Realized GARCH模型在黃金期貨市場的應(yīng)用

王玲

Realized GARCH模型在黃金期貨市場的應(yīng)用

王玲

采用結(jié)合高頻數(shù)據(jù)實現(xiàn)計量的Realized GARCH模型對黃金期貨市場的杠桿效應(yīng)、波動集群性等波動性特征進(jìn)行研究。選取對價格穩(wěn)健的實現(xiàn)計量作為Realized GARCH模型的解釋變量，并對我國黃金期貨的高頻樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗。極大似然方法估計結(jié)果表明：對價格跳穩(wěn)健的實現(xiàn)雙冪變差波動性（RBV）所得結(jié)果更優(yōu)，黃金期貨存在明顯的杠桿效應(yīng)和波動集群性，且波動具有長持續(xù)性，而實現(xiàn)方差并不能有效的刻畫數(shù)據(jù)實際特征。

黃金期貨 非對稱性；Realized GARCH 極大似然估計

金融收益波動一般具有杠桿效應(yīng)、集群性等。Engle（1982年）提出ARCH模型，解釋了波動集聚效應(yīng)，奠定了波動性度量的基礎(chǔ)。Bollerslev提出的GARCH模型，能很好的刻畫金融收益的異方差性和波動集群性，但不能說明金融資產(chǎn)收益的其他特性，如非對稱性等。

為彌補(bǔ)GARCH模型的缺陷，描述利空、利好消息對收益波動影響和波動長記憶性的非對稱GARCH模型應(yīng)運(yùn)而生。EGARCH模型、TGARCH模型、GJR-GARCH模型主要對收益的非對稱性建模，F(xiàn)IGARCH模型描述了序列變動的異方差性和長記憶變動特性。

GARCH族模型雖然改進(jìn)了條件方差方程，但所用日間數(shù)據(jù)損失了大量日內(nèi)市場信息，勢必造成結(jié)果的相應(yīng)偏差。高頻數(shù)據(jù)可提供更多的經(jīng)濟(jì)和市場信息，可得性顯著提高，同時研究表明可用標(biāo)準(zhǔn)時間序列技術(shù)對“可觀測”實現(xiàn)波動性建模。因此如果能充分利用數(shù)據(jù)自身包含的信息，即讓數(shù)據(jù)盡可能的表現(xiàn)自己，并將這種信息嵌入到易于估計的模型中，則可期待精確的估計出資產(chǎn)收益的真實波動。越來越多的金融研究人員利用高頻數(shù)據(jù)信息來度量資產(chǎn)收益波動的動態(tài)性。

一、文獻(xiàn)綜述

為充分利用高頻數(shù)據(jù)的信息，主要從三個方面著手：（1）直接利用高頻數(shù)據(jù)計量；（2）將高頻數(shù)據(jù)計量嵌入已存在的模型中，對條件方差方程進(jìn)行改進(jìn)；（3）探索新的模型。徐正國、張世英（2004）利用上證綜指的高頻數(shù)據(jù)將調(diào)整已實現(xiàn)波動率和GARCH模型進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)：實現(xiàn)波動率明顯優(yōu)于使用低頻數(shù)據(jù)的GARCH模型。魏宇、余怒濤（2007）也證明使用高頻數(shù)據(jù)的實現(xiàn)波動率模型比傳統(tǒng)的低頻數(shù)據(jù)模型好。文鳳華（2012）等構(gòu)建了AHAR-RV-V模型，并應(yīng)用滬深300指數(shù)進(jìn)行檢驗，結(jié)果表明模型能較好的捕捉股票市場波動的長記憶性和杠桿效應(yīng)，且杠桿效應(yīng)具有一定的持續(xù)性。田鳳平等（2014）修正了已實現(xiàn)門閥多次冪變差，構(gòu)建考慮跳躍的AHAR-C-CJ模型證明股指波動的連續(xù)性成分長記憶性較強(qiáng)，離散成分長記憶性較弱，模型顯著提高了股指期貨市場波動率預(yù)測精度。Louzis等（2014）用三種波動率模型：GJR-GARCH模型、實現(xiàn)GARCH模型、非對稱HAR模型度量了股票、匯率、債券和黃金期貨數(shù)據(jù)的波動率。本文在黃金期貨高頻數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用Realized GARCH模型檢驗了市場波動的特征，并側(cè)重采用價格穩(wěn)健的實現(xiàn)計量。采用極大似然方法估計的結(jié)果表明：采用價格穩(wěn)健的變量能更有效地捕捉市場的波動性特征。

