似是而非 錯在哪里
——談2個相似不等式的推廣及證明

●何 燈 李云杰 (福清第三中學 福建福清 350315)

似是而非 錯在哪里
——談2個相似不等式的推廣及證明

●何 燈 李云杰 (福清第三中學 福建福清 350315)

問題［1］已知a，b，c為滿足a+b+c=1的正數(shù)，求證:

(《中學數(shù)學》第231號問題)

宋慶老師在其微博中歸納了式(1)的多種證明，并給出了其姊妹不等式:已知a，b，c為滿足a+b+ c=1的正數(shù)，求證:

文獻［2］利用換元法給出上述姊妹不等式的新證，并利用此證法將式(1)和式(2)推廣為:

命題1 已知a，b，c為滿足a+b+c=1的正數(shù)，n∈R且n＞1，k∈R且k≥0，求證:

筆者發(fā)現(xiàn)式(3)對任意k≥0不恒成立，如令a=b→0+，c→1，k→0+，若原式成立，則必有得，這與條件矛盾，顯然文獻［2］中的換元證法存在問題.為了說明問題所在，現(xiàn)將文獻［2］中針對式(1)的證明摘抄如下:

證明［2］設，其中a＞0，i=1，2，3，則i

上述推理過程似乎很自然，究竟錯在哪里?在證明不等式時，常用到分析法和綜合法，而分析法又稱執(zhí)果索因法，顧名思義，即從證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知、定理、定義、公理等).考查文獻［2］的證明，在使用了冪平均不等式之后，實際上是將問題轉化為證明(此為待證不等式)，而上述證明過程中已認定此不等式成立，從而證明了犯了循環(huán)論證的錯誤.

下面筆者給出式(3)和式(4)的修正、推廣及證明.命題2 已知a，b，c為滿足a+b+c=1的正數(shù)，n∈R且n＞0，k∈R，則當時，式(3)成立;當 k≥0時，式(4)成立.

當k≥0時，由均值不等式得

即式(4)成立.

［1］ 宋慶.數(shù)學奧林匹克問題高231［J］.中學數(shù)學，2008(8):47.

［2］ 王煒.兩個相似不等式的統(tǒng)一證明及推廣［J］.中學數(shù)學研究，2015(1):20-23.