抓住規(guī)律 找準(zhǔn)關(guān)系 建立模型

摘 要：從“具體的數(shù)”到用“字母表示數(shù)”；從對(duì)“數(shù)量”的理解到對(duì)“關(guān)系”的探討，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)這一抽象過(guò)程的實(shí)現(xiàn)有巨大的“思維鴻溝”，只有關(guān)注數(shù)量關(guān)系中的常量與變量的規(guī)律，才能真正建立用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)由算術(shù)思維邁向代數(shù)思維的歷史性跨越。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系；分析思維；用字母表示數(shù)；符號(hào)；課例

一、研究背景

1.歷史背景

從丟番圖用縮寫(xiě)的方法表示數(shù)到韋達(dá)把字母當(dāng)作符號(hào)來(lái)表示數(shù)，數(shù)學(xué)家們用了1200余年。在40分鐘的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中又怎樣來(lái)實(shí)現(xiàn)這樣偉大的人類(lèi)認(rèn)知提升呢？

2.價(jià)值背景

《用字母表示數(shù)》這節(jié)教學(xué)內(nèi)容有兩個(gè)重點(diǎn)：用字母表示數(shù)；用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系。那么《用字母表示數(shù)》有什么數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值呢？“用字母表示數(shù)是建立數(shù)感與符號(hào)意識(shí)的重要過(guò)程，是學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一次飛躍；從數(shù)到代數(shù)是數(shù)學(xué)表征的一次飛躍，數(shù)對(duì)于它所代表的具體事物來(lái)說(shuō)是抽象的，而用字母表示數(shù)又是一次抽象?！?/p>

3.現(xiàn)實(shí)背景

小學(xué)生以具體形象思維為主向抽象邏輯思維為主過(guò)渡，而抽象邏輯思維在很大程度上依賴(lài)于感性經(jīng)驗(yàn)直接相聯(lián)系的，從上面的描述中可以看出數(shù)據(jù)符號(hào)是對(duì)生活中各種物體個(gè)數(shù)的抽象概括，而用字母表示數(shù)形成的代數(shù)式是對(duì)數(shù)據(jù)符號(hào)的再次抽象概括，這種“認(rèn)知的飛躍”與小學(xué)生的思維特點(diǎn)成為課堂教學(xué)的矛盾體。因而對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，從具體的情境中使學(xué)生感知字母表示數(shù)的含義，初步體驗(yàn)符號(hào)在數(shù)學(xué)中的作用（形式簡(jiǎn)潔、高度概括），進(jìn)而建立用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)模型具有一定的挑戰(zhàn)性。這種由算術(shù)思維邁向代數(shù)思維的歷史性跨越給一線(xiàn)老師的課堂教學(xué)帶來(lái)了更大的困惑，如下面的一位數(shù)學(xué)老師就遇到了這樣的尷尬局面。

在上《用字母表示數(shù)》這節(jié)課快結(jié)束時(shí)，老師讓學(xué)生唱“青蛙歌”，而學(xué)生的青蛙歌卻是：n只青蛙，n張嘴，n只眼睛，n條腿。

二、深入思考

1.在對(duì)比中感受字母表示數(shù)的概括性——符號(hào)初體驗(yàn)

情景回放：第一環(huán)節(jié)

老師呈現(xiàn)了CCTV、AHTV這些電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)。旨在說(shuō)明：可以用字母表示漢字；接著呈現(xiàn)撲克牌。旨在說(shuō)明：用字母可以表示數(shù)字。因?yàn)閷?duì)應(yīng)11，對(duì)應(yīng)12，對(duì)應(yīng)13。

思考：貌似情景創(chuàng)設(shè)來(lái)源于生活實(shí)際，但是11=J；12=Q；13=K，這些符號(hào)僅代表特定的數(shù)，字母與數(shù)之間存在一一“對(duì)等”的關(guān)系。這里J代替11，Q代替12，K代替13。用字母“表示”數(shù)的過(guò)程，不是字母“代替”數(shù)的過(guò)程，這個(gè)引入與字母表示數(shù)具有概括性是相悖的。反而增強(qiáng)了學(xué)生用字母表示數(shù)的隨意性，因而上述老師創(chuàng)設(shè)的情景是沒(méi)有價(jià)值的，未能抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，與字母表示不確定的數(shù)，變化的數(shù)，有著本然的區(qū)別。還需要強(qiáng)調(diào)的是老師在這里沒(méi)有說(shuō)明生活中的字母運(yùn)用和數(shù)學(xué)中一些單位的字母表示只是完整說(shuō)法的縮寫(xiě)。如：AHTV是（ANHUItelevision）的縮寫(xiě)，而其創(chuàng)始人是丟番圖。

