磁浮球系統(tǒng)的二自由度控制

陳亞棟，張井崗，趙志誠

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，山西太原 030024)

磁浮球系統(tǒng)的二自由度控制

陳亞棟，張井崗*，趙志誠

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，山西太原 030024)

針對磁浮球系統(tǒng)提出了一種二自由度控制方法。它由反饋控制器、設(shè)定值前饋控制器和設(shè)定值跟隨響應(yīng)參考模型3部分組成。其中，采用基于期望干擾抑制性的直接綜合法設(shè)計的反饋控制器用以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定和抑制干擾，前饋控制器和參考模型實現(xiàn)期望的設(shè)定值跟隨響應(yīng)。該控制器可以使設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性解耦。仿真和實驗結(jié)果表明:該方法可以使磁懸浮系統(tǒng)同時具有良好的設(shè)定值跟隨性和干擾抑制性。

磁浮球系統(tǒng);二自由度控制;直接綜合法

近年來，磁懸浮技術(shù)作為一種高新技術(shù)以其獨特的技術(shù)優(yōu)勢正在受到越來越多的關(guān)注。由于懸浮體與懸浮裝置之間沒有任何機械式接觸，使得磁懸浮技術(shù)具有無摩擦、無噪音、無需潤滑、功耗低、壽命長、維修成本低等優(yōu)點，并且可以在液體、真空等特殊環(huán)境下工作，這使得它被廣泛應(yīng)用于磁懸浮列車、磁懸浮軸承、磁懸浮天平、磁懸浮隔震臺、磁懸浮風(fēng)洞以及人工磁懸浮心臟等方面［1］。

磁浮球系統(tǒng)是一個典型的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，是研究復(fù)雜的磁懸浮系統(tǒng)的基礎(chǔ)平臺。近年來國內(nèi)外學(xué)者針對磁浮球系統(tǒng)提出了多種先進(jìn)控制策略。W iboonjaroen W［2］根據(jù)磁浮球系統(tǒng)的線性化模型，利用狀態(tài)觀測器估計小球的位置，設(shè)計出狀態(tài)反饋控制器。由于磁浮球系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，電磁鐵的電阻和電感會隨著溫度的變化而改變，因此模型失配時控制品質(zhì)下降嚴(yán)重。文獻(xiàn)［3-5］將模糊控制應(yīng)用于解決磁懸浮系統(tǒng)的控制問題，該方法不需要精確的數(shù)學(xué)模型但是控制精度有待于提高。SUN ZG等［6］提出了滑?？刂品椒?，雖然提高了系統(tǒng)的魯棒性，但是抖震問題依然存在。Torres L H S等［7］利用反饋線性化得到系統(tǒng)的線性化模型，結(jié)合模糊控制器控制磁浮球系統(tǒng)，仿真研究表明控制策略的有效性。但這些控制方法都采用一自由度控制結(jié)構(gòu)，不能同時得到良好的跟隨性能和抗擾性能。而二自由度控制采用適當(dāng)?shù)脑O(shè)計方法，設(shè)計出兩個獨立的控制器，分別用于優(yōu)化系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性。Ghosh A等［8］將二自由度控制推廣到磁浮球系統(tǒng)，仿真研究表明該控制方法顯著地提升了系統(tǒng)的跟隨性能和抗擾性能，但其參數(shù)整定復(fù)雜，實際控制效果并不理想。

針對磁浮球系統(tǒng)，文中提出一種新型二自由度控制策略。利用基于期望干擾抑制性的直接綜合法設(shè)計反饋控制器，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和良好的抗擾性;引入?yún)⒖寄Ｐ驮O(shè)計前饋控制器實現(xiàn)期望的設(shè)定值跟隨響應(yīng)。所設(shè)計的控制器結(jié)構(gòu)簡單，僅有兩個可調(diào)參數(shù)，并分別與設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性直接相關(guān)。仿真和實驗結(jié)果表明，該二自由度控制可以使系統(tǒng)同時具有良好的位置跟隨性能和抗干擾性能，進(jìn)而證明了它的可行性。

1 磁浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 磁浮球系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

文中研究的被控對象為Googol Technology公司的GML1001型磁浮球系統(tǒng)。該系統(tǒng)是一種典型的單自由度吸浮式磁懸浮系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)簡單，運行平穩(wěn)，耦合度低，是進(jìn)行先進(jìn)控制策略研究的理想平臺。它由被控鋼球、光源、位置傳感器、輸入輸出電路、驅(qū)動放大裝置和控制器組成。磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框架Fig.1 Schem atic of themagnetic levitation system

1.2 磁浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由于實際控制系統(tǒng)中存在多種外界干擾及多種耦合，很難建立精確的數(shù)學(xué)模型。在保證能夠?qū)ο到y(tǒng)實施精確控制的前提下，可以建立較為精確的數(shù)學(xué)模型。對此有必要進(jìn)行如下假設(shè):忽略電磁鐵鐵芯的漏磁以及磁場的邊緣效應(yīng);磁感線呈均勻的線性分布，并且鐵芯及氣隙間的磁場強度以及磁通密度也是均勻分布的;鐵芯和鋼球的磁阻忽略不計;其他外界干擾因素忽略，鋼球只受重力和電磁力，并且集中在幾何中心。

