放回還是不放回

陳志偉

“這樣做不公平！應(yīng)該你抽完再放回去，讓我抽.否則，我不抽.”還沒有走進(jìn)教室，就能聽到班長瑤瑤在吼.怎么回事？帶著疑問，陳老師進(jìn)了班級，看到班長、數(shù)學(xué)科代表和團(tuán)支部書記正圍在講臺上抽簽.

班長看到陳老師進(jìn)來就帶著委屈告之事情的緣由，原來他們在用抽簽的方法決定誰做這次班會課的主持人.

瑤瑤說：“不讓我做主持人可以，但不要用這樣的方法來欺負(fù)我.”

陳老師說：“你們是怎么抽的??？”

瑤瑤說：“數(shù)學(xué)科代表制作了3個標(biāo)簽，其中一個上面寫著主持人，每人抽一個，他先抽，團(tuán)支部書記和我順著來，誰抽到就誰當(dāng).”

陳老師問：“你覺得不公平，那么你認(rèn)為應(yīng)該如何抽？”

“我覺得應(yīng)該他抽完，放回去.我們再接著抽，這樣才公平.”

“同學(xué)們，現(xiàn)在班委遇到了問題，我們大家一起來看看，能不能幫助他們.”陳老師終于明白了他們爭吵的原因.

同學(xué)們經(jīng)過一段時間的思考，也分成了兩派，一派支持?jǐn)?shù)學(xué)科代表，一派支持班長瑤瑤.陳老師也看出了他們對這個問題的認(rèn)識程度.支持的和不支持的都不能說服對方.

“好，我們前面學(xué)習(xí)了古典概型和幾何概型，現(xiàn)在他們遇到的問題在于抽到的簽是否放回以及抽簽的順序.是否放回影響不影響概率？如果影響，應(yīng)該選擇哪種方式公平？我們就結(jié)合前面所學(xué)習(xí)的概率內(nèi)容進(jìn)行探討.在講解之前，我們還是按照他們雙方的方式，去做一次，看看最終的結(jié)果分別怎樣？”

于是，大家就分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果很快出來了.不放回的組：有的第一個人抽到了，后面的人就不抽了；有的第二個人抽到的；有的第三個人抽到的.放回的組：有的只有一個人抽到了；有的有兩個人都抽到了；有的三人都抽到了.這下大家都犯難了，他們是明顯感受到了放回的有問題，但他們解釋不了原因.

陳老師讓同學(xué)們把兩種問題的所有事件都用表格列出來.

從表一中，可以看出明顯錯誤，因?yàn)橹挥幸粋€人來做主持人，而上面的結(jié)果可能出現(xiàn)多個人做主持人的情況，不能解決問題.

從表二中，可以看出，這是可行的，每個人抽到的概率都是相等的，每個人抽中的概率都是

，每個人抽中與抽取的順序沒有關(guān)系，當(dāng)3人抽取結(jié)束后，僅有一人抽中.

瑤瑤不服氣說：“我看出放回是有問題的了，但是要是按照不放回抽簽的話，第一個人抽到了，那么后面的兩個人不用抽都知道不可能抽中了，那對后面的人不是不公平嗎？那不是說誰先抽，就占便宜了嗎？”

數(shù)學(xué)科代表說：“要是第一個人沒有抽中，那第二個人抽不是概率變成

了嗎？要是第一個人和第二個人都沒有抽中，第三人抽的概率不是1了嗎？不是先抽就高，最后一個人抽才高呢！”

陳老師笑著說：“從你們的分析看，你們目前還不能理解抽取沒有順序之分.你們覺得是否抽中，要看前面的人是否抽中，這就對了.實(shí)際上，不放回抽簽，不能單單看某個個人在抽取時的抽中概率，而要看你在抽取過程中，整個事件的發(fā)生的概率.如果孤立地看待抽簽，你會發(fā)現(xiàn)自己抽中與否是不公平的.這是一個條件概率的問題.從表二中我們可以看到，第一人沒有抽中的概率是 ，第二人抽中的概率變成了 ，所以第二人最終抽中的概率是

；第三人抽中的概率要這樣看，第一人沒有抽中的概率是 ，第二人沒有抽中的概率是 ，第三人抽取時，就一張簽，是必然事件，故第三人最終抽中的概率是

，

“從整個事件可以看出，我們在做概率問題時，要分清楚抽取是不是放回，放回實(shí)際是一個N次獨(dú)立事件的問題，概率與前面的事件發(fā)生概率無關(guān)；不放回是一個條件概率問題，后面事件發(fā)生的概率與前面事件的發(fā)生概率有關(guān)系.