情景回放：第二環(huán)節(jié)

師：一只青蛙，一張嘴。（讓全班同學(xué)接著說(shuō)）

生1：兩只青蛙，兩張嘴

生2：3只青蛙，3張嘴……（這樣如此下去，全班23人，一直說(shuō)到23只青蛙，23張嘴。）

師：若有a只青蛙，就有（ ）只嘴。

生3：a張嘴。

思考：看似學(xué)生對(duì)有具體的數(shù)過(guò)渡到用符號(hào)表示數(shù)實(shí)現(xiàn)了有效的銜接，但從后續(xù)的學(xué)習(xí)可以看出卻不以為然。在這個(gè)活動(dòng)情景中，老師直接給出a只青蛙，這種思維的代勞嚴(yán)重阻礙了學(xué)生創(chuàng)造能力的提高，即使答案出來(lái)了，學(xué)生也沒(méi)有真正意義上的理解，這個(gè)過(guò)程中事實(shí)上是學(xué)生根據(jù)具體數(shù)據(jù)進(jìn)行類(lèi)推得到的結(jié)果，這是不利于學(xué)生的思維充分想象的，我們需要這樣的引導(dǎo)：你能把全世界的青蛙都說(shuō)進(jìn)去嗎？或者你能用一句話(huà)，把這些永遠(yuǎn)說(shuō)不完的情況都“概括”進(jìn)去嗎？在數(shù)學(xué)中什么具有這樣的能力呢？自然產(chǎn)生了用字母表示數(shù)的必要性。這里老師還要引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考：a與a什么關(guān)系？讓學(xué)生體會(huì)同等條件下同樣的字母表示同一個(gè)數(shù)，這里表示青蛙的只數(shù)與青蛙嘴的個(gè)數(shù)是一樣。這是從個(gè)別上升到一般的抽象化過(guò)程。經(jīng)歷具體到抽象，理解從確定到可變。因而就本課而言應(yīng)該逼近學(xué)生讓他們體會(huì)用字母表示數(shù)的概括性。老師應(yīng)抓住這個(gè)場(chǎng)景作為依托，讓學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，并能夠理解與表述自己的數(shù)學(xué)思想，而不輕易帶過(guò)，需要老師利用問(wèn)題不斷地追問(wèn)，以探尋學(xué)生真切的認(rèn)知。

我們還可從北師大（四年級(jí)下冊(cè)85頁(yè)）的教材中可以找到例證：

如：將青蛙的只數(shù)與嘴的張數(shù)建構(gòu)一一“對(duì)應(yīng)”的關(guān)系；而且這里的n表示不確定的數(shù)，并且涵蓋所有的自然數(shù)，具有極大的概括性。

不難看出，教材是通過(guò)具體的實(shí)際問(wèn)題，然后改變具體的數(shù)量，進(jìn)而引出用字母表示其中的數(shù)，體會(huì)字母表示數(shù)的概括性。

可是，通過(guò)一、二環(huán)節(jié)的教學(xué)，老師沒(méi)有對(duì)用字母表示數(shù)的兩種不同方式進(jìn)行強(qiáng)烈而有效的對(duì)比，而將音節(jié)的縮寫(xiě)水平（創(chuàng)始人是丟番圖）與符號(hào)概括水平（創(chuàng)始人是韋達(dá)）的運(yùn)用混為一談，特別是字母的概括作用不能得到強(qiáng)烈的彰顯，思維留下的刻痕就非常淺顯。我們需要在對(duì)比中將“字母表示數(shù)”的新意（字母的概括作用）融入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中，實(shí)現(xiàn)無(wú)縫建構(gòu)，體會(huì)字母符號(hào)的新感覺(jué)——概括性。

2.由“數(shù)量”的關(guān)注到“關(guān)系”的思考——建立符號(hào)意識(shí)

