基于一道中考填空題另解的收獲

●李玉榮 (金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

基于一道中考填空題另解的收獲

●李玉榮 (金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

《中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版)》2014年第11期刊載了潘學(xué)軍老師的文章“以問題為導(dǎo)向的個(gè)別答疑探究”.該文對(duì)一道幾何題(2012年廣東省深圳市數(shù)學(xué)中考題)的答疑實(shí)錄十分詳實(shí)，讀來受益匪淺.同時(shí)，筆者也饒有興趣地研究了此題的解法，得到一個(gè)更簡單的實(shí)用解法，既開拓了學(xué)生的解題思路，也可以讓學(xué)生跳出題海，體驗(yàn)波利亞在《怎樣解題》中告誡的“你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎”，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效能.

圖1

圖2

題目 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，以AB為一邊向外作正方形ABDE，聯(lián)結(jié)AD，BE交于點(diǎn)，求BC的長.

解 如圖2，將△OBC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAF，則

因?yàn)?∠ACB+∠AOB=180°，

所以 ∠OAC+∠CBO=180°，

從而 ∠OAC+∠FAO=180°，

于是 BC=AF=12－5=7.

例1 1)如圖3，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點(diǎn)G，使DG=BE，聯(lián)結(jié)EF，AG.求證:EF=FG.

圖3

圖4

2)如圖4，等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°.若BM=1，CN=3，求MN的長.

(2014年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題)

圖5

1)略;

2)解 如圖5，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，聯(lián)結(jié)EN，則

BM=CE，AM=AE，

∠BAM=∠CAE，

∠ACE=∠ABC=45°，

從而 ∠NCE=∠ACB+∠ACE=90°，

于是 EN2=EC2+NC2.

又因?yàn)椤螧AC=90°，∠MAN=45°，所以

∠BAM+∠CAN=45°.

于是 ∠EAN=∠MAN=45°.

在△MAN和△EAN中，由 AM=AE，∠MAN=

∠EAN，AN=AN，知

△MAN≌△EAN(SAS)，

得MN=EN，

從而 MN2=BM2+NC2，

評(píng)注 這是由一道經(jīng)典幾何題改編的中考題，注意到∠BAC=90°，AB=AC，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中在一個(gè)直角三角形中，問題得解.

例2 如圖6，在四邊形 ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為_______.

(2014年湖北省武漢市數(shù)學(xué)中考試題)

圖6

圖7

解 如圖7，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，聯(lián)結(jié)DD'，則BD=CD'，AD'=AD=4，∠DAD'=∠CAB=90°，從而

∠ADD'=45°，

評(píng)注 此題所求線段BD不在直角三角形中，無法直接求解，注意到∠BAC=90°，AB=AC，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中在一個(gè)直角三角形中，問題得解.

圖8

圖9

例3 已知:如圖8，在正方形ABCD中，BM，DN分別平分正方形的2個(gè)外角，且滿足∠MAN= 45°，聯(lián)結(jié)MN.

1)若正方形的邊長為a，求BM·DN的值;

2)若以BM，DN，MN為3條邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結(jié)論.

(2014年山東省菏澤市數(shù)學(xué)中考試題)

1)略;

2)證明 以線段BM，DN和MN為3條邊圍成的三角形是直角三角形.下證明之.

如圖9，將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，聯(lián)結(jié)MF，則∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND，從而

∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD－∠MAN=45°，

于是 ∠MAF=∠MAN.

又因?yàn)?AM=AM，

所以 △AMF≌△AMN，

從而 MF=MN，

可得 ∠MBF=(∠AFB+∠1)+45°= (∠AND+∠3)+45°=90°.

因此在Rt△BMF中，BM2+BF2=FM2，從而 BM2+DN2=MN2，

于是以線段BM，DN和MN為3條邊圍成的三角形是直角三角形.

評(píng)注 猜想三角形的形狀，需將線段BM，DN，MN“移植”到一個(gè)三角形中，注意到∠BAD=90°，AB=AD，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中在一個(gè)直角三角形中，問題得解.

