合 理 過(guò) 渡 自 然 生 成
——“對(duì)數(shù)的概念”之教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

●崔志榮 (安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

合 理 過(guò) 渡 自 然 生 成
——“對(duì)數(shù)的概念”之教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

●崔志榮 (安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

1 內(nèi)容分析

“對(duì)數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，它在銀行貸款利息、社會(huì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、工程技術(shù)、天文學(xué)等方面的計(jì)算，都有廣泛的應(yīng)用.它的發(fā)明縮短了人們的計(jì)算時(shí)間，對(duì)人們研究科學(xué)、了解自然起了重大作用.

“對(duì)數(shù)的概念”是蘇教版必修1第3章“對(duì)數(shù)函數(shù)”的第1課時(shí)，是繼指數(shù)函數(shù)之后學(xué)習(xí)的一類(lèi)新運(yùn)算.讓學(xué)生建立好對(duì)數(shù)的概念并深刻理解，是后續(xù)熟練掌握“對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”的保障，是理解并靈活運(yùn)用“對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的前提.

2 教學(xué)分析

“對(duì)數(shù)的概念”的教學(xué)，重點(diǎn)是一個(gè)新概念的生成教學(xué).教材上已經(jīng)給出對(duì)數(shù)的概念，很多學(xué)生必然事先預(yù)習(xí)，形成定勢(shì)思維，如何引導(dǎo)學(xué)生回歸探究，而非生硬接受，是教學(xué)的一大難點(diǎn).

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是深刻理解對(duì)數(shù)的概念，如果概念的探究教學(xué)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，那么會(huì)影響概念反饋理解的時(shí)間，學(xué)生就不能熟練得出一些簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)的值.因此，合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，做到探究與反饋時(shí)間的平衡，是對(duì)數(shù)概念教學(xué)的又一個(gè)關(guān)注點(diǎn).

基于以上2點(diǎn)分析，筆者對(duì)以往的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了改進(jìn)，重新設(shè)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，并已在所教班級(jí)試教，自我感覺(jué)效果不錯(cuò)，故把本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程、設(shè)計(jì)意圖、教學(xué)反思等整理成文，供讀者在教學(xué)中研討.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 問(wèn)題情境

題目 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的a倍.設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，請(qǐng)寫(xiě)出這種物質(zhì)的剩留量N隨時(shí)間b的變化關(guān)系式［1］.

學(xué)生容易得出ab=N(其中a＞0).

設(shè)計(jì)意圖 該問(wèn)題與教材上的例題有所不同:一是幫學(xué)生設(shè)出相關(guān)未知數(shù)(物質(zhì)的初質(zhì)量、剩留量、時(shí)間)，目的是節(jié)約時(shí)間，讓學(xué)生迅速列出關(guān)系式;二是將具體數(shù)值84%改為字母a，為的是過(guò)渡到下面教學(xué)設(shè)計(jì)的3個(gè)問(wèn)題，即在a，b，N中，已知2個(gè)量求另一個(gè)量.

3.2 合理過(guò)渡，自然生成

問(wèn)題1 在ab=N(其中a＞0)中，已知a，b，求N.

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生不難理解，若b為整數(shù)，則是乘方運(yùn)算的理解;若b為分?jǐn)?shù)，則是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)換(在指數(shù)函數(shù)部分已經(jīng)學(xué)習(xí)).

問(wèn)題2 在ab=N(其中a＞0)中，已知b，N，求a.

師:誰(shuí)能解決問(wèn)題2?

生2:當(dāng)b=0時(shí)不能這么做，要單獨(dú)考慮，當(dāng)b=0時(shí)，N=1，此時(shí)a＞0且a≠1.

師:很好!生1分析出問(wèn)題2的處理方法，生2又指出其漏洞.需要提醒大家注意的是:如果沒(méi)有條件a＞0，那么生1的方法還有點(diǎn)問(wèn)題，比如x2=N.

生4:x2=N，即x是N的平方根，因?yàn)镹＞0，N有互為相反數(shù)的2個(gè)平方根是N的算術(shù)平方根.

師:不錯(cuò)!不過(guò)，能不能換個(gè)角度理解?

(學(xué)生沉默約1分鐘.)

