馬爾可夫過程的4S店汽車銷售量預(yù)測

汪玉秀，顧巧祥，邢 超，馬志斌

（中國計量學(xué)院 質(zhì)量與安全工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

隨著人們生活水平的提高，客戶對于家用小汽車的需求逐漸多樣化、個性化.為了滿足客戶的個性化需求并在激烈的市場競爭中獲得優(yōu)勢，這就需要汽車經(jīng)銷商和生產(chǎn)企業(yè)對客戶的個性化需求進(jìn)行定量化預(yù)測，以便為經(jīng)銷商和汽車生產(chǎn)企業(yè)決策提供必要的依據(jù).

迄今為止，已有上百種較為成熟的預(yù)測方法，按照性質(zhì)可以分為定性預(yù)測、定量預(yù)測和定時預(yù)測，如經(jīng)驗估計法、回歸分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等.馬爾可夫預(yù)測法就是典型的定量預(yù)測方法，適用于短中期預(yù)測，預(yù)測精度較好.現(xiàn)實生活中很多問題都具有“無后效性”，即“已知系統(tǒng)目前狀態(tài)，未來的狀態(tài)與過去狀態(tài)無關(guān)”［1］，解決這類問題時，需要的信息量相對較少，但是能夠有效地解決問題，并且提高解決問題效率.馬爾可夫預(yù)測法也是一種時間序列分析法，理論十分完善.

俄國數(shù)學(xué)家馬爾可夫于1907年提出馬爾可夫性是一類重要的隨機(jī)過程，馬爾可夫過程便廣泛應(yīng)用于預(yù)測經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、教育領(lǐng)域、自然災(zāi)害、醫(yī)學(xué)、公共衛(wèi)生和機(jī)械裝配等領(lǐng)域.如朱春偉等建立了馬爾可夫模型，從而預(yù)測齒輪傳動的可靠性［2］；夏正威［3］、秦立公［4］、徐健清［5］、陳永［6］等已將馬爾可夫過程理論運用到對卷煙、農(nóng)產(chǎn)品、家具市場配貨及傳染病預(yù)測等方面；Wu等將馬爾可夫運用到了能源需求和自給率預(yù)測上［7］；Zhang、Tang等運用馬爾可夫鏈預(yù)測濕地的變化趨勢［8］；李莉運用灰色馬爾可夫?qū)π∨帕科囦N量進(jìn)行過預(yù)測［9］.

本文將以一汽大眾某4S店某款式汽車作為研究對象，提出另一種可供選擇的預(yù)測方法.該方法基于馬兒可夫過程，對汽車綜合特征如顏色、排量及版本類型對汽車銷售量的影響進(jìn)行預(yù)測，從而較準(zhǔn)確地預(yù)測對汽車需求的趨勢，判斷出汽車各種狀態(tài)所占比例，使經(jīng)營者掌握市場供求變化的規(guī)律，也為銷售和生產(chǎn)提供可靠性依據(jù)，從而可以提前做好備貨準(zhǔn)備并快速響應(yīng)市場需求.

1 基于馬爾可夫過程某汽車銷售預(yù)測方法

馬爾可夫過程（Markov process）是一類隨機(jī)過程，該過程在已知目前狀態(tài)（現(xiàn)在）的條件下，其未來的演變（將來）不依賴于它以往的演變（過去）.

假設(shè)馬爾可夫過程｛Xn，n∈T｝的參數(shù)集是離散的時間集合，T＝｛0，1，2，…｝，其相應(yīng)的 Xn可能取值的全體組成的狀態(tài)空間是離散的狀態(tài)I＝｛i1，i2，i3，…｝.設(shè)隨機(jī)過程｛Xn，n∈T｝，若對于任意的整數(shù)n∈T和任意的i0，i1，…in＋1∈I，條件概率滿足

則稱｛Xn，n∈T｝為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈.

家用汽車每月的銷售量具有不確定性，家用汽車每月的銷售量是一個隨機(jī)變量，若以每月為一個觀察周期，則每月的銷售量是一個隨機(jī)過程.在得知當(dāng)前月份銷售量的條件下，汽車未來的銷售量都不依賴于它以往的演變，所以汽車每月的銷售量具有馬爾可夫性.

圖1 基于馬爾可夫過程某汽車銷售預(yù)測方法Figure 1 Car sales forecasting method based on Markov process

現(xiàn)以某4S店一汽大眾邁騰為例，根據(jù)隨機(jī)過程理論——馬爾可夫過程理論，在分析其汽車銷售情況的基礎(chǔ)上，采用顏色、排量及版本類型建立銷售預(yù)測模型狀態(tài)空間S.用統(tǒng)計方法和市場調(diào)研等方法，進(jìn)一步對某汽車銷售門店的銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定狀態(tài)空間的初始概率S（t），選擇1—8月銷售數(shù)據(jù)確定一階轉(zhuǎn)移概率P（1），進(jìn)而計算出9、10及11月的銷售情況，并與實際銷售情況進(jìn)行比較分析.如果誤差在可接受范圍內(nèi)，說明此方法具有較好的預(yù)測性，進(jìn)而可以預(yù)測任意狀態(tài)t＋1時刻某汽車銷售情況S（t＋1），從而為經(jīng)銷商和汽車生產(chǎn)企業(yè)決策提供必要的依據(jù)，提前做好備貨準(zhǔn)備以快速響應(yīng)市場需求.具體方法如圖1.

