兩道選擇題的巧解及反思

黃振

[摘要]選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化試題的一種，具有題目小、答案簡明、解法靈活等特點(diǎn).列舉兩道關(guān)于雙曲線的選擇題，探討常規(guī)解法和巧解法，并作了反思.

[關(guān)鍵詞]選擇題巧解反思

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）290038

雙曲線既是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是全國各地高考、?？肌①|(zhì)檢考等考試的熱點(diǎn)話題.考生如何對題型和考法復(fù)雜、多變的選擇題快速、準(zhǔn)確地作出解答對成績的高低有重要的影響.本文介紹兩道選擇題的常規(guī)解法和巧解法，并作了反思，旨在與同行相互學(xué)習(xí)，共同提高.

一、例題賞析

評注：該題主要考查直線與雙曲線的關(guān)系、直線的斜率、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.雖然兩種解法在過程上可以說是一樣的，但由于該題是選擇題，不要求解答過程，所以巧解1巧就巧在將k1的值特殊化了.這就大大簡化了含有字母的復(fù)雜計(jì)算，加快了速度，節(jié)省了時(shí)間.學(xué)生通常對含有字母的計(jì)算很反感，容易出錯(cuò).巧解1將字母賦以特殊值而不影響結(jié)果.對學(xué)生來說，特殊化法無疑是一個(gè)有效的解題策略.而巧解2更是神奇，利用了極限化的思想，將有限的、靜態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為無限的、動(dòng)態(tài)的問題，而且整個(gè)過程不用進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，快速、準(zhǔn)確、高效.這種將無限化有限、有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是極限化方法.

【例2】若雙曲線x2-y2=a2（a>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn).若直線PA、PB的傾斜角分別為α、β，且β=mα（m>1），那么α的值是（）.

巧解（極限化）：將點(diǎn)P看成是第一象限內(nèi)雙曲線上無窮遠(yuǎn)處的一點(diǎn)，直線PA、PB將與雙曲線的漸近線重合，此時(shí)β→α→π4（因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，漸近線的斜率為1，傾斜角為π4），所以m=1，故選D.

評注：該題主要考查直線的斜率、兩角和的正切公式和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等.常規(guī)解法是先求兩直線的斜率，利用點(diǎn)P在雙曲線上的關(guān)系，化簡兩直線斜率積的值，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系、兩角和正切公式，最后解得答案.整個(gè)過程思路清晰，但計(jì)算量比較大，比較耗時(shí)，對計(jì)算能力較差的學(xué)生來說可能有些困難.而巧解則和例1一樣，利用了極限化思想，打破了思維常規(guī)，快速、準(zhǔn)確求得答案.

二、反思

選擇題幾乎是所有數(shù)學(xué)考試必不可少的一種題型，分值占據(jù)了“半壁江山”，素有“得選擇題者得天下”之稱，所以如何在保證正確的前提下提高解題速度對學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績至關(guān)重要.選擇題不考查解答過程，只看結(jié)果.做選擇題可以不按照常規(guī)方法解答.上述兩個(gè)例題的常規(guī)解法通常會耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力，特別是中、下層學(xué)生，他們心里會產(chǎn)生一定的壓力.而對應(yīng)的巧解則可以減少計(jì)算時(shí)間，提高答題速度.所以在平時(shí)的備考教學(xué)中，教師要教給學(xué)生一些簡單、快速、有效的做選擇題的方法，除了上述的特殊值法、極限法外，還有坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合法、排除法、驗(yàn)證法等，并且引導(dǎo)學(xué)生做一些相應(yīng)的練習(xí)，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)成績.

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)考試拿高分固然重要，但培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維才是最終目的.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.”所以，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散思維、聚合思維、直覺思維、分析思維，并注意多種思維的交互應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).然而在應(yīng)試教育的背景下，有些教師在教學(xué)中忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).學(xué)生思維呆板、解題套路常規(guī)、缺乏創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)等問題應(yīng)該引起我們的重視，我們要在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中為改變這些現(xiàn)象而努力.

日本著名的數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思維與方法》中說：“學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后不到兩年就忘掉了，然而那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用.”在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，拉近師生間的距離，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，敢于另辟蹊徑，敢于發(fā)表自己的看法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題背后蘊(yùn)含的理性之美、智慧之光.同時(shí)，教師還應(yīng)有意識、有目的地加強(qiáng)數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索.”數(shù)學(xué)教育之路充滿困難與挑戰(zhàn)，廣大數(shù)學(xué)教師需要共同努力.上述觀點(diǎn)屬于個(gè)人之見，旨在交流學(xué)習(xí)，如有不對，請各位同行指正.

[參考文獻(xiàn)]

楊軍，田宏根，張靜.基于過程視角的正弦定理教學(xué)的問題分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（6）：31-34.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）