三角代數(shù)的模糊濾子

羅敏霞，潘 瓊

（中國計(jì)量學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，浙江 杭州 310018）

模糊邏輯起源于Zadeh 1973年提出的模糊推理思想［1］.模糊邏輯是經(jīng)典邏輯的一般化，模糊邏輯的命題演算系統(tǒng)中，公式不僅可以以0和1作為真值，也可以是在［0，1］上的值.ML邏輯是基于剩余格的邏輯系統(tǒng)［2］，它是諸多模糊邏輯的基礎(chǔ)，如Esteva和Godo的基于左連續(xù)三角范數(shù)的MTL模糊邏輯系統(tǒng)［3］是 ML邏輯系統(tǒng)的擴(kuò)張，Hajek的基于連續(xù)三角范數(shù)的基本邏輯BL系 統(tǒng)［4－5］是MTL邏輯系統(tǒng)的擴(kuò)張，著名的Lukasiewicz邏輯、Godel邏輯及乘積邏輯都是BL邏輯的擴(kuò)張.這些邏輯的語義代數(shù)模型分別是剩余格、MTL－代數(shù)、BL代數(shù)、MV代數(shù)、Godel代數(shù)和乘積代數(shù)［6］.Gasse等首先提出了三角代數(shù)的概念［7］，三角代數(shù)等價(jià)于區(qū)間值剩余格IVRLs，被用來構(gòu)造三角邏輯TL系統(tǒng)，是三角邏輯的語義代數(shù)模型.

在模糊邏輯理論研究中，邏輯代數(shù)的濾子發(fā)揮著非常重要的作用.文獻(xiàn)［3］給出了 MTL－代數(shù)中濾子的定義，利用濾子證明MTL邏輯系統(tǒng)的完備性；文［8－9］給出 MTL代數(shù)模糊濾子的定義和等價(jià)刻畫.Hájek在文獻(xiàn)［4］中給出BL－代數(shù)濾子的定義，并證明了BL邏輯系統(tǒng)的完備性.Gasse等在文獻(xiàn)［7］中引入三角代數(shù)的濾子概念，并使用濾子證明三角邏輯系統(tǒng)的完備性.

本文在三角邏輯的基礎(chǔ)上給出三角代數(shù)的模糊濾子的概念，并研究其性質(zhì)，進(jìn)一步給出三角代數(shù)中濾子與模糊濾子之間的關(guān)系，從而可以為更好地研究三角邏輯提供完善的邏輯語義模型.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1［4，11］一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu) L＝（L，∧，∨，?，→，0，1），如果滿足下列條件：

1）L＝（L，?，1）是一個(gè)可換獨(dú)異點(diǎn)；

2）L＝（L，∧，∨）是一個(gè)有界格；

3）x?y≤z?x≤y→z；

則稱L＝（L，∧，∨，?，→，0，1）是一個(gè)剩余格.

命題 1.1［4］在一個(gè)剩余格中以下結(jié)論成立：

我們定義x＊＝∨｛y∈L｜x?y＝0｝等效于x＊＝x→0，以及

定義1.2［7］格L＝（L，∧，∨，?，→，ν，μ，0，u，1）稱為三角代數(shù)，其中（L，∧，∨，?，→，0，1）是一個(gè)剩余格，ν，μ是一元運(yùn)算符，u是一個(gè)常數(shù)，如果滿足以下條件：

定義1.3［10］設(shè)格L＝（L，∧，∨，?，→，ν，μ，0，u，1）是三角代數(shù)，L中的一個(gè)元素x 被稱為準(zhǔn)，如果νx＝x，L的確切元素的集合記作E（L）.

定理1.2［7］在一個(gè)三角代數(shù)L＝（L，∧，∨，?，→，ν，μ，0，u，1）中，蘊(yùn)含→和?完全由E（L）上的作用和μ（u?u）的值來定義，具體為：

定義1.4［10］設(shè)L＝（L，∧，∨，?，→，ν，μ，0，u，1）是一個(gè)三角代數(shù)，L的一個(gè)非空子集F稱為L的一個(gè)濾子，如果滿足

命題1.3 設(shè)L＝（L，∧，∨，?，→，ν，μ，0，u，1）是一個(gè)三角代數(shù)，F(xiàn)是L的一個(gè)非空子集，則F是L的濾子當(dāng)且僅當(dāng)

證明：設(shè)F是滿足（4）和（5）的L的非空子集，設(shè)x，y∈L，使得x≤y且x∈F，通過（4）可得到x→y＝1∈F，由（5）得到y(tǒng)∈F，所以（1）是成立的.設(shè)x，y∈F，則x→（y→（x?y））＝（x?y）→（x?y）＝1∈F，從（5）中隱含表明x?y∈F，因此（2）成立；設(shè)x，y∈F，有ν（x?y）＝νx?νy∈F，則由x→（y→x）＝1得νx→（νy→νx）＝（νx?νy）→νx＝1∈F.由（5）得νx∈F，因此（3）成立.

