《用字母表示數(shù)》課堂實(shí)錄及點(diǎn)評(píng)

胡同祥　張藝蘭

一、情境引入

活動(dòng)一：

（出示PPT）《數(shù)青蛙兒歌》，一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……（由學(xué)生往下接）。

師：我們把這首歌歌詞單獨(dú)列出來(lái)，觀察這首歌詞里有沒(méi)有一定的規(guī)律呢？

生1：眼睛是青蛙只數(shù)的兩倍，腿是青蛙只數(shù)的四倍。

師：請(qǐng)大家想一下，按照這樣接下去我們能把這首歌詞補(bǔ)完嗎？能唱完嗎？

生2：不能。

師：那么有沒(méi)有辦法讓它簡(jiǎn)潔一些？

生（齊聲）：可以用字母表示數(shù)（引出課題）。

師：現(xiàn)在假設(shè)用n來(lái)表示青蛙的數(shù)量，你來(lái)表示下？

生3：n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿。

師：請(qǐng)大家想一下，用字母表示數(shù)有什么樣的好處？

生4：字母可以代替任何數(shù)，具有廣泛性和普通性。

師：好，剛才這個(gè)同學(xué)說(shuō)到字母具有廣泛性和普通性，那么字母n能代表任何數(shù)嗎？還有沒(méi)有作用？

生（齊聲）：可以找到規(guī)律。

師：很好！也就是說(shuō)，用字母表示數(shù)可以體現(xiàn)這道題的規(guī)律，那既然用字母表示數(shù)有那么多好處，我們就來(lái)學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：老師從學(xué)生熟悉的兒歌入手，引入課題，這樣，讓學(xué)生在新知的接受上感到特別適合自己的生活實(shí)際，同時(shí)為數(shù)學(xué)化提供了素材。通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀情景題，加上老師追問(wèn)，在追問(wèn)中自然生成代數(shù)式的概念。

二、講授新課

活動(dòng)二：

師：回想一下，小學(xué)時(shí)候用字母表示數(shù)學(xué)過(guò)哪些知識(shí)點(diǎn)？

生5：加法交換律a+b=b+a。

師：還有沒(méi)有其他運(yùn)算律？

生6：加法結(jié)合律。

生7：乘法交換律，乘法結(jié)合律。

師：還有乘法分配律，那請(qǐng)大家回想一下還有沒(méi)有？

生8：還有圖形的計(jì)算公式。

師：那圖形有什么計(jì)算公式呢？

生9：面積公式，周長(zhǎng)公式。

師：那我們一起來(lái)看下有哪些？

（ppt展示）（三角形，正方形，長(zhǎng)方形，平行四邊形，梯形，并用字母來(lái)表示面積）

生10：S=ah/2……（請(qǐng)學(xué)生回答如何用字母表示面積公式）。

師：用文字語(yǔ)言表示？

生11：三角形的面積等于底乘高除以2

……

師：用字母表示數(shù)，用字母表示面積，這些都屬于數(shù)學(xué)三大語(yǔ)言里的哪一種？

生（齊聲）：符號(hào)語(yǔ)言

師：用字母表示數(shù)，實(shí)際就是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的基礎(chǔ)，我們更應(yīng)該把它學(xué)會(huì)學(xué)懂。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)設(shè)計(jì)對(duì)小學(xué)知識(shí)的回顧，喚醒學(xué)生對(duì)小學(xué)學(xué)過(guò)的舊知的回憶，讓學(xué)生在回顧中深刻體會(huì)自己主動(dòng)選擇字母表示數(shù)的方法，這是符號(hào)意識(shí)自覺(jué)化的進(jìn)一步提升。

三、鞏固訓(xùn)練

活動(dòng)三：

例題1：為了測(cè)試一種皮球的彈跳高度與下落高度之間的關(guān)系，通過(guò)試驗(yàn)，得到下列一組數(shù)據(jù)（單位：厘米）：

請(qǐng)觀察：

①?gòu)椘鸶叨扰c之下落高度間存在著什么樣的規(guī)律？

②如果下落的高度為bcm，彈起的高度為acm，請(qǐng)問(wèn)a和b之間有什么樣的關(guān)系？

師：通過(guò)這個(gè)圖表發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生12：下落高度是彈起高度的兩倍。

師：換句說(shuō)法？

生（齊聲）：彈起高度是下落高度的二分之一倍。

師：非常好！剛才同學(xué)們用文字語(yǔ)言描述了圖表的規(guī)律，你能用字母表示它的規(guī)律嗎？

生13：設(shè)彈起高度為n，那么下落高度就為2n。

師：如果用式子表示的話，如果用式子來(lái)表示，我們能說(shuō)n=2n嗎？顯然不能，那么這個(gè)地方我們嘗試用兩個(gè)字母表示？假設(shè)下落高度是b，彈起高度是a的話，你能否表示出a，b之間的關(guān)系？

