橫觀各向同性地基上薄圓板彎曲解析解

劉曉梅 姜 旭

(1.華僑大學廈門工學院，福建 廈門 361000； 2.福建省雙陽建筑工程有限公司，福建 廈門 361000)

橫觀各向同性地基上薄圓板彎曲解析解

劉曉梅1姜 旭2

(1.華僑大學廈門工學院，福建 廈門 361000； 2.福建省雙陽建筑工程有限公司，福建 廈門 361000)

結合板的邊界條件、控制方程及板—地基的相容條件解出控制方程中的待定系數(shù)，將橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板受豎向荷載作用的彎曲問題轉化為數(shù)值積分和代數(shù)方程組的求解，算例結果表明：在求板的位移時該級數(shù)解答僅取前幾項就可達到很好的精度，收斂速度快。

橫觀各項同性，薄圓板，彎曲，傅立葉—貝塞爾級數(shù)，Hankel變換

0 引言

彈性地基板在實際工程中有著廣泛的應用，前人已對溫克爾地基及雙參數(shù)地基上板的彎曲進行過充分的研究，對各向同性彈性半空間地基上板的彎曲也有所研究[1,2]。天然地基土在橫向和豎向具有不同的力學特性，考慮到土體的應力—應變關系，將地基土作為橫觀各向同性彈性半空間模式處理較切合實際。本文利用傅立葉—貝塞爾級數(shù)，結合板的邊界條件、控制方程和相容條件，將橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板受豎向荷載作用的彎曲問題轉化為數(shù)值積分和代數(shù)方程組的求解。

1 橫觀各向同性彈性半空間的解答

設：

(1)

并引入以下應力組合：

T1n=τθzn+τrzn,T2n=τθzn-τrzn

(2)

(3)

式(3)中：

其中，A，B，C，D，E和F為待定系數(shù)。

(4)

注意到式(2)，進行Hankel變換后，則式(4)可表示為：

(5)

把式(3)代入到式(5)中，解出A～F的表達式,其中C=D=F=0，可求得彈性半空間表面在豎向荷載下的沉降，并將其進行Hankel變換后得到：

(6)

其中：

L1=(c13+c44)c11(s1-s2)；

(7)

2 彈性半空間地基上薄圓板彎曲的傅立葉—貝塞爾級數(shù)解

設周邊自由的薄圓板，半徑為a，置于橫觀各向同性彈性半空間地基上，則其控制方程為：

D22w(r,θ)=q(r,θ)-p(r,θ)

(8)

將圓板的邊界條件用撓度表示為：

(9)

(10)

設w，q和p可展開為下列形式的傅立葉—貝塞爾級數(shù)[4]，即：

(11)

(12)

(13)

其中：

(14)

(15)

將式(11)代入邊界條件式(9)和式(10)中，比較所得式中cosnθ的系數(shù)，得：

(16)

(17)

將式(13)中的pn(r)也按傅立葉—貝塞爾級數(shù)進行展開，并進行n階Hankel變換得：

(18)

假定板與地基接觸面沿板中面方向光滑，并考慮到地基表面所受的豎向荷載與地基反力的關系，則由式(6)和式(18)得：

(19)

對式(19)進行n階Hankel逆變換，得：

(20)

(21)

式(21)中：

(22)

式(22)中：

(23)

(24)

由板與地基的相容條件可以看出，在板與地基不發(fā)生脫離的情況下，z=0處板的撓度等于地基的撓度：

(25)

(26)

聯(lián)立求解式(15)，式(16)，式(17)及式(26)這四個控制方程，可得到各待定系數(shù)wnm,pnm,An,Bn。

3 數(shù)值算例

板的參數(shù)如下：

a=6m，h=1m，μb=0.167，Eb=20GPa。

橫觀各向同性彈性半空間地基的計算參數(shù)如下：

E1=5MPa,E2=10MPa,μ1=0.25,μ2=0.25,G2=1.5MPa。

設板受到均勻分布的荷載q0=1N/m2，數(shù)值積分采用10節(jié)點高斯積分[5,6]。計算結果見圖1。

計算結果表明：

1)在橫觀各向同性彈性半空間地基上的薄圓板的撓度隨著r/a的增大而逐漸減小，撓曲線光滑、連續(xù)。

2)傅立葉—貝塞爾級數(shù)解法的計算精度與所取的級數(shù)的項數(shù)有關。

3)用傅立葉—貝塞爾級數(shù)解法求得的橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板彎曲問題符合實際情況。

4 結語

本文借助于傅立葉—貝塞爾級數(shù)、Hankel變換與其逆變換，分析了橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板受豎向荷載作用下的彎曲問題，采用比較系數(shù)法將復雜的偏微分方程轉化為數(shù)值積分和代數(shù)方程組的求解，較其他方法更為簡單，更具有一般意義，從而為基礎工程的設計、計算提供了堅實的理論基礎。

[1] 黃 義，何芳社.彈性地基上的梁、板、殼[M].北京：科學出版社，2005.

[2] Selvadurai A.P.S. Elastic analysis of a soil-structure interaction[M].New Jersey:Preenice-Hall,1978.

[3] 李 婕,張學民,頓志林，等.橫觀各向同性地基空間問題的位移函數(shù)解法[J].巖土工程學報,2007(1)：47-51.

[4] 嚴宗達.結構力學中的富里葉級數(shù)解法[M].天津：天津大學出版社，1989:198-203.

[5] 數(shù)學手冊編寫組.數(shù)學手冊[M].北京：人民教育出版社，1979:550-553.

[6] 關 治，陸金莆.數(shù)值分析基礎[M].北京：高等教育出版社，1998:210-219.

Analysis on thin circular plate bending solution on transverse isotropic foundation

Liu Xiaomei1Jiang Xu2

(1.XiamenCollegeofIndustry,HuaqiaoUniversity,Xiamen361000,China;2.FujianShuangyangBuildingEngineeringCo.,Ltd,Xiamen361000,China)

The paper finds out undetermined coefficients of governing equation by combining with boundary condition, governing equation, and compatibility conditions of board and foundation, and transforms thin circular plate bending under vertical load into numerical integration method and algebraic equations. Results show that: the plate displacement solution can achieve perfect accuracy by extracting several items, furthermore, its convergence rate is rather rapid.

transverse isotropy, thin circular plate, bending, Fourier-Bessel series, Hankel transformation

2014-12-17

劉曉梅(1984- )，女，碩士，講師； 姜 旭(1982- )，男，工程師

1009-6825(2015)06-0081-03

TU433

A