情景回放：第三環(huán)節(jié)

師：你們今年11歲，老師今年39歲。老師比你們大28歲。這樣形成了：11+28=39，（老師板書(shū)）

師：那么當(dāng)你們12歲時(shí)，我的年齡是多少？

生1：板書(shū)12+28=40；

師：當(dāng)你們是13歲時(shí)，老師多大？

生2：板書(shū)：13+28=41

師：當(dāng)你們是14歲，老師多大？

生3：板書(shū)14+28=42

老師引導(dǎo)：當(dāng)你們是a歲時(shí)，老師是幾歲？endprint

生4：回答是a+b=c歲。

思考：具體情景能激活學(xué)生已有積淀的算術(shù)層面對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，支撐學(xué)生在代數(shù)層面對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。而學(xué)生的思維定式：列出算式一定要算出確定的結(jié)果。如果老師沒(méi)有把關(guān)注點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生從直觀表格上觀察找出規(guī)律，分析師生間年齡的數(shù)量關(guān)系上，那么就無(wú)法實(shí)現(xiàn)由數(shù)量到關(guān)系的過(guò)渡，更無(wú)法實(shí)現(xiàn)符號(hào)的進(jìn)一步抽象，這時(shí)，老師應(yīng)當(dāng)和孩子們一起列出表格如下圖：

引導(dǎo)學(xué)生觀察，并思考：在此過(guò)程中，哪些變了？哪些沒(méi)有變？（觀察數(shù)據(jù)變，而關(guān)系不變）在學(xué)生發(fā)現(xiàn)28是常量的情況下，在將學(xué)生思考引向深入，（1）當(dāng)你們a歲時(shí)老師應(yīng)該是多少歲？28+a。這里的字母a概括了學(xué)生的年齡。（2）老師a歲，你們的年齡是a-28（注意：這里建構(gòu)的是加的關(guān)系）這種逆向的思考進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。（3）為了凸顯未知數(shù)取值的范圍，可以引導(dǎo)學(xué)生思考這里的a可以是200嗎？為什么？（4）而更為深度的認(rèn)知是：用字母表示數(shù)不僅可以看出數(shù)量之間的關(guān)系，還可以表達(dá)一個(gè)結(jié)果；這種含有字母的式子既能看作一個(gè)過(guò)程，更能看作一個(gè)對(duì)象；是抽象性關(guān)系與確定性的統(tǒng)一。因而可以形成以下的關(guān)系圖：

我們也可從蘇教版（四年級(jí)下冊(cè)P106）中得到啟示。

不難看出，這里是將字母放在有序的數(shù)量關(guān)系中進(jìn)行引導(dǎo)。由具體的、確定的數(shù)向抽象的、不確定的數(shù)跨越。并且“（24+ ）人”表示用字母表示的式子可以代表一個(gè)結(jié)果。這種由具體式子的“類(lèi)推”向“關(guān)系”思維的跳躍需要老師站在較高的認(rèn)知平臺(tái)上抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，還需要老師搭建多元的“腳手架”，便于孩子們積極努力地實(shí)現(xiàn)由算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡。這種由固定值向非固定值的關(guān)注更需要老師做有效的引導(dǎo)，從而實(shí)現(xiàn)用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)思想的意識(shí)。

3.在數(shù)量關(guān)系中找規(guī)律建立模型——實(shí)現(xiàn)符號(hào)化

情景回放：第四環(huán)節(jié)

老師讓學(xué)生用小棒擺成三角形，然后交流根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)，師并板書(shū)：三角形的個(gè)數(shù) 小棒的根數(shù)。

此時(shí)老師引導(dǎo)：要擺a個(gè)三角形，需要多少根小棒？

思考：老師仍舊沒(méi)有給出直觀的規(guī)律表格，只是將個(gè)數(shù)與根數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)是“離散”的，更沒(méi)有展現(xiàn)過(guò)程，所以學(xué)生無(wú)法看出三角形個(gè)數(shù)與小棒的根數(shù)之間的內(nèi)在“關(guān)系”。