反之，假設(shè)F是L的一個(gè)濾子，顯然由（1）得1∈F，設(shè)x，y∈L使得x∈F并且x→y∈F，由（2）得x?（x→y）∈F，利用y≤（y→x）→x有x≤（x→y）→y，即x→（（x→y）→y）＝1＝（x?（x→y））→y＝1，即（x?（x→y））≤y，由（1），因此（5）成立；由（2）和（3）顯然（6）成立.

2 模糊濾子與濾子的關(guān)系

定義2.1 設(shè)L是一個(gè)三角代數(shù)，L中的一個(gè)模糊集w稱為L的一個(gè)模糊濾子，如果它滿足條件：

例1 設(shè)L＝［0，1］，定義運(yùn)算?與→如下：

對(duì)所有的x，y∈L，則L就是三角代數(shù).

根據(jù)三角代數(shù)的模糊濾子的定義，進(jìn)一步研究模糊濾子的等價(jià)刻畫.

定理2.1 設(shè)w是三角代數(shù)L的一個(gè)模糊集，則w是L的一個(gè)模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)

證明：假設(shè)w 滿足條件（7）和（8），設(shè)x，y∈L使得x≤y，則x→y＝1，所以由條件（7）和（8）得到w（y）≥min｛w（x），w（1）｝＝w（x），因此（c2）是成立的.利用命題1.1的（1），可知x→（y→（x?y））＝（x?y）→（x?y）＝1，于是根據(jù)條件（7）和（8）我們有

因此（c1）是成立的.根據(jù)條件（7）和（9）可得：

即（c3）是成立的.假設(shè)w是L的一個(gè)模糊濾子，當(dāng)對(duì)所有的x∈L，x≤1，則由（c2）得到對(duì)所有的x∈L有w（1）≥w（x）.由定義1.2的（8）以及伽羅佤對(duì)應(yīng)我們可知ν（x→y）≤νx→νy?ν（x→y）?νx≤νy，因此由（c2）和（c3）可得 w（νy）≥w（νx?ν（x→y））≥min｛w（νx），w（ν（x→y））｝，證畢.

進(jìn)一步研究三角代數(shù)中濾子與模糊濾子之間的關(guān)系，證明三角代數(shù)中模糊濾子與濾子的相互誘導(dǎo).

定理2.2 設(shè)F是三角代數(shù)L的一個(gè)濾子，且a∈L，w是L的一個(gè)模糊集

則w是L的一個(gè)模糊濾子.

證明：已知a∨1∈F，我們有1∈｛z∈L｜a∨z∈F｝和對(duì)所有x∈L得到w（1）＝1≥w（x），現(xiàn)在如果y∈｛z∈L｜a∨z∈F｝，那么可以清楚地得到w（y）＝1≥min｛w（x），w（x→y）｝.假設(shè)y?｛z∈L｜a∨z∈F｝，那么存在x和x→y至少其中一個(gè)不屬于｛z∈L｜a∨z∈F｝，于是w（y）＝min｛w（x），w（x→y）｝.同樣如果νy∈｛z∈L｜a∨z∈F｝則可清楚地得到w（νy）＝1≥min｛w（νx），w（ν（x→y））｝，假設(shè)νy?｛z∈L｜a∨z∈F｝，那么存在νx和ν（x→y）至少其中一個(gè)不屬于｛z∈L｜a∨z∈F｝，于是w（νy）＝min｛w（νx），w（ν（x→y））｝，因此w是L的一個(gè)模糊濾子.

定理2.3 如果w是L的一個(gè)模糊濾子，那么對(duì)于每一個(gè)a∈L，集合Ωa＝｛x∈L｜w（x）≥w（a）｝是L的一個(gè)濾子.

證明：已知對(duì)所有x∈L有w（1）≥w（x），我們有1∈Ωa，設(shè)x，y∈L使得νx∈Ωa和ν（x→y）∈Ωa，那么就有w（νx）≥w（a）和w（ν（x→y））≥w（a）.已知w是L 的一個(gè)模糊濾子，從（8）可得w（νy）≥min｛w（νx），w（ν（x→y））｝≥w（a）；又因?yàn)閣（y）≥w（νy），w（x→y）≥w（ν（x→y）），所以（x→y）∈Ωa，w（y）≥w（a）以及 w（ν（x?y））≥min｛w（νx），w（νy）｝≥w（a），所以y∈Ωa且ν（x?y）∈Ωa，因此Ωa是L的一個(gè)濾子.

3 結(jié) 語

本文在三角代數(shù)濾子定義的基礎(chǔ)上給出了濾子的等價(jià)刻畫，進(jìn)一步引入三角代數(shù)中模糊濾子的概念，給出模糊濾子的等價(jià)刻畫.特別研究三角代數(shù)中模糊濾子與濾子之間的關(guān)系，證明了模糊濾子與濾子可相互誘導(dǎo).

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