生14：b=a/2（學(xué)生回答錯(cuò)誤）。

師：注意下落高度是b，彈起高度是a，請(qǐng)看文字語(yǔ)言是誰(shuí)是誰(shuí)的一半？

生（齊聲）：彈起高度是下落高度的一半

師：所以應(yīng)該是a=b/2，如果根據(jù)你說(shuō)的，這個(gè)符號(hào)語(yǔ)言寫成b=a/2，請(qǐng)問(wèn)文字語(yǔ)言怎么表述？

生15：彈起高度是下落高度的二倍

師：非常好！請(qǐng)大家看，數(shù)學(xué)中的三大語(yǔ)言都在這道題里面體現(xiàn)了，而且也實(shí)現(xiàn)了一些基本的運(yùn)算。

活動(dòng)四：

師：出示PPT（如圖1）

例題2：正方形①的面積為_(kāi)_____；長(zhǎng)方形②的面積為_(kāi)___________于是整個(gè)圖形的面積為_(kāi)______；又因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e：________；長(zhǎng)方形③的面積為_(kāi)______；正方形④的面積為_(kāi)________；于是，整個(gè)圖形的面積為_(kāi)________ 又因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為_(kāi)________；所以可以得到等式_________。

師：怎么用字母來(lái)表示①的面積？

生16：a的平方。

師：怎么用字母表述②的面積？

生17：ab。

師：自己完成其他兩個(gè)沒(méi)有填完的圖形的面積。

生：（自己填圖）。

師：現(xiàn)在再來(lái)看，這四個(gè)圖形組成的是一個(gè)什么圖形？

生（齊聲）：正方形。

師：那這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？

生17：a+b。

師：所以我們用整體的眼光來(lái)看他這個(gè)圖形的面積還可以用什么式子來(lái)表示？

生（齊聲）：a加b的和的平方。

師：大家想，這道題的面積我們用了兩種方式表示，一種是邊長(zhǎng)的平方，一種是把它們分成四塊，加起來(lái)的面積，那么都是它的面積，我們可以得到一個(gè)什么樣的數(shù)量關(guān)系？

生（齊聲）：兩個(gè)式子相等。

師：用這個(gè)圖形看起來(lái)更加的直觀，更加形象，因此這是我們之前講到的數(shù)形結(jié)合思想。剛才我們從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示規(guī)律，下面我們來(lái)看一下從式子中來(lái)發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)圖表的理解和翻譯，將圖表語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文本語(yǔ)言，同時(shí)會(huì)翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)一步促成符號(hào)意識(shí)的升華，同時(shí)經(jīng)歷“替代”的過(guò)程。

活動(dòng)五：

出示PPT：

例題3：

我們知道：

23=2×10+3

865=8×102+6×10+5

5948=___×103+___×102+___×10+___

若某三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則此三位數(shù)可表示為_(kāi)_______。

（小組討論）

師：我請(qǐng)一位同學(xué)給我們說(shuō)一下空格上應(yīng)該填什么？

生18：第一個(gè)空填5，第二個(gè)空填9，第三個(gè)空填8，第四個(gè)空填4

師：非常好，她把這個(gè)數(shù)字按照上面的規(guī)律填出來(lái)了，她既然填對(duì)了，就說(shuō)明她在題中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。那么你們能不能根據(jù)這個(gè)規(guī)律填出其他的數(shù)字呢？

生（齊聲）：能

師：那么請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)一位數(shù)字，另外一位同學(xué)填出來(lái)。

生19：1354

生20：1乘以10的三次方加上3乘以10的二次方加上5乘以10，再加4

師：現(xiàn)在我們用字母來(lái)解釋下這個(gè)怎么填。假設(shè)一個(gè)三位數(shù)個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)為b，百位數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為？哪位同學(xué)能非常熟練的填出來(lái)？

（學(xué)生討論）

生（齊聲）：c乘以10的二次方加b乘以10加a

師：好，他用字母表示了這個(gè)數(shù)的分解法。

活動(dòng)六：

師：出示PPT

例題4：

請(qǐng)觀察、比較、猜想下列個(gè)算式的規(guī)律：

[1+2=2×（2+1）2=3]

[1+2+3=3×（3+1）2=6]

[1+2+3+4=4×（4+1）2=10]

[1+2+3+4+5=________=________]

