你喜歡直線嗎？

胡章琴

你喜歡直線嗎？會(huì)畫(huà)它嗎？

你會(huì)求直線的方程嗎？

直線的方程有五種形式，你都熟悉嗎？你知道它們的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？那你最喜歡誰(shuí)呢？

我最喜歡點(diǎn)斜式.

例1 （1）已知直線ι過(guò)點(diǎn)A（2，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線ι的方程.

（2）已知直線Z過(guò)點(diǎn)A（2，1）且與χ軸、y軸的正半軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，求△OBC的最小面積，并求此時(shí)的直線ι的方程.

第一問(wèn)你會(huì)怎么解呢？

有些同學(xué)很喜歡用截距式，哈哈！這樣就容易漏解啦！

看我的：

第二問(wèn)呢？

這道題可以用截距式了吧！

對(duì)，這道題是可以用截距式.不過(guò)我還是認(rèn)為點(diǎn)斜式更好，不信我們來(lái)PK 一下.

簡(jiǎn)單吧！下面的就交給你了.

現(xiàn)在你是否也覺(jué)得點(diǎn)斜式好用呢？此時(shí)可能有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為我的第（1）問(wèn)用的方法不夠簡(jiǎn)捷，是的，如果我們同時(shí)結(jié)合圖形會(huì)更快地解決問(wèn)題.本來(lái)數(shù)形結(jié)合就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題非常好的一個(gè)方法，這點(diǎn)我們?cè)趯W(xué)習(xí)解析幾何時(shí)更應(yīng)該深有體會(huì).第（2）問(wèn)如果你不畫(huà)圖你就不能快速看出 k<0這個(gè)條件.

那是否確定一條直線的條件就是“一點(diǎn)十斜率呢”？

例2 已知圓C：χ2+ y2=4，

（1）過(guò)點(diǎn)A（2，3）作圓C的切線ι，求切線ι的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)B（l，3）作直線m與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為2√3，求直線m的方程.

（3）若直線n過(guò)點(diǎn)B（l，3），且圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線n的距離為1，求此時(shí)直線n的方程.

問(wèn) （1）中的切線ι有幾條？

答 因?yàn)辄c(diǎn)A（2，3）在圓C的外面，應(yīng)該有兩條，那為什么用點(diǎn)斜式只求出了一條呢？

你知道問(wèn)題出在哪兒?jiǎn)?？?duì)！因?yàn)榇_定直線的不是“一點(diǎn)十斜率”，而是“一點(diǎn)十方向”，斜率≠方向，而點(diǎn)斜式唯一的缺陷就是不能表示與χ軸垂直的直線，故在使用點(diǎn)斜式時(shí)一定要結(jié)合圖形觀察斜率不存在的直線是否滿足題意.

由上可知，（2）中的直線m也有兩條，利用垂徑定理把“弦長(zhǎng)為2√3”的條件轉(zhuǎn)化為“圓心到直線m的距離為1”即可求出.

你會(huì)解第（3）問(wèn)嗎？圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線n的距離為1是什么意思？

結(jié)合圖1，我們不難發(fā)現(xiàn)：因?yàn)閳A的半徑為2，因此只需圓心到直線n的距離為1時(shí)，圓C上就恰有三個(gè)點(diǎn)到直線n的距離為1，這樣第（3）問(wèn)就轉(zhuǎn)化成第（2）問(wèn)了，你明白了嗎？

雖然我喜歡點(diǎn)斜式，可是我不會(huì)忽略它的缺點(diǎn)，因此我每次在用它之前都會(huì)結(jié)合圖形看看斜率不存在的那條直線是否也是我所需要的.相信你以后也會(huì)這么做！

確定直線除了用“一點(diǎn)十方向”外，還可以用什么條件呢？

例3 已知直線ι：χ+y-2=0，

（1）求直線ι關(guān)于點(diǎn)A（2，3）對(duì)稱的直線m的方程.

（2）求直線ι關(guān)于直線y=2χ對(duì)稱的直線n的方程.

你會(huì)畫(huà)出要求的這些直線嗎？試試看！

如果你能畫(huà)出它們，我相信你就能求出它們相應(yīng)的方程.

拋磚引玉，我先來(lái)說(shuō)說(shuō)我的解法.

因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，因此我們還可以用“一點(diǎn)十一點(diǎn)”來(lái)求直線方程.

解析 （1）在直線ι上任取兩點(diǎn)，如（2，0），（1，1），求出它們關(guān)于點(diǎn)A（2，3）對(duì)稱的點(diǎn)，則這兩點(diǎn)必在直線m上，因此，直線m的方程就可求出.

（2）由圖2可知：直線κ與直線y=2χ的交點(diǎn)（

）必在對(duì)稱的直線n上，再在直線ι上任取一點(diǎn)（2，0），其關(guān)于直線y=2χ的對(duì)稱點(diǎn)（

）也在直線n上，這樣，直線n的方程就可求出來(lái)了.

咦！還有更好的方法？好，我們一起來(lái)看看.

對(duì)，這兩問(wèn)都可用一點(diǎn)十方向來(lái)做.因?yàn)椋?）中的直線m和直線ι是平行的；（2）中的直線n，直線ι與直線y=2χ的夾角相等.

現(xiàn)在你知道了嗎？確定直線方程其實(shí)就這么簡(jiǎn)單：

（1） 一點(diǎn)十方向；

（2） 一點(diǎn)十一點(diǎn).