通過對磁浮球系統(tǒng)受力分析，在豎直方向上小球的受力情況為

式中:m為小球的質(zhì)量;x為鋼球頂點到鐵芯地面的位移;i為電磁鐵的電流。

電磁鐵產(chǎn)生的電磁力方程為

式中，k為電磁力常數(shù)。

根據(jù)電磁感應(yīng)定律和基爾霍夫定律，電磁線圈的回路方程為

其中，R為線圈電阻;L為電磁鐵線圈電感。在平衡點處有位置關(guān)系

式中，i0，x0分別為平衡點處電磁鐵的電流和小球位置。

通過以上方程分析可知，由于電磁力與電流i和位置x呈非線性關(guān)系，因此該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。為了便于進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計，將系統(tǒng)在平衡點處進(jìn)行線性化處理。對式(2)按泰勒級數(shù)展開，舍掉高次項后進(jìn)行拉普拉斯變換，并進(jìn)行整理得到

為了便于控制器設(shè)計，在控制器輸出和傳感器輸出端建模，ks為小球位置到傳感器量測電壓的變換系數(shù)，ka為驅(qū)動放大器將控制電壓轉(zhuǎn)換為電流信號的變換系數(shù)。經(jīng)化簡，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可寫為

其中M=－(ks/ka)(x0/i0)，T=x0/2g。

該實驗裝置的物理參數(shù)由表1給出。經(jīng)計算，系統(tǒng)的數(shù)傳遞函數(shù)為

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)存在位于s平面的右半平面的極點，因此是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。

表1 物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters

2 二自由度控制

文中提出的二自由度控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。其中，r，y，d分別表示系統(tǒng)的設(shè)定值輸入、系統(tǒng)輸出和干擾輸入;Gp(s)為被控對象磁浮球系統(tǒng)。所提出的二自由度控制結(jié)構(gòu)包含3部分:GC(s)，GF(s)和GR(s)分別表示反饋控制器、前饋控制器和參考模型。其中，反饋控制器用于保證系統(tǒng)穩(wěn)定和抑制干擾，前饋控制器和參考模型實現(xiàn)期望的設(shè)定值跟隨響應(yīng)［9］。

圖2 二自由度控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Block diagram of the 2-DOF control

由圖2可得系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨響應(yīng)和干擾響應(yīng)

根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定性，在GF(s)和GR(s)穩(wěn)定的情況下，可以利用設(shè)計反饋控制器GC(s)保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由式(8)可知，如果存在可實現(xiàn)的前饋控制器GF(s):

則系統(tǒng)的跟隨特性變?yōu)?/p>

在這種情況下，系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性實現(xiàn)解耦。同時可以看出，在模型精確且沒有干擾的情況下，系統(tǒng)處于開環(huán)狀態(tài)，因此反饋控制的作用在于克服干擾以及模型不確定性對系統(tǒng)的影響。

為了獲得較好的跟隨特性，并考慮到GF(s)的可實現(xiàn)性，GR(s)選擇為

式中:ε為可調(diào)參數(shù);階次n為Gp(s)的相對階次。

根據(jù)式(10)和式(12)，可以得到

為了使系統(tǒng)獲得良好的抗擾性能，利用基于期望干擾抑制性的直接綜合法［10］設(shè)計反饋控制器GC(s)。

由式(9)可以得到

由式(14)可以給出期望的干擾抑制特性(y/d)d，同時設(shè)計反饋控制器Gc(s)。

反饋控制器采用經(jīng)典的PID控制器形式

將式(14)和式(7)代入式(9)，得到系統(tǒng)的干擾響應(yīng)

根據(jù)式(16)，為了得到良好的抗擾性能并考慮到Gc(s)的PID結(jié)構(gòu)，將期望的干擾抑制性設(shè)為

式中，λ為可調(diào)參數(shù)。

通過對比式(16)和式(17)的對應(yīng)階次的系數(shù)，可以得到反饋控制器的PID參數(shù)如下:

通過上述步驟設(shè)計的二自由度控制器結(jié)構(gòu)簡單，僅有兩個可調(diào)參數(shù)ε和λ。由式(11)和式(12)可以看出，在模型精確的情況下，系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性是無超調(diào)的，并且僅與控制參數(shù)ε相關(guān):通過整定較小的ε值可以獲得較快的跟隨響應(yīng)，但是需要較大的控制器輸出量。而整定較大的ε值可以使跟隨響應(yīng)變緩，同時需要的控制器輸出量也減小。由式(15)和式(17)可知，λ決定了系統(tǒng)的干擾抑制特性，同時決定了系統(tǒng)的魯棒性。減小λ可以獲得更好的干擾抑制性，但是魯棒性將變差;增大λ會使干擾抑制性變差，但是魯棒性得到提升。因此，λ的選擇要兼顧干擾抑制性和魯棒性，具體參數(shù)可根據(jù)計算機輔助分析確定。