生5:利用函數(shù)f(x)=x2的圖像，方程的根是函數(shù)值為正數(shù)N時(shí)，自變量x的取值(教師在黑板上作圖)，因此，只需考察函數(shù)f(x)=x2與直線(xiàn)y= N的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然2個(gè)函數(shù)有2個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的交點(diǎn)，把y軸右邊的那個(gè)正解規(guī)定成

師:我覺(jué)得生5的解釋有道理，對(duì)于方程實(shí)數(shù)根的研究，可以把方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的圖像研究方程的實(shí)數(shù)根，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合.由函數(shù)的圖像可知，方程的解取決于正數(shù)N的值，數(shù)學(xué)家在表示這個(gè)正數(shù)解的時(shí)候，就用符號(hào)與正數(shù)N配合表示成一個(gè)新的實(shí)數(shù).請(qǐng)大家再理解一下這個(gè)數(shù)(停頓).

師:另外，在指數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)指出，對(duì)于ab=N，通常只研究當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)的情況，此時(shí)N＞0.接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們思考問(wèn)題3.

問(wèn)題3 在ab=N(其中a＞0且a≠1)中，已知a，N，求b.

生6:可以用生5的函數(shù)方法處理.

師:請(qǐng)具體闡述.

生6:把b看成x，問(wèn)題3即是解方程ax=N (其中a是大于0且不等于1的常數(shù)，N是大于0的常數(shù))，該方程的根，即是指數(shù)函數(shù)y=ax與函數(shù)y=N交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師:不錯(cuò)!同學(xué)們畫(huà)圖看看方程ax=N的根有什么特點(diǎn)?

生7:不管0＜a＜1還是a＞1，x總有唯一的解.

師:為什么?

生7:因?yàn)闊o(wú)論是0＜a＜1還是a＞1，指數(shù)函數(shù)y=ax都是單調(diào)函數(shù)，它的值域都是(0，+∞)，又N＞0，所以它與水平直線(xiàn)y=N有且只有1個(gè)交點(diǎn).

教師投影函數(shù)圖像(如圖1與圖2所示).

圖1

圖2

師:很好!方程ax=N確實(shí)存在唯一解，但這個(gè)解到底是多少呢?怎樣把它表示出來(lái)呢?

生8:這個(gè)解應(yīng)用實(shí)數(shù)a，N表示，但我不知道怎么表示.

(說(shuō)明:有不少已預(yù)習(xí)的學(xué)生在下面議論表示方法，學(xué)生8沒(méi)有預(yù)習(xí)，不預(yù)習(xí)的課堂教學(xué)效果也精彩［2］.)

師:先不談怎么表示，為什么能用實(shí)數(shù)a，N表示?

生8:剛才已經(jīng)分析:方程的解對(duì)應(yīng)著函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)2個(gè)函數(shù)確定，交點(diǎn)的位置也就隨之確定，比如若a=2，N=3，則解x就是指數(shù)函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，x就必然與2，3相關(guān).

師:有道理!怎樣表示這個(gè)實(shí)數(shù)解呢?我們可以把這個(gè)解寫(xiě)成logaN，這就是我們本節(jié)課要研究的“對(duì)數(shù)”.

(接著是對(duì)數(shù)概念的描述、板書(shū)、理解，到此，總用時(shí)約20分鐘.)

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題1的提出，體現(xiàn)的是問(wèn)題研究的全面性，也體現(xiàn)由易到難的研究過(guò)程;問(wèn)題2的探討，主要目的不是復(fù)習(xí)指數(shù)的運(yùn)算、平方根的理解，關(guān)鍵是要得出一種處理方程問(wèn)題的思想方法，要探討平方根的表示過(guò)程，為問(wèn)題3的思考作鋪墊;問(wèn)題3是我們最終的探究目的，要通過(guò)問(wèn)題3建立對(duì)數(shù)的概念.3個(gè)問(wèn)題過(guò)渡自然，既體現(xiàn)循序漸進(jìn)的原則，又能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的關(guān)聯(lián)性，同時(shí)還增強(qiáng)了學(xué)生的探究信心.