二、波動率模型

1、實現(xiàn)波動率

最初主要采用參數(shù)方法來度量波動率，但理論和實踐表明，可能由于樣本包含的經(jīng)濟(jì)和市場信息不足等原因，參數(shù)方法都存在較大誤差，不能精確度量波動率。因此國外新近研究將度量波動率的方法轉(zhuǎn)向了利用高頻數(shù)據(jù)的非參數(shù)方法上，本質(zhì)是讓數(shù)據(jù)盡可能的表現(xiàn)自己，并用收益的經(jīng)驗分布—而非假設(shè)的理論分布來度量波動，此類方法都有一個潛在的假設(shè)：未來與過去相同。最具代表性的就是實現(xiàn)波動性模型。迄今對實現(xiàn)波動性模型的研究表明：首先，對數(shù)實現(xiàn)波動性的非條件分布近似正態(tài)分布，但仍與正態(tài)分布有差距。其次，（對數(shù)）實現(xiàn)波動性是分整的。最后，實現(xiàn)波動是非線性的，即在ARCH型模型中也很常見的杠桿效應(yīng)：過去的負(fù)沖擊對當(dāng)前（實現(xiàn)）波動的影響要大于正沖擊。

Andersen等（2001）提出實現(xiàn)波動率，利用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)計算出事后波動率的“可觀測”估計量，且已實現(xiàn)波動率估計量不依賴于任何模型，沒有估計誤差，可視為“可觀測”變量。金融資產(chǎn)的日條件對數(shù)收益為rt＝p（t）－p（t－1）（其中p（t）是t天觀察到的金融資產(chǎn)價格的對數(shù)），可表示為：

rt＝μt＋εt＝μt＋σtzt（1）（zt獨(dú)立同分布于均值為0，方差為1的分布）。

通常市場微觀噪聲會引起日內(nèi)收益的自相關(guān)，為了解釋金融資產(chǎn)收益過程隱含的序列自相關(guān)性，如Giot和Laurent（2004）與Kuester（2006），用AR （1）對條件均值建模：E（rt│It-1）＝c＋φ1rt-1，條件期望解釋了收益的動態(tài)時間依賴性和非零均值，而收益常常是異方差的，因此將典型特征嵌入到收益過程中是合理的。

2、Realized GARCH模型

GARCH模型和實現(xiàn)波動性模型各有自身的優(yōu)勢，如果能將GARCH模型的特性（靈活性等）與實現(xiàn)波動模型的優(yōu)點結(jié)合，那么可以期待較準(zhǔn)確的度量波動率。最初直接將實現(xiàn)波動性計量（實現(xiàn)方差、實現(xiàn)核等） 納入 GARCH模型—GARCH-X模型，易于估計，操作簡單，但只能用日收益數(shù)據(jù)提供波動性當(dāng)前水平的單一信息，即實現(xiàn)計量是外生變量，不能用來更新波動性信息，是不完整的。為了改進(jìn)這一點，人們開始嘗試建立完整模型，Engle和 Gallo（2006），Sheppard和Shephard（2010）分別提出至少依賴兩個隱變量的MEM和HEAVY模型。

Hansen等（2012）提出將實現(xiàn)波動性與收益聯(lián)合建模的完整模型，即Realized GARCH模型。Realized GARCH模型可以調(diào)整由市場微觀噪聲和非交易時間所引起的實現(xiàn)波動的偏差，可以利用高頻數(shù)據(jù)實現(xiàn)波動性計量方法更新波動性信息，而且波動能很快達(dá)到最新水平，本質(zhì)上是一個離散時間隨機(jī)波動率（SV）模型，由于實現(xiàn)測度的存在（構(gòu)建了實現(xiàn)計量的封閉函數(shù)），可直接用極大似然方法同時估計收益和波動性等式的參數(shù)。其對數(shù)形式為：