其中用某汽車各狀態(tài)的使用數(shù)量計算汽車綜合特征狀態(tài)的初始狀態(tài)的概率分布，汽車各狀態(tài)的概率分布計算公式為

∑Ni表示所研究的狀態(tài)空間中特定時間內(nèi)Ei出現(xiàn)的次數(shù)總和，Ni表示該狀態(tài)空間中某指定Ei出現(xiàn)的次數(shù)，其中i＝｛1，2，…，n｝.

設(shè)數(shù)據(jù)由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步變?yōu)闋顟B(tài)Ej的次數(shù)記為n（k）ij，狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)記為Ni，則由狀態(tài)經(jīng)過k步變?yōu)闋顟B(tài)Ej的轉(zhuǎn)移概率為

由此概率公式可以構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣，即可以得到各個狀態(tài)間發(fā)生的轉(zhuǎn)移概率

假設(shè)S（t）是某月份的初始分布行向量.根據(jù)狀態(tài)空間的初始概率S（t）和一階轉(zhuǎn)移概率P（1）可以預(yù)測下一階段狀態(tài)空間的組成概率S（t＋1），即

2 基于馬爾可夫過程的某汽車銷售狀態(tài)空間建立

根據(jù)調(diào)查和分析，客戶對汽車的需求主要集中在顏色、排量及版本類型三個方面，所以用此來建立銷售預(yù)測模型狀態(tài)空間S.其中用Ei＝｛Al，Bj，Ck｝表示某汽車的具體綜合特征狀況，即顏色是Al，排量是Bj，版本類型是Ck.

Al＝｛A1，A2，…，A6｝表示汽車的顏色狀況，分別表示冰川藍(lán)、糖果白、幻影黑、開金羅、摩卡棕及發(fā)射銀；Bj＝（B1，B2，B3）表示汽車的排量狀況，分別表示1.4T、1.8T及2.0T 的排量；Ck＝（C1，C2，…，C5）表示汽車的版本類型，分別表示舒適型、領(lǐng)先型、豪華型、尊貴型及旗艦型.其中排量是1.4T只有舒適型和豪華型的；1.8T的有舒適型、領(lǐng)先型、豪華型及尊貴型；2.0T的有豪華型、尊貴型及旗艦型.

設(shè)該研究系統(tǒng)有n個互不相容的狀態(tài)，則初始向量為

式中Sj（0）為系統(tǒng)處在狀態(tài)j的初始概率.

經(jīng)過t步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率為Sj（t），則t步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)向量為

式中Sj（t）為系統(tǒng)t時刻處于狀態(tài)j的概率.

于是綜合了汽車顏色、排量及版本類型，建立的汽車銷量馬爾可夫預(yù)測模型為

當(dāng)初始狀態(tài)向量S（0）和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P（1）已知時，便可以利用上述預(yù)測模型，預(yù)測在t時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)［10］.

因為該種類型的車是中檔車，所以對汽車功率的要求很高，因此剔除小排量1.4T的相關(guān)數(shù)據(jù)，以下的研究只包括排量是1.8T及2.0T的所有情況.所以，研究狀態(tài)從原先的54（C））種變成42（））種，研究對象也從原先的120輛變成115輛.如E1代表A1B2C1，表示的是一輛顏色為冰川藍(lán)，排量為1.8T的舒適型的某汽車.具體包括的42種情況如表1.

表1 汽車綜合特征情況表Table 1 Comprehensive characteristics of cars

隨著時間的推移，每一狀態(tài)都有可能向其它狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)移.所以，按照時間先后順序，可以得到某汽車1—11月115輛的轉(zhuǎn)移情況，如表2.

表2 實際銷售狀況表Table 2 Actual sales of cars

3 某汽車銷售狀態(tài)空間初始概率及一階轉(zhuǎn)移概率確定

按照銷售時間的先后順序，對一汽大眾某4S店1月至11月某汽車的銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行分類整理，可以得到汽車各種狀態(tài)所占百分比，即各月的初始狀態(tài)概率.

首先，設(shè)S（t）是某汽車在t月的各種狀態(tài)的概率，其中t∈｛1，2，3…，11｝，根據(jù)公式（1），可以得到一汽大眾某汽車連續(xù)11個月的各種狀態(tài)所占百分比（其中Ei表示汽車的42種研究狀態(tài)，Y（t）表示每月各狀態(tài)的實際概率），具體情況如表3.