(2014年重慶市數(shù)學(xué)中考試題)

解 如圖10，聯(lián)結(jié)CG，易證

圖10

△EBC≌△GDC(SAS)，可得△ECG為等腰直角三角形.又CF⊥EG，得

CH=BH=GH.

將△HEB繞點(diǎn) H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△HCM，又

由△GFH∽△GEA，得

評(píng)注 此題難度很大，如何使用條件BH=8是關(guān)鍵，在證明EH=CH后，通過旋轉(zhuǎn)使分散的條件集中到一個(gè)直角三角形中，問題得解.

習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生“做一題”，意在“會(huì)一類”，最終是“通一片”，也就是獲得通法通解.通法通解是學(xué)生認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中不可缺少的一部分，它生成于學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用過程，對(duì)學(xué)生知識(shí)的遷移和能力的提升非常關(guān)鍵.解題不能只重結(jié)果——把思維僅僅停留在問題的解決上，要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生悟出通性、通法，通過題目的變式、題組的甑選，將零散的問題恰當(dāng)?shù)亟M合，探究知識(shí)之間的聯(lián)系，提煉、積累解題的方法，并努力尋求最佳的解法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在正遷移上得到新的發(fā)展.

從原問題的另解我們找到了一種方法——“旋轉(zhuǎn)法”，再通過4道中考題解法的探究，旨在讓學(xué)生知道利用圖形的旋轉(zhuǎn)是解決正方形(或等腰直角三角形)問題的通性、通法.旋轉(zhuǎn)法就是在圖形具有“公共端點(diǎn)的相等線段且其夾角為特殊角”的特征時(shí)，可以把圖形或圖形的一部分繞公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的一種輔助線的方法:1)旋轉(zhuǎn)變換的實(shí)施條件——共端點(diǎn)(旋轉(zhuǎn)中心)、等線段(確保移動(dòng)一邊能與另一邊重合)、等線段共端點(diǎn)的2條邊的夾角為特殊角(旋轉(zhuǎn)角，一般為45°，60°，90°);2)旋轉(zhuǎn)變換的實(shí)施對(duì)象——將已知的2條等線段分別所在的現(xiàn)有三角形(2條等線段所組成的三角形除外)、或?qū)⒁阎?條線段分別與第3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形之中的一個(gè)三角形先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并確保旋轉(zhuǎn)前后的2個(gè)三角形中的已知等線段互相重合;3)旋轉(zhuǎn)變換的實(shí)施功效——由于旋轉(zhuǎn)前后的2個(gè)三角形重合、全等，這為邊、角的等量代換轉(zhuǎn)移位置提供了方法，同時(shí)為旋轉(zhuǎn)、聯(lián)結(jié)之后的全等證明提供了思路，最終為解決問題創(chuàng)造了一個(gè)關(guān)鍵條件.

綜合性幾何題的困難主要集中在2個(gè)方面:一是怎樣作輔助線;二是怎樣探索證題思路.而旋轉(zhuǎn)變換的思想方法就能較好地解決這2個(gè)問題.旋轉(zhuǎn)與之前的平移、軸對(duì)稱相比，在發(fā)展學(xué)生空間想象能力、學(xué)生幾何直觀能力等方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢.此外，從教材到相應(yīng)的教師教學(xué)用書，并沒有真正體現(xiàn)出“旋轉(zhuǎn)法”應(yīng)有的功能，導(dǎo)致學(xué)生缺失從“旋轉(zhuǎn)法”的視角去分析、思考幾何綜合題的意識(shí).因此，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)、學(xué)透“旋轉(zhuǎn)法”，并能自覺地嘗試優(yōu)先從“旋轉(zhuǎn)法”的視角去分析、思考幾何綜合題，進(jìn)而提高解決幾何綜合題的能力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)成為教師的自覺行動(dòng)!

［1］ 潘學(xué)軍.以問題為導(dǎo)向的個(gè)別答疑探究［J］.中國數(shù)學(xué)教育:初中版，2014(11):18-22.

［2］ 李曉華.對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)問題的探究與思考［J］.中國數(shù)學(xué)教育:初中版，2010(9):23-24.