一般來說，我們期望真實日收益波動的無偏估計量能使K的估計值接近0，π的估計值接近1。但rt和σ2t是整日的收益和波動性，RVt是用日間開市時期數(shù)據(jù)計算的實現(xiàn)波動，因此，K應(yīng)小于0，π應(yīng)小于1。

金融資產(chǎn)價格常常存在跳躍性，為了克服價格中跳對積分波動率的影響，Barndorff-Nielsen和Shephard給出了已實現(xiàn)雙冪變差波動率（RBV）：（t天的第j個連續(xù)復(fù)合日內(nèi)收益為2，…M），M是日內(nèi)收益的總數(shù)，t天的收益為rt＝實現(xiàn)波動性在不含微觀噪聲的情形下，無論真實資產(chǎn)過程是否具有跳，當(dāng)抽樣間隔趨于0時，RBV將趨近真實積分波動率，即RBV依概率收斂于積分波動率。而存在跳時，RV趨近于積分波動率加上跳躍部分，不再是積分波動率的一致漸近估計。

所有等式（等式（1）、（2）、（3））的參數(shù)都可以通過最大化實現(xiàn)波動性模型的聯(lián)合對數(shù)似然函數(shù)來估計：

θ是參數(shù)向量，fGARCH（rt│xt-1,θ）是新息分布的密度函數(shù)，取決于GARCH式中zt的分布選擇，fn（xt│xt-1，rt，θ）是相對于計算式的正態(tài)分布密度。當(dāng)zt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時，（4）式為

三、實證分析

1、數(shù)據(jù)的選取

金融數(shù)據(jù)常常受到市場微觀噪聲的影響，不同的采樣頻率會對結(jié)果產(chǎn)生不同影響，一般來說，實現(xiàn)波動率隨著采樣頻率的降低而增大，直到采樣頻率降到5分鐘，這種趨勢才穩(wěn)定下來。本文選擇常用資產(chǎn)：商品中具有代表性的黃金期貨2011-01-04—2014-07-04（848天）的5分鐘數(shù)據(jù)。

2、描述性統(tǒng)計量

表1描述了日觀察值和用于計算實現(xiàn)計量的日內(nèi)收益數(shù)據(jù)的信息，也給出了資產(chǎn)的日（平方）收益，（對數(shù)）實現(xiàn)波動性和（對數(shù)）實現(xiàn)雙冪變差波動的描述統(tǒng)計量。

表1 黃金期貨全樣本數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計量表

由表1及圖1、2、3可知：收益表現(xiàn)出明顯的負(fù)偏性和厚尾性，峰度顯著大于3。其值在0附近上下頻繁波動，ACF圖表明收益前后并無明顯相關(guān)性，建模時將收益的條件均值設(shè)為0。收益平方ACF圖表明收益平方前后相關(guān)性較大，即出現(xiàn)集群現(xiàn)象：大的波動跟隨大的波動，小的波動跟隨小的波動。

對數(shù)實現(xiàn)計量也表現(xiàn)出明顯的前后依賴性。RVt、RBVt都表現(xiàn)出右偏和尖峰厚尾性；log RVt、log RBVt接近正態(tài)分布，log RBVt更接近正態(tài)分布，可能是因為RBVt對價格的穩(wěn)健性，但JB統(tǒng)計量和QQ圖表明兩者均不服從正態(tài)分布。自相關(guān)函數(shù)（ACF）以雙曲線形式緩慢衰減，表明所有（對數(shù)）實現(xiàn)波動序列表現(xiàn)出長期依賴性（即長記憶性）。圖1、2、3顯示，在2013.04-2014年間（恰好處于金價大幅跳水期），收益、收益平方、（對數(shù)）實現(xiàn)計量的波動最強(qiáng)。log RBVt的波動明顯弱于log RVt。