……

1+2+3+…+100=________=________

一般地，有：1+2+3+…+n=________

（請(qǐng)學(xué)生討論，思考）

師：我們現(xiàn)在問(wèn)一下同學(xué)們，從這些符號(hào)，這些式子當(dāng)中，你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)規(guī)律？那么請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)說(shuō)一下。請(qǐng)觀察第2個(gè)式子，這里的3表示什么意思？

生21：表示末項(xiàng)

師：這里的1表示什么意思？

生22：首項(xiàng)

師：那你明白每一個(gè)數(shù)字代表什么意思，你用文字語(yǔ)言敘述一下這個(gè)式子？

生（齊聲）：項(xiàng)數(shù)乘以首項(xiàng)加末項(xiàng)的和除以2

師：既然發(fā)現(xiàn)規(guī)律了，那下面的空該怎么填？

（請(qǐng)同學(xué)上黑板填寫，填寫正確）

師：我們可不可以用簡(jiǎn)單的方法把它表述出來(lái)？

生（齊聲）：1加2加3一直加到n，等于n乘以n加1的和除以2

師：像這樣表示它具有什么性？

生（齊聲）：具有代表性

師：所以就從特殊的例子，轉(zhuǎn)化成了具有普遍性一般性的字母表示這個(gè)式子，這個(gè)個(gè)是我們數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的思想，就是特殊到一般的思想。

（給出變式2+4+6+.......+2n=______）

師：請(qǐng)大家想一想這些空格應(yīng)該怎么填？請(qǐng)?jiān)诰毩?xí)本上寫出來(lái)。

生（齊聲）：二分之n乘以2n加2的和

師：請(qǐng)問(wèn)你這個(gè)式子的得來(lái)是什么理由？

生23：先發(fā)現(xiàn)它們的項(xiàng)數(shù)有n個(gè)，然后在用它們的末項(xiàng)加首項(xiàng)除以2

師：也就是我們剛才發(fā)現(xiàn)的那個(gè)公式是嗎？

生（齊聲）：是

師：還有沒(méi)有其他方法？

生（齊聲）：方法就是，先將2+4+6......，先把它全部除以2，變成1+2+3+4……

師：我們可不可以簡(jiǎn)單來(lái)寫2（1+2+3+4+.......n），那么變成這個(gè)式子的前面我們可以寫成什么？

生（齊聲）：2×1+2×2+2×3+2×4+……+2×n

師：現(xiàn)在又怎么辦？

生24：把2提出來(lái)？

師：用到什么知識(shí)？

生25：乘法分配律？

師：是乘法分配律，還是乘法分配律的逆運(yùn)算？

生26：逆運(yùn)算

師：很好，我們把2提出來(lái)寫成2（1+2+3+4+……n），因此下面就變成了什么形式？

生（齊聲）：二乘以2分之n乘n加1的和

師：所以結(jié)果是什么？

生（齊聲）：就等于n（n+1）

師：如果是3+6+9+12+……+3n=，那么就可以直接等于這個(gè)公式的幾倍？

生（齊聲）：3倍

活動(dòng)七：

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)式子的分析和理解，通過(guò)師生的“經(jīng)歷”，讓學(xué)生感受歸納思想，體味從特殊到一般的思想，同時(shí)感受“抽象”的本質(zhì)，這種本質(zhì)不僅是字母“代替”文字，“代替”數(shù)字的過(guò)程，而且更是具體數(shù)字符號(hào)化和形式化的抽象過(guò)程，更是靜態(tài)數(shù)字一般化，動(dòng)態(tài)化的過(guò)程。它是人類認(rèn)識(shí)從算術(shù)到代數(shù)的一次飛躍。這時(shí)，字母既可以表示已知量，又可以表示未知量，還可以表示這個(gè)數(shù)量在不斷的運(yùn)動(dòng)變化中。

四、小結(jié)與感悟

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有哪些收獲和感悟呢？

生：（自由談）

總評(píng)：本課例是一節(jié)思想方法教學(xué)課，圍繞核心概念（符號(hào)意識(shí)）的培養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)流程經(jīng)歷了四個(gè)環(huán)節(jié)：（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知；（2）聯(lián)系嘗試，體驗(yàn)新知；（3）合作交流，加深理解；（4）自主探究，拓展延伸。整個(gè)教學(xué)過(guò)程程序清楚，脈絡(luò)清晰。通過(guò)對(duì)舊知的激活，找到進(jìn)一步探討“用字母表示數(shù)”這一新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。在觀察、試驗(yàn)、類比、推斷等活動(dòng)中，進(jìn)一步提升了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。在應(yīng)用中，讓學(xué)生深刻地體會(huì)“用字母表示數(shù)”的簡(jiǎn)潔性和優(yōu)越性。在小結(jié)、反思中梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體會(huì)數(shù)學(xué)思考的過(guò)程和方法，幫助學(xué)生更好地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)、認(rèn)知建構(gòu)和意義建構(gòu)，梳理了符號(hào)意識(shí)，發(fā)展了抽象思維。具體表現(xiàn)在以下幾方面的特點(diǎn)：