教師應(yīng)引導(dǎo)建立上述表格，并引領(lǐng)著學(xué)生觀察、思考：此表中什么變了？什么沒(méi)有變？（觀察數(shù)據(jù)變，而關(guān)系不變）即把關(guān)注點(diǎn)放在對(duì)數(shù)量關(guān)系的研究與思考上。當(dāng)需要擺無(wú)數(shù)個(gè)三角形時(shí)，需要多少根小棒？因?yàn)橛猩厦娴乃伎冀?jīng)驗(yàn)應(yīng)該會(huì)自覺(jué)利用符號(hào)進(jìn)行交流。需要3n根小棒，并讓孩子們說(shuō)說(shuō)3n的意義，這里3n不僅表示所需的小棒數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍關(guān)系，還能再現(xiàn)搭n個(gè)三角形所需的小棒為3n根。讓學(xué)生再次感受字母可以概括所有三角形；而用一個(gè)含有一個(gè)字母的式子可以概括所有需要小棒的根數(shù)。而此處建構(gòu)的是倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)體會(huì)用字母表示數(shù)的作用——簡(jiǎn)潔性、概括性。

因而，從“過(guò)程層面”到“關(guān)系層面”的過(guò)渡，是實(shí)現(xiàn)具體到抽象的載體。學(xué)生應(yīng)該在這個(gè)環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)符號(hào)化陳述能力的進(jìn)一步發(fā)展。體驗(yàn)用符號(hào)表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的必要性和優(yōu)越性。正因?yàn)槿狈蠋煂?duì)“假設(shè)字母要大膽，表示關(guān)系要小心”有意注意的引導(dǎo)；正因?yàn)闆](méi)有直觀建立這樣的等量關(guān)系；正因?yàn)槿鄙佟鞍岩恢弊兓牧坑米帜副硎荆蛔兊牧空諏?xiě)”這種方法的指導(dǎo)。所以學(xué)生在第五環(huán)節(jié)出現(xiàn)了尷尬的境地，產(chǎn)生了前文所述的“殘蛙”情景：

生：唱“青蛙歌”： 1只青蛙，1張嘴，2只眼睛，4條退。

2只青蛙，2張嘴，4只眼睛，8條退

3只青蛙，3張嘴，6只眼睛，12條退

師啟發(fā)：若有n只青蛙，（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條退。

于是學(xué)生唱出：n只青蛙，n張嘴，n只眼睛，n條退。

老師咨詢(xún)學(xué)生為什么都是n呢？

學(xué)生的回答是：用字母可以表示任何數(shù)。

啟示：用符號(hào)來(lái)表示具體情景中隱含的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，需要進(jìn)行思維分析，因而，數(shù)量關(guān)系的分析是建構(gòu)代數(shù)思維的載體，沒(méi)有分析思維的出現(xiàn)就沒(méi)有代數(shù)思維的真正建立?！坝米帜副硎緮?shù)”不是代數(shù)思維的惟一表征。沒(méi)有分析性思維則無(wú)法建構(gòu)用字母表示數(shù)的真正內(nèi)涵。

“用字母表示數(shù)”是一個(gè)動(dòng)態(tài)形成的過(guò)程，這節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生弄清兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，可以用一個(gè)字母表示其中一個(gè)數(shù)量，用含有字母的式子表示另一個(gè)數(shù)量。而數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律是連接這兩個(gè)數(shù)量的紐帶。所以我們必須借助現(xiàn)實(shí)情景和簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的分析，理解用字母表示數(shù)的意義，依托具體數(shù)量感受字母的概括性—抓住規(guī)律—找準(zhǔn)關(guān)系—建立模型，這種由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型的建立正是縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。而在此過(guò)程中感受字母的概括性—抓住規(guī)律—找準(zhǔn)關(guān)系則是實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維抽象化發(fā)展不可逾越的環(huán)節(jié)。雖然這個(gè)過(guò)程是艱難的，但作為老師應(yīng)該有這個(gè)意識(shí)和思想為孩子的思維進(jìn)一步發(fā)展架起橋梁，使自己的數(shù)學(xué)課堂飛得更高一些。

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作者簡(jiǎn)介：吳緒益，男，1978年出生，安徽霍山人，下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學(xué)高級(jí)教師，本科，六安市第三屆教壇新星（2008）、六安市第三屆骨干教師（2014），研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

編輯 薛直艷endprint