圖1 收益rt相關(guān)圖

圖2相關(guān)圖

圖3 實現(xiàn)計量相關(guān)圖

3、模型估計結(jié)果

表2 Realized GARCH模型的參數(shù)估計結(jié)果

對比Hansen（2012）和Louzis（2014）的研究結(jié)果，RBV情形下，GARCH式的估計結(jié)果：β、γ的估計值接近其相關(guān)研究中估計結(jié)果的平均值。計量式中對數(shù)實現(xiàn)計量的估計，即π的估計值反映了其能解釋的對數(shù)方差百分比，其值小于1，與先前預(yù)期吻合，所用只是開市時期數(shù)據(jù)，黃金期貨并非24小時連續(xù)交易，對數(shù)RBV能解釋真實方差對數(shù)的67.6%。K的估計值接近2，顯然與先前假設(shè)不符合，實現(xiàn)計量不是未確定條件方差的無偏估計，可能由于中國黃金期貨市場起步較晚，各方面體制并不健全，易受其他因素的影響。且RBV對價格跳穩(wěn)健意味著其低于或等于由RV估計的價格過程的二次變分，所以由RBV所得的K估計值1.96小于采用RV所得的7.44。τ1的估計值為負(fù)，說明黃金期貨市場存在杠桿效應(yīng)；τ2的估計值為正，證明期貨市場存在尺度效應(yīng)，這與我們在收益序列中觀察到的特性相符，杠桿函數(shù)估計結(jié)果驗證了收益存在非對稱性的典型特征。波動的持續(xù)性β＋γπ為0.95，表明波動的持續(xù)性較長。

在RV情形下，GARCH式的估計結(jié)果與先前研究相符，但是計算式的估計結(jié)果相差較大，特別是杠桿效應(yīng)的估計值為正，與實際不符合，且實現(xiàn)計量是真實方差的有偏估計。持續(xù)性值為0.97，同樣表明波動具有長持續(xù)性?？傮w來說，RBV的度量效果優(yōu)于RV。

四、結(jié) 論

在GARCH模型中將實現(xiàn)波動性視為解釋變量可用來評估用于衡量波動性的高頻數(shù)據(jù)信息量。文中選用由高頻數(shù)據(jù)計算的價格穩(wěn)健實現(xiàn)計量RBV作為Realized GARCH模型的解釋變量，對黃金期貨收益的杠桿效應(yīng)和波動集群性進(jìn)行研究，并采用極大似然方法估計模型參數(shù)。

選取的黃金期貨收益數(shù)據(jù)并沒有自相關(guān)性（可能由于市場微觀噪聲對黃金期貨市場收益的影響較小），建模時收益的條件均值設(shè)為0。利用RBV進(jìn)行分析時，β、γ的估計值接近相關(guān)研究中估計結(jié)果的平均值。τ1估計值為負(fù)，杠桿效應(yīng)明顯存在；τ2估計值為正，即存在波動集群性；τ1、τ2估計結(jié)果表明黃金期貨市場并非完全有效，沖擊對于波動的影響具有非對稱性。π的估計值較大，證明對數(shù)RBV可解釋的對數(shù)波動的比例較大，由于交易時間的制約，其估計值小于1，符合先前假設(shè)。然而，采用RV進(jìn)行分析的結(jié)果不盡理想，尤其τ1的估計值為正，顯然與預(yù)期相悖。但兩變量同時表明波動具有長持續(xù)性。

總體來說，在新息和計量式誤差項正態(tài)分布假設(shè)條件下，采用RBV估計的結(jié)果優(yōu)于RV，可能歸因于RBV對價格跳穩(wěn)健的特性，波動相對較弱，取其對數(shù)后更接近正態(tài)分布。

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Application of Realized GARCH Model in Gold Future Market

WANG Ling
University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093

This paper studies the leverage effect and volatility clustering of gold future in China by using realized GARCH model combined with realized measures calculated from high-frequency data.The realized measure robust to price jumps is selected as the explanatory variable of realized GARCH model to test the features of high-frequency data of gold future in China.The results got from maximum likelihood estimation show:the Realized Bipower Variation (RBV)which robust to price jumps performs good,gold future presents leverage effect and volatility clustering,and volatility lasts a long time;but Realized Variance(RV)can't describe the real characters of the data effectively.

Gold Future,Asymmetry,Realized GARCH,Maximum Likelihood Estimation

F831

A

王玲，女，漢族，安徽淮南人，上海理工大學(xué)碩士研究生，研究方向：金融統(tǒng)計；上海，200093