3 仿真與實驗

為驗證文中所提出的設(shè)計方法的有效性，使用Matlab軟件進(jìn)行仿真研究，并進(jìn)行實時控制實驗。

3.1 仿真

給定輸入信號和擾動信號分別為

與文獻(xiàn)［8］中提出的二自由度控制方法在相同的實驗條件下進(jìn)行對比研究。仿真結(jié)果分別如圖3～圖6所示。其中，圖3～圖5分別表示所設(shè)計的控制器在不同控制參數(shù)下的響應(yīng)曲線，圖6表示文獻(xiàn)［8］中方法在相同實驗條件下的響應(yīng)曲線。

圖3 ε=0.2，λ=0.02時位置跟蹤曲線Fig.3 Position track ing curve(ε=0.2，λ=0.02)

圖4 ε=0.01，λ=0.1時位置跟蹤曲線Fig.4 Position tracking curve(ε=0.01，λ=0.1)

圖5 ε=0.01，λ=0.02時位置跟蹤曲線Fig.5 Position tracking curve(ε=0.01，λ=0.02)

圖6 α=20時位置跟蹤曲線Fig.6 Position tracking curve(α=20)

由圖3～圖5可知，較小的ε的值可以得到較快的設(shè)定值跟隨響應(yīng)，相反較大的ε值可以使設(shè)定值跟隨響應(yīng)變緩，但抗擾性不受影響;類似地較小的λ值可以得到較好的干擾抑制性，而增大λ則干擾抑制性變差?？紤]到實驗裝置的輸出能力有限，因此ε值的選取不可能過小，而λ的選擇要兼顧系統(tǒng)的魯棒性和干擾抑制性，最終選取圖5所示的參數(shù)值取得最好的控制效果。通過仿真結(jié)果可知，該二自由度控制可以使被控鋼球在很短的時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并有較好的動態(tài)特性。經(jīng)反復(fù)實驗，文獻(xiàn)［8］中的方法在a=20時取得最好的控制效果，對比圖5和圖6可知，系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性均優(yōu)于文獻(xiàn)［8］中的方法。

3.2 實驗

為了驗證該方法的實際控制效果，文中還進(jìn)行了實時控制實驗。輸入信號同樣選為r(t)= 0.15sin(2t)－3，為了驗證系統(tǒng)的抗擾性，在系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后，在被控鋼球下增加一個相同的鋼球作為干擾信號，實驗結(jié)果如圖7、圖8所示。

實驗結(jié)果表明，文中提出的控制策略在實時控制時能使被控鋼球迅速跟蹤給定信號，并有很好的抗擾能力，設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性均優(yōu)于文獻(xiàn)［8］中的控制策略。

圖7 ε=0.01，λ=0.02時實時控制輸出曲線Fig.7 Real-time control output curve(ε=0.01，λ=0.02)

圖8 a=20時實時控制輸出曲線Fig.8 Real-tim e control outpu t cu rve(a=20)

4 結(jié)語

文中提出了磁浮球系統(tǒng)的一種二自由度控制策略。該方法結(jié)合參考模型設(shè)計前饋控制器提高了系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性，利用直接綜合法設(shè)計反饋控制器保證系統(tǒng)具有良好的抗擾性能。所設(shè)計的控制器結(jié)構(gòu)簡單，僅有兩個可調(diào)參數(shù)，并且實現(xiàn)了設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制性解耦。通過仿真和實驗研究可知，該方法可以使磁浮球系統(tǒng)同時獲得良好的設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制特性。

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(責(zé)任編輯:邢寶妹)

2-DOF Control Schem e for M agnetic Levitation Ball System

CHEN Yadong，ZHANG Jinggang*，ZHAO Zhicheng
(School of Electronics and Information Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

A novel two-degree-of-freedom(2-DOF)control scheme for amagnetic levitation ball system is proposed in this paper.It contains three parts:the feedback controller，the set-point feed forward controller and the referencemodel.The feedback controller based on the direct synthesis approach and desired disturbance rejection characteristics are used to guarantee the stability of the system and suppress the disturbance.The desired set-point tracking response is achieved by the feedforward controller and the referencemodel.The set-point tracking performance and the disturbance rejection characteristics of the system can be decoup led by the designed controller structure.Both simulation and experimental results show that the novel 2-DOF control scheme has a good set-point tracking performance and the disturbance rejection characteristics.

magnetic levitation ball system，2-DOF control，direct synthesis approach

TP 273

A

1671－7147(2015)06－0741－05

2015－07－27;

2015－09－29。

山西省回國留學(xué)人員科研項目(2013－092);山西省青年科技研究基金項目(2014011020－1);山西省研究生創(chuàng)新項目(2015SY65)。

陳亞棟(1989—)，男，河北涿州人，控制工程專業(yè)碩士研究生。

*通信作者:張井崗(1965—)，男，山西運城人，教授，碩士生導(dǎo)師。主要從事先進(jìn)控制技術(shù)及應(yīng)用研究。

Email:chenyad007@163.com