3.3 交流反饋

交流1 教師要求每位學(xué)生獨(dú)立寫(xiě)出5個(gè)對(duì)數(shù)，然后同桌間交流各自的認(rèn)識(shí).

交流2 教師選取3名學(xué)生代表，先從指數(shù)、對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換角度來(lái)匯報(bào)交流自己的認(rèn)識(shí)，此外，學(xué)生還可從其他角度理解，不限制思維，教師加以點(diǎn)評(píng).

交流3 教師提出問(wèn)題，要求學(xué)生探究logaab與alogaN的值.首先是4人一組，交流討論;然后由學(xué)生代表匯報(bào)探究成果.

這一過(guò)程用時(shí)約15分鐘.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)數(shù)的概念雖已建立，但由于學(xué)生剛剛接觸，理解不深刻，而且不同的學(xué)生理解程度也不同，一些基本功不好的學(xué)生更要加強(qiáng)理解.交流1和交流2促進(jìn)概念的理解提升，尤其對(duì)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生有幫助，交流3能調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究積極性，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力.3個(gè)交流活動(dòng)，思維具有發(fā)散性，讓每位學(xué)生都有事可做，能起到“補(bǔ)差、推中、提優(yōu)”的分層教學(xué)效果.

3.4 練習(xí)反饋

從教材、課外資料上選取與對(duì)數(shù)概念相關(guān)的典型練習(xí)題(難度不要大，有點(diǎn)小梯度)，學(xué)生先練習(xí)，教師再對(duì)典型的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正、點(diǎn)評(píng)、總結(jié)歸納，這一過(guò)程約10分鐘.

4 一點(diǎn)反思

問(wèn)題，是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的源泉!在數(shù)學(xué)教學(xué)中，好的問(wèn)題可以啟發(fā)學(xué)生的思維，形成有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).因此，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題要符合學(xué)生的實(shí)際，如果問(wèn)題過(guò)大、過(guò)難，則會(huì)造成學(xué)生無(wú)從下手，教師啟而不發(fā);當(dāng)然，問(wèn)題過(guò)小、過(guò)碎，也不行.學(xué)生遵循教師的思路(必經(jīng)之路)，最終達(dá)到目的，這樣的引導(dǎo)，學(xué)生思維量小，失去“探究發(fā)現(xiàn)”的意義［3］.本節(jié)課中的問(wèn)題2，學(xué)生雖懂，但要答出生5的方法，還是要經(jīng)過(guò)一番思考才行，問(wèn)題3學(xué)生雖有點(diǎn)陌生，但在問(wèn)題2的鋪墊與教師的啟發(fā)下，學(xué)生能有效探究發(fā)現(xiàn).

教學(xué)中每一個(gè)概念都應(yīng)當(dāng)從概念所處的系統(tǒng)出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生建立新舊概念之間的各種聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)概念網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與擴(kuò)展，使新的概念成為學(xué)生內(nèi)部概念網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)有機(jī)組成部分.這樣，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不再是個(gè)別概念的教學(xué)，而是通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的各種活動(dòng)，使學(xué)生獲得概念域、概念網(wǎng)絡(luò)，直至完成對(duì)概念系統(tǒng)的理解與掌握［4］.當(dāng)學(xué)生在原有的理解基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新概念時(shí)，他們就會(huì)逐步意識(shí)到各個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系，他們的理解會(huì)更深刻且牢固［5］.本節(jié)課正是通過(guò)問(wèn)題1，2，3，將冪的乘方、指數(shù)運(yùn)算公式、平方根以及函數(shù)與方程等聯(lián)系起來(lái)，逐步過(guò)渡到建立對(duì)數(shù)的概念，體現(xiàn)了概念之間的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系.

［1］ 單墫.蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修1)［M］.南京:江蘇教育出版社，2012.

［2］ 魏本義.不預(yù)習(xí)的課堂教學(xué)效果也精彩［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012(9):27-29.

［3］ 聶必凱，鄭庭曜，孫偉，等.美國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革［M］.北京:人民教育出版社，2010.

［4］ 李善良.現(xiàn)代認(rèn)知觀(guān)點(diǎn)下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)［M］.南京:江蘇教育出版社，2005.

［5］ 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì).美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)［M］.蔡金法，譯.北京:人民教育出版社，2004.