（一）重視情境建構(gòu)，充分體現(xiàn)了意義建構(gòu)的重要作用

上課伊始，從學(xué)生熟悉的兒歌入手，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，在情境中輕松的引入課題。這樣一種數(shù)學(xué)化的方式，教學(xué)策略實(shí)施顯得很自然，學(xué)生感覺(jué)到很親切，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生們?cè)敢膺M(jìn)一步進(jìn)行探討和研究。這種情境建構(gòu)的方式，為學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)“的意義建構(gòu)起到了促進(jìn)作用。

（二）重視合作學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)了學(xué)習(xí)共同體的作用和力量

在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施過(guò)程中，充分展示了以“學(xué)“為中心的課堂特征：教學(xué)行為要從“以教為中心”向“以學(xué)為中心”轉(zhuǎn)移，從以“學(xué)科邏輯體系”為中心轉(zhuǎn)向“以學(xué)生發(fā)展為本”，從關(guān)注“教得完整”“學(xué)得完整”走向“發(fā)展得完整”，教學(xué)要滿足學(xué)生個(gè)性的發(fā)展需要，應(yīng)從因材施教走向因需施教。教學(xué)是指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)獲得知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法和技能，形成可持續(xù)發(fā)展的有效本領(lǐng)。具體表現(xiàn)在：首先，學(xué)生嘗試自主獨(dú)立學(xué)習(xí)，在獨(dú)立學(xué)習(xí)有困難的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生閱讀、思考和探究，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀、思考、探究的方法，養(yǎng)成會(huì)閱讀、善思考、愿探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣。其次，在學(xué)生獨(dú)立閱讀、思考、嘗試問(wèn)題等解決等獲得感受、想法時(shí)，充分挖掘?qū)W生的合作共同體的學(xué)習(xí)力量，采取組內(nèi)合作，再在全班交流的分享式學(xué)習(xí)模式。教師采取巡視各小組，發(fā)現(xiàn)好的事例、典型的錯(cuò)誤、存在的缺憾等，在全班交流時(shí)，對(duì)各組中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析，讓不同思路、不同的方法加以展示和碰撞，達(dá)成經(jīng)驗(yàn)共享的效果。

（三）重視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，做到了認(rèn)識(shí)問(wèn)題與問(wèn)題解決的完美結(jié)合

學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)接觸了用字母表示數(shù)，用字母表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知量（簡(jiǎn)易方程），運(yùn)算律，圖形的周長(zhǎng)、面積（體積）公式等，但這些都留在初步的符號(hào)意識(shí)，有一點(diǎn)用字母“代替”數(shù)的意識(shí)。新課標(biāo)在7—9年級(jí)學(xué)生提出建立一個(gè)核心概念的要求，就是建立符號(hào)意識(shí)。因此，在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)情景引入，對(duì)學(xué)生學(xué)過(guò)的一些知識(shí)進(jìn)行回顧。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生觀察圖表，分析量與量之間的關(guān)系。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)中的“三語(yǔ)言“（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言）之間的轉(zhuǎn)化的反復(fù)訓(xùn)練，充分挖掘?qū)W生認(rèn)知能力，進(jìn)行了自然的過(guò)渡，在表達(dá)中感悟“用字母表示數(shù)”的簡(jiǎn)潔性。在引導(dǎo)學(xué)生自我小結(jié)、試驗(yàn)、反思的過(guò)程中，經(jīng)歷用含字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系（或規(guī)律）的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)用字母表示數(shù)的優(yōu)越性，提升用字母表示數(shù)的自覺(jué)性。這一過(guò)程實(shí)際上就是用字母表示數(shù)抽象程度升華的過(guò)程。

（四）重視再現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)的實(shí)踐價(jià)值

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，表現(xiàn)在：除了是數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)以外，更關(guān)鍵的是數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)。在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)教師有效的引路和學(xué)生自覺(jué)的找路，在師生雙邊活動(dòng)的基礎(chǔ)上，學(xué)生在活動(dòng)中探索用字母表示數(shù)的基本知識(shí)，同時(shí)也從中體悟歸納、猜想、驗(yàn)證的數(shù)學(xué)思想和方法，這樣一來(lái)，始終堅(jiān)守?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了知識(shí)的掌握，更重要的是感悟其中的思想和方法，為今后的學(xué)習(xí)做了一些積累。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)才得到具體的落實(shí)。

（責(zé)任編輯：張華偉）