一 脈 相 承 話 高 考
——解析幾何試題背景探究

●孫 明 (商城縣第二高級(jí)中學(xué) 河南商城 465350)

一 脈 相 承 話 高 考
——解析幾何試題背景探究

●孫 明 (商城縣第二高級(jí)中學(xué) 河南商城 465350)

解析幾何常借助代數(shù)方法來解決，但在解題過程中，我們不僅要關(guān)注代數(shù)運(yùn)算，還應(yīng)盡可能地挖掘問題背后隱藏的幾何本質(zhì)，將“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，這樣才能真正地提高我們對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)水平，體會(huì)題意，探究題目的背景并進(jìn)行推廣，從而得出更一般的結(jié)論.

1 陳題再現(xiàn)——2道高考題

例1 如圖1，已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)K(－1，0)的直線l與C相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.

1)證明:點(diǎn)F在直線BD上;

(2010年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第21題) 1)證明 設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，則直線l的方程為

x=my－1(其中m≠0)，將x=my－1代入y2=4x并整理得y2－4my+4=0，

則y1+y2=4m， y1y2=4.

2)略.

本題中點(diǎn)K與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若將它們以及拋物線一般化，可得如下結(jié)論:

結(jié)論1 已知拋物線C:y2=2px(其中p＞0)，過x軸負(fù)半軸上任一點(diǎn)K(－t，0)(其中t＞0)作直線交拋物線C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則BD過定點(diǎn)F(t，0)(或點(diǎn)(t，0)在直線 BD上).

若聯(lián)結(jié)KD，則x軸是∠BKD的平分線.

圖1

圖2

例2 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4，0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;

2)如圖2，已知點(diǎn)B(－1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于2個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明:直線l過定點(diǎn).

(2013年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析 由第1)小題求得軌跡C的方程為y2= 8x.

2)當(dāng)直線l與拋物線C交于不同的2個(gè)點(diǎn)P，Q，滿足x軸是∠PBQ的角平分線時(shí)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線BP上，因此，PQ一定經(jīng)過點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B'(1，0).

實(shí)際上，以上2道題中的點(diǎn)K與點(diǎn)F，點(diǎn)B與點(diǎn)B'都是關(guān)于拋物線C的“反演點(diǎn)”.

反演點(diǎn)的定義 已知圓O的半徑為r，從圓心O出發(fā)作一射線，若射線上的2個(gè)點(diǎn)M，N滿足OM·ON=r2，則稱M，N是關(guān)于圓O的“反演點(diǎn)”(注:把平面上的點(diǎn)M變換為關(guān)于圓O的反演點(diǎn)N的變換叫做“反演變換”).

圖3

命題1 如圖3，設(shè)M，P是圓O:x2+y2=r2上任意2個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，若直線MP，NP分別交x軸于M1，N1，則OM1· ON1=r2.

證明 聯(lián)結(jié)M1N與圓O交于Q，則P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)NO，PO，OQ，則

1從而點(diǎn)P，O，N，M1共圓，于是

∠OPN1=∠OPN=∠ONP=∠OM1P，得△OPN1∽△OM1P，從而

類比到橢圓有:

考慮伸壓變換，即可轉(zhuǎn)化為命題1，這里不再證明.

圓與橢圓、雙曲線、拋物線“同宗同源”都具有類似性質(zhì)，以上結(jié)論中的點(diǎn) N1，M1就是關(guān)于圓x2+y2=r2的一對(duì)反演點(diǎn)，也可以看作是關(guān)于橢圓1的一對(duì)反演點(diǎn).

2 一脈相承——1道調(diào)研題

圖4

例3 如圖4，已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=，P為橢圓上任意一點(diǎn)，△PF1F2的周長(zhǎng)為6.

1)求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)過點(diǎn)S(4，0)且斜率不為0的直線l與橢圓C的交于點(diǎn)Q，R，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q1，過點(diǎn)Q1與R的直線交x軸于T，試問:△TRQ的面積是否存在最大值?若存在，求出這個(gè)最大值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2015年河南省六市高三第一次聯(lián)考理科試題第20題)

(3m2+4)y2+24my+36=0，則Δ=(24m)2－4×36(3m2+4)=144(m2－4)＞0，即m2＞4.設(shè)Q(x1，y1)，R(x2，y2)，Q1(x1，－y1)，由韋達(dá)定理得

直線RQ1的方程為

令y=0，得

將式(1)，式(2)代入上式得x=1.又

由以上解題過程可知，點(diǎn)T是橢圓C的右焦點(diǎn)，而點(diǎn)S是橢圓C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).類比前面的結(jié)論，可得:

于是 y2x1+x2y1－t(y1+y2)=因此kRT=kTQ1，也即點(diǎn)T在直線RQ1上.

3 2015年2道高考題

圖5

1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求 C在點(diǎn)M和N處的切線方程.

2)y軸上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

(2015年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科新課標(biāo)卷第20題)

分析 1)C在點(diǎn)M和N處的切線方程分別是

2)假設(shè)存在符合題意的點(diǎn) P(0，b)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，將y=kx+a代入C的方程得

評(píng)注 直線l:y=kx+a(其中a＞0)過定點(diǎn)(0，a)，與滿足條件的點(diǎn)P(0，－a)是關(guān)于拋物線C的反演點(diǎn).

1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示).

2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問:y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

(2015年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

圖6

2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，所以B(m，－n).設(shè)N(xN，0)，則設(shè)存在符合題意的點(diǎn) Q(0，yQ)，使得 ∠OPM=∠ONQ，則Rt△OQM∽R(shí)t△ONQ，從而，即滿足.又因?yàn)閚2=1，所以于是或

評(píng)注 由|OQ|2=|ON|·|OM|，即|OR|2= |ON|·|OM|，可知點(diǎn)M與N就是關(guān)于圓x2+y2= 2的一對(duì)反演點(diǎn)，也可以看作是關(guān)于橢圓1的一對(duì)反演點(diǎn).

反演點(diǎn)既是高中解析幾何知識(shí)的潛在內(nèi)容，也是高考解析幾何命題的“生長(zhǎng)源頭”.數(shù)學(xué)新課標(biāo)注重學(xué)生探究知識(shí)的過程，從代數(shù)形式探究幾何內(nèi)容無疑是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法.