟下，以此類(lèi)推，拓展到最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生初步理解題意。

例3，觀察下列各式，探索、拓展規(guī)律：13=12；13+23=9；13+23+33=36……用含正整數(shù)n的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為 。啟發(fā)學(xué)生先解答：“第4個(gè)式子為 。”“第5個(gè)式子為 ?！薄欠裼泻?jiǎn)便算法？

例4，將一些半徑相同的小圓，按如下圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓……以此類(lèi)推，第6個(gè)圖形有 個(gè)小圓，第n個(gè)圖形有 個(gè)小圓。

第1個(gè)圖形 第2個(gè)圖形 第3個(gè)圖形

啟發(fā)學(xué)生先解答：“第4個(gè)圖形為 ，第5個(gè)圖形為 .”“分別用幾個(gè)小圓？若不畫(huà)圖可否猜想出第6個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)？”……通過(guò)舉更多具體的例子，達(dá)到最近發(fā)展區(qū)，直到學(xué)生讀懂題意、理解題意為止。此時(shí)，教師還可以迎難而上，讓學(xué)生快速計(jì)算位置數(shù)較大時(shí)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值。試一試，如例題3的第100個(gè)式子是 ？如例題4的第50個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是 ？

二、進(jìn)行嘗試計(jì)算，發(fā)掘表達(dá)式

在初步理解題意的基礎(chǔ)上，列表探索“位置數(shù)”較大時(shí)，會(huì)簡(jiǎn)便計(jì)算相應(yīng)項(xiàng)的值，結(jié)合例子，由簡(jiǎn)到繁，耐心嘗試，找到一致算法挖掘表達(dá)式。大膽猜想，由第1個(gè)例子到第2個(gè)例子……嘗試對(duì)比，從推理過(guò)程或從結(jié)論的數(shù)量特點(diǎn)，直接或間接用“位置數(shù)”推出相應(yīng)項(xiàng)的值，且計(jì)算的方式一致，適合每個(gè)例子。經(jīng)歷從特殊到一般的分析、推理、歸納的過(guò)程，圍繞“位置數(shù)”不斷猜想、嘗試，找到符合題意的計(jì)算方式，挖掘出表達(dá)式，一般從以下兩種情況進(jìn)行嘗試計(jì)算。

（一）從結(jié)論的特征發(fā)現(xiàn)規(guī)律

首先觀察例子，結(jié)論有明顯特征的，就猜想著手變形，直接或間接發(fā)現(xiàn)有特定的變化規(guī)律。如例3，每個(gè)式子的左邊已經(jīng)熟悉，重點(diǎn)對(duì)比每個(gè)式子的右邊，依次為：1，9，36，100，……即變形為特征數(shù)列得：12，32，62，102，……依此，原式可變形特征式：

第1個(gè)式子：13=12=1

第2個(gè)式子：13+23=（1+2）2=9

第3個(gè)式子：13+23+33=（1+2+3）2=36

……

第100個(gè)式子：13+23+…+993+1003=（1+2+…+99+100）2=〔〕2

=〔×（1+100）〕2=25502500.

……

最后，發(fā)掘出表達(dá)式，找到通用的、簡(jiǎn)便的計(jì)算方式，用“位置數(shù)”計(jì)算相應(yīng)項(xiàng)的值，算法相同。

第n個(gè)式子：13+23+…+（n-1）3+n3=〔1+2+…+（n-1）+n〕2

=〔（1+n）〕2=

（二）從計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律

例4 經(jīng)過(guò)嘗試計(jì)算可成功列出如例2的表格：

解得第n個(gè)圓形的小圓個(gè)數(shù)為n（n+1）+4。此類(lèi)題目從推理的過(guò)程中，存在某種計(jì)算方式，從簡(jiǎn)單第1個(gè)例可引伸到所有例，抓住變量與不變量挖掘出表達(dá)式，用“位置數(shù)”計(jì)算相應(yīng)項(xiàng)的值。

一般來(lái)說(shuō)，在嘗試計(jì)算時(shí)，列表羅列已知例子，對(duì)比過(guò)程或結(jié)論，把“位置數(shù)”套到通用的算法中，可以合理推導(dǎo)出表達(dá)式，拓展到中等發(fā)展區(qū)。

三、推證表達(dá)式，確定規(guī)律

乘勝追擊，做到心中有數(shù)，驗(yàn)證表達(dá)式的合理性。首先，用“位置數(shù)”代入表達(dá)式，求出相應(yīng)項(xiàng)的結(jié)論；其次，據(jù)“初步理解題意”拓展到的最近發(fā)展區(qū)，直觀形象地計(jì)算出該“位置數(shù)”相應(yīng)項(xiàng)的結(jié)論；最后，對(duì)比兩類(lèi)計(jì)算的結(jié)論，若“位置數(shù)”相同，結(jié)論也相同時(shí)，則該表達(dá)式正確，成功找到規(guī)律，反之，該表達(dá)式不正確，需要重新進(jìn)行嘗試計(jì)算。

如例3 計(jì)算第4個(gè)式子：13+23+33+43= 時(shí)，把“位置數(shù)”4即把n=4 代入表達(dá)式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+ …+（n-1）+n]2，算出13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100.

而按初步理解時(shí)直接計(jì)算：13+23+33+43=1+8+27+64=100，兩類(lèi)算法一致。

以此類(lèi)推，用第5、第6、第7、第8……等式子檢驗(yàn)都成功，則可驗(yàn)證所得表達(dá)式正確。

四、運(yùn)用規(guī)律，解答問(wèn)題

解規(guī)律題時(shí)，把表達(dá)式當(dāng)成一個(gè)公式，圍繞“位置數(shù)”進(jìn)行合理分析，這樣，學(xué)生就能快速、正確地解答規(guī)律題。初中階段，需要熟練掌握以下兩種類(lèi)型：

（一）順用表達(dá)式——已知某個(gè)“位置數(shù)”，求相應(yīng)項(xiàng)的結(jié)論

如例3 第10個(gè)式子是 。

把n=10代入表達(dá)式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+…+（n-1）+n]2中得13+23+…93+103=（1+2+…+9+10）2=3025

（二）逆用規(guī)律式——已知某項(xiàng)的結(jié)論，求相應(yīng)的“位置數(shù)”

如例4 用2554個(gè)小圓圍成的是第 個(gè)圖。設(shè)圍成的是第n個(gè)圖，把2554代入表達(dá)式得：n（n+1）+4=2554

解得：n=50.

這樣，當(dāng)學(xué)生熟悉規(guī)律探索過(guò)程，理解“位置數(shù)”與“相應(yīng)項(xiàng)的值”一一對(duì)應(yīng)時(shí)，運(yùn)用表達(dá)式可以簡(jiǎn)便解答規(guī)律題。

通過(guò)以上例子表述，營(yíng)造以學(xué)生為主體的課堂，老師少說(shuō)，穿針引線暗地忙；學(xué)生多做，養(yǎng)成刻苦鉆研的習(xí)慣，遇到陌生的規(guī)律題，掌握以上方法，大膽嘗試計(jì)算后，就能找出潛在的規(guī)律，迅速解答。

（責(zé)編 林 劍）