圖解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》之教學(xué)案例

羅濱霖 王傳美 農(nóng)蔭隆 黃騰

[摘 要]圖解法教學(xué)方法可以將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，以便于學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為一門集實(shí)用性和趣味性于一體的大學(xué)數(shù)學(xué)類課程，其中很多知識(shí)點(diǎn)可以應(yīng)用圖解教學(xué)法。歸納《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中應(yīng)用的圖解法，對(duì)各類圖解法具體總結(jié)應(yīng)用案例，以此拋磚引玉，將圖解法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用向前推進(jìn)一步。

[關(guān)鍵詞]圖解法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 教學(xué) 案例

[中圖分類號(hào)] G642.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 2095-3437（2015）01-0087-02

用圖形表示知識(shí)點(diǎn)能將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，使得學(xué)生易于理解和接受。[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是大學(xué)期間學(xué)生所學(xué)課程中應(yīng)用最廣泛、實(shí)用性最強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)課[2] [3] [4] [5]，它是很多理工科的公共必修課，也是數(shù)學(xué)、信息計(jì)算、統(tǒng)計(jì)等專業(yè)的專業(yè)必修課。因?yàn)樵撜n程側(cè)重理論學(xué)習(xí)，其中的很多原理或知識(shí)點(diǎn)若能通過圖形來表示，將增加該課程的趣味性、生動(dòng)性[3] [4] [5]。教學(xué)中可以應(yīng)用的圖解法大致包括：維恩示意圖、直譯示意圖、歐拉邏輯圖、提綱圖等等。基于多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)將各種圖解方法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的應(yīng)用，一一展現(xiàn)如下。

一、提綱圖一目了然

開篇介紹概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容和研究發(fā)展，用提綱形式展示比較形象。

圖1 ? 課程結(jié)構(gòu)與發(fā)展

圖2 ? 隨機(jī)變量類型

二、維恩圖示意清晰

第一章講隨機(jī)事件及概率，其中事件的關(guān)系與運(yùn)算用維恩圖表示比較形象具體，易于學(xué)生理解。

圖3表示兩事件的和，事件A∪B={ω│ωA或ωB}={A，B至少有一個(gè)發(fā)生}。圖4為兩事件包含關(guān)系的維恩圖。其他的還有事件的積、差運(yùn)算，以及事件互逆、互不相容等等的維恩圖表示，不再一一列舉。

圖3 ? 兩事件的和 ? ? ? ? ? ?圖4 ? 兩事件的包含關(guān)系

最典型的維恩圖是全概率公式的表示圖。設(shè)A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），且Ai=Ω，則對(duì)于任意事件B，有P（B）=P（Ai）P（B│Ai）。其關(guān)系見圖5。

圖5 ? 全概率公式圖解

三、直接示意更加具體

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，令F（x）=P（Z≤x）（-∞

圖6 ? 一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)示意圖

圖7 ? 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)示意圖

設(shè)（X，Y）是一二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，令F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}，稱F（x，y）為隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。由上圖7可清楚的理解，二維分布函數(shù)是表示向XOY面投點(diǎn)，所投點(diǎn)落在（x，y）點(diǎn)左下方的概率。

圖8 ? 置信區(qū)間示意圖

圖8為正態(tài)或t分布等對(duì)稱分布，求參數(shù)置信區(qū)間的示意圖，可以幫助學(xué)生理解置信區(qū)間的含義及做法。也適用于對(duì)稱分布的參數(shù)雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的示意，落在兩邊小區(qū)域即拒絕域。

四、坐標(biāo)軸圖解法容易解題

圖9 ? 離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)

上圖9為某離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的含義，可知此分段函數(shù)的跳躍度為隨機(jī)變量取間斷點(diǎn)的概率。由P{x≥1}=0.5，P{x<1}=0.3，可知P{x=1}=0.5-0.3=0.2。

圖10 ? 連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)

上圖10為某連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)曲線圖，由密度函數(shù)的定義及性質(zhì)可知，隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（x1，x2）的概率為

圖11 ? 正態(tài)分布密度函數(shù)圖像

圖11做了正態(tài)分布不同參數(shù)的密度函數(shù)曲線，可見σ越大圖形越平緩，呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征，而x=μ即圖形對(duì)稱軸，決定了圖形的位置。

五、歐拉邏輯圖解法清楚明了

圖12 ? 獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系圖

由圖12可直接看出，獨(dú)立是不相關(guān)中的一種更特殊的關(guān)系。這是因?yàn)椴幌嚓P(guān)是指沒有線性關(guān)系，沒有線性關(guān)系可以有其他關(guān)系，而獨(dú)立是指全方位的沒有任何關(guān)系。

六、結(jié)語

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門非常貼近生活又非常有意思的一門課，在教學(xué)中充分利用圖解法進(jìn)行講解，可以使這門課更生動(dòng)、形象、具體，更具啟發(fā)性。[5]同時(shí)，這里介紹的圖解法也可以拓展應(yīng)用于其他課程的教學(xué)中，這需要教師們進(jìn)一步地研究和探索。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李衛(wèi)國.高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的線性規(guī)劃圖解法運(yùn)用[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）2010（5）：188-120.

[2] 黃海平.基于教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的高師數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)教育特色專業(yè)主干課程_概率統(tǒng)計(jì)為例[J].大學(xué)教育，2013（6）：87-89.

[3] 楊火根.教學(xué)研究型工科院校概率統(tǒng)計(jì)課程建設(shè)的一些思考[J].大學(xué)教育，2012（11）：72-74.

[4] 沈曉婧，周介南.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程改革的創(chuàng)新機(jī)制[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011 （1）：114-117.

[5] 賀素香.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生興趣的若干方法[J].大學(xué)教育，2013（3）：58-59.

[責(zé)任編輯：林志恒]