探析一道高考數(shù)學(xué)題的背景與教學(xué)啟示

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

探析一道高考數(shù)學(xué)題的背景與教學(xué)啟示

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

縱觀2015年全國各地的數(shù)學(xué)高考卷，其中湖北省的數(shù)學(xué)卷十分搶眼:試題依托數(shù)學(xué)史料，鑲嵌入數(shù)學(xué)名題，引人矚目，出自《九章算術(shù)》中的陽馬、鱉臑令考生廣為熱議，試卷中的壓軸題內(nèi)涵豐富、背景深刻，難倒了許多考生，從而吸引了眾多師生去研究，也深深地吸引了筆者.為了幫助廣大師生弄清楚試題的背景，看清試題的本質(zhì)，現(xiàn)撰文介紹，以供參考.

1 背景解讀與解答

題目 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).

1)求函數(shù)f(x)=1+x－ex的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大小;

本題是一道遞進(jìn)式綜合題，前2個小題的設(shè)問為第3)小題作鋪墊.第3)小題等價于:已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，證明

這是著名的有限項Carleman不等式:設(shè)an＞0，n∈N+，且收斂，則本題基于此編制而成，可見命題者的高等數(shù)學(xué)視野.迄今為止，Carleman不等式有了許多加強形式，大多數(shù)的研究集中于改進(jìn)Carleman不等式的上界，改進(jìn)下界的研究相對較少，其中結(jié)論較為優(yōu)美且又貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有以下幾個結(jié)論:

這些結(jié)論的證明有一定的難度，讀者不妨查閱參考文獻(xiàn)［4］.

現(xiàn)在回到湖北省高考題等價的有限項Carleman不等式，下面給出2種證明.

證法1通過待定系數(shù)法，構(gòu)造一組實數(shù)去改變原式的結(jié)構(gòu)，然后利用均值不等式與的有界性進(jìn)行證明.

證法2 首先證明以下命題

即證.

k由于xk可視作與p無關(guān)，因此令p→∞，得

于是可得有限項Carleman不等式.

通過證明，不難發(fā)現(xiàn)只要令n→∞，就可得無限項Carleman不等式.

2 教學(xué)啟示

以歷史名題直接改造成高考試題在當(dāng)前高考命題中并不多見，我們暫且不討論其公平性，其教學(xué)的導(dǎo)向是鮮明的，啟示也是深刻的.在當(dāng)前的高中教學(xué)中，教師“教什么”比“怎么教”顯得更為重要，教師若以教輔資料為依據(jù)，死做題目，則所教學(xué)生很難在高考中突破創(chuàng)新題，其結(jié)果是師生雙方均精疲力盡，效果平平.

事實表明:高考復(fù)習(xí)時要轉(zhuǎn)變觀念開闊視野，不僅要關(guān)注常規(guī)題，而且要關(guān)注教材、關(guān)注數(shù)學(xué)史料，甚至是歷史名題.教師培訓(xùn)除了在提升教師的理論素養(yǎng)、課堂教學(xué)藝術(shù)等方面下功夫外，還應(yīng)該在學(xué)科底蘊的厚實上下功夫，使教師有足夠的功力看透題目的背景，教學(xué)時能站到一定的高度俯視數(shù)學(xué)，以達(dá)到輕負(fù)高質(zhì)之效果.

［1］ 陳超平，祁鋒.關(guān)于Carleman不等式進(jìn)一步加強［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2005(4):89-90.

［2］ 張小明，褚玉明.解析不等式新論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

［3］ 錢偉茂，鄭寧國.有限項Carleman不等式的加強［J］.北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，24(9): 62-67.

［4］ 金小萍.Carleman不等式的新加強［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2009，32(2):143-146.