表3 汽車狀態(tài)原始概率分布表Table 3 Original probability distribution

（續(xù)表）

根據(jù)某汽車各種狀態(tài)每月的概率分布運用馬爾可夫過程進(jìn)行汽車各種狀態(tài)的演（見表3），可以得到8月的初始概率分布

運用馬爾可夫過程對汽車各狀態(tài)演化進(jìn)行研究的關(guān)鍵在于建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P（1）（在時刻t系統(tǒng)狀態(tài)為S（t），在下一時刻t＋1系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S（t＋1）的概率.根據(jù)銷售時間先后順序?qū)δ称?2種狀態(tài)情況進(jìn)行處理，并計算數(shù)據(jù)由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步變?yōu)闋顟B(tài)Ej的次數(shù)n（k）ij，狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)Ni，以便構(gòu)造一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P（1）.現(xiàn)以1—8月的數(shù)據(jù)為例，按照時間先后順序?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行匯總分類，可得到某汽車各種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移頻數(shù)如表4.

表4 汽車狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)表Table 4 Sate transition frequency table

根據(jù)公式（2）和（3），并結(jié)合表4可以得到某汽車的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P（1）：

4 實例論證及結(jié)果分析

下一階段狀態(tài)空間的組成概率預(yù)測結(jié)果S（t＋1），不僅可以為選擇汽車顏色、排量及版本類型提供定量依據(jù)，還可以為生產(chǎn)、制造和服務(wù)的準(zhǔn)備工作提供依據(jù).然后，運用Matlab根據(jù)公式（4），對某汽車9、10及11月份的各種狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，可以得到這3個月的預(yù)測概率：

為了對模型擬合與預(yù)測的效果進(jìn)行評估，需要對某汽車各種狀態(tài)的預(yù)測值和實際值進(jìn)行比較分析.每月的絕對誤差（AE）及平均絕對誤差（MAE）計算如下：

根據(jù)公式（11）和（12），可以得到9—11月某汽車42種狀態(tài)的實際值、預(yù)測值、絕對誤差和平均絕對誤差，結(jié)果如表5.

表5 某汽車42種狀態(tài)的絕對誤差與平均絕對誤差Table 5 Absolute error and Mean absolute error

觀察9月、10月及11月某汽車42種狀態(tài)的絕對誤差，發(fā)現(xiàn)9月與10月份有的誤差較大，這是因為9月與10月是銷量黃金時期，而使用的初始概率是8月份汽車各狀態(tài)所占比重，并且該模型是結(jié)合三種特征進(jìn)行建立的.但是每月的絕對誤差均在5% 以內(nèi)，分別是3.22%、2.99%、3.24%，平均絕對誤差僅為3.15%，也在5%以內(nèi).所以認(rèn)為誤差在可接受范圍內(nèi)，即預(yù)測的結(jié)果與實際狀態(tài)過程基本相符，說明了馬爾可夫模型在汽車銷售預(yù)測上具有較好的準(zhǔn)確性.證明了馬爾可夫模型在汽車綜合特征狀態(tài)轉(zhuǎn)移中運用的可靠性，因此可以用該模型對某汽車各種狀態(tài)12月份的分布情況進(jìn)行預(yù)測.

5 某汽車下一狀態(tài)空間預(yù)測

為了使預(yù)測結(jié)果更加精確，選擇11月為初始概率，根據(jù)1—11月的數(shù)據(jù)得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣，對12月份某汽車各種狀態(tài)的概率分布進(jìn)行預(yù)測.根據(jù)以上步驟，1—11月份的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

根據(jù)預(yù)測公式，可以計算出12月份某汽車各種狀態(tài)的預(yù)測結(jié)果，如表6.

表6 某汽車12月的預(yù)測值Table 6 Car sale forecast data in December

結(jié)果表明12月份最暢銷的三款分別是E39（A6B2C4）、E21（A3B3C5）和E34（A5B3C4），即最暢銷的三款分別是發(fā)射銀色的1.8T尊貴型、幻影黑色的2.0T旗艦型及摩卡棕色的2.0T尊貴型，分別占12.21%、9.09%及9.09%.

6 結(jié) 語

本文綜合“汽車顏色、排量及版本類型”三個因素，建立了馬爾科夫過程的4S店汽車銷量預(yù)測模型，提供了一種可供選擇的預(yù)測方法.從結(jié)果可以看出汽車每月的預(yù)測值與實際值的絕對誤差和平均絕對誤差均在5%以內(nèi).因為該預(yù)測只考慮了三個因素就達(dá)到了較高的精度，模型預(yù)測準(zhǔn)確性較好，所以可對12月份汽車各狀態(tài)概率分布進(jìn)行預(yù)測.若結(jié)合預(yù)測的汽車銷量，可以得到汽車各種狀態(tài)的汽車數(shù)量，從而可以提前配置好各種顏色、排量及版本類型的汽車.

運用科學(xué)的方法，能夠準(zhǔn)確有效地分析汽車市場的真正需求，預(yù)見汽車市場的變化趨勢，能使汽車銷售商提前做好備貨準(zhǔn)備并快速地響應(yīng)市場，也能夠使經(jīng)營者掌握市場供求變化的規(guī)律，為汽車的生產(chǎn)和銷售決策提供可靠的依據(jù).

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