受力分析中非靜止物的靜態(tài)處理

關(guān)亞男

[摘 要]分析物體的受力情況是學(xué)習(xí)靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在分析物體的受力情況時(shí)，需要弄清物體是處于靜止?fàn)顟B(tài)還是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；靜止時(shí)，還需要分清物體是否有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。在此基礎(chǔ)才可能正確分析物體的受力，所以，學(xué)生通常難以分析把握物體所受的力。為提高學(xué)生處理相關(guān)問題的能力，文章結(jié)合例題進(jìn)行分析說(shuō)明。

[關(guān)鍵詞]平衡狀態(tài) 非靜止物體 相對(duì)靜止

[中圖分類號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）320053

分析好物體（或物體系）的受力情況是正確解答動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)問題的關(guān)鍵。對(duì)于這類問題，準(zhǔn)確把握物體所受的摩擦力又是順利解答相關(guān)問題的前提。當(dāng)一個(gè)處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體（或系統(tǒng)）在另一個(gè)均勻的靜止物體表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體所受的摩擦力不變，因此，分析該物體受力時(shí)，可把均勻運(yùn)動(dòng)的物體視為“相對(duì)靜止”的物體來(lái)處理。同理，一個(gè)靜止的物體與一個(gè)做緩慢運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起，或是兩個(gè)緩慢運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起，在分析它們的受力情況時(shí)，可把緩慢運(yùn)動(dòng)的物體視作“相對(duì)靜止”的物體來(lái)處理，從而提高分析解答問題的速度。在此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)這類問題作分類分析。

一、一個(gè)靜止的物體與一個(gè)做勻速運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起的情形

“靜止”與“運(yùn)動(dòng)”本是兩個(gè)截然不同的概念。但在力學(xué)中，“靜止”與“勻速運(yùn)動(dòng)”二者又都是平衡狀態(tài)，這兩種情況下物體所受的合力都為零。當(dāng)靜止的物體與勻速運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起時(shí)，它們之間的滑動(dòng)摩擦力是不變的。此時(shí)可以把運(yùn)動(dòng)的物體視為靜止，但有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的情況來(lái)處理，從而簡(jiǎn)化物理過程，提高解題速度。

圖1

圖2

【例1】 如圖1所示，A、B兩物體疊放在水平地面上，已知A、B的質(zhì)量分別為mA=10kg，mB=20kg。A、B之間，B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5。一輕繩一端系住物體A，另一端系于墻上，繩與豎直方向的夾角為37°，今欲用外力將物體B勻速向右拉出，求所加水平力F的大小，并畫出A、B的受力分析圖。（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

【方法1】純隔離分析

由題意可知，A物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，B物體處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，二者處于相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。二者接觸面間的摩擦力屬于滑動(dòng)摩擦力。

首先對(duì)A進(jìn)行受力分析（如圖2所示），

由隔離A得

Tsin37°=fBA=μN(yùn)1

Tcos37°+N1=mAg

得T=50N

再對(duì)B進(jìn)行受力分析（圖略），由于B處于平衡狀態(tài)，所以B在豎直方向上，受A對(duì)B的作用力、B自身的重力、地面對(duì)B的支持力而平衡；在水平方向上，B受A對(duì)B和地面對(duì)B的摩擦力，外力F對(duì)B的拉力而平衡，結(jié)合上面的分析以及地面對(duì)B的支持力N=N1′+mBg，可以分析計(jì)算出外力F=μN(yùn)+fAB=160N。

【方法2】整體加隔離分析

圖3

先對(duì)A進(jìn)行受力分析，同上。

再對(duì)二者的整體受力分析，如圖3所示，

F=Tsin37°+fDB

=Tsin37°+

μN(yùn)

Tcos37°+N1=（mA+MB）g

得F=160N

顯然，兩種方法求得的結(jié)果是相同的。那么，疊放在一起的一個(gè)靜止的物體與一個(gè)做勻速運(yùn)動(dòng)的物體，是不是都可以視為處于“相對(duì)靜止”狀態(tài)的一個(gè)整體來(lái)處理呢？請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)實(shí)例。

圖4

【例2】 質(zhì)量為M的木楔傾角為θ，在水平面上保持靜止，當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在斜面上時(shí)正好勻速下滑，現(xiàn)用沿與斜面成α角的力F拉著木塊勻速上升，如圖4所示.求：

（1）當(dāng)α多大時(shí)，拉力F有最小值，求此最小值；

（2）當(dāng)拉力最小時(shí)，水平面對(duì)木楔M的摩擦力是多大？

對(duì)本題，依然用兩種方法來(lái)求解。

【方法1】純隔離分析

求解（1）時(shí)，對(duì)m進(jìn)行受力分析，將F沿斜面分解，有Fcosα=mgsinθ+μ（mgcosθ-Fsinα），由題意可知μ=tanθ，分析解得F=mgsin2θ/cos（α-θ）。顯然，當(dāng)α=θ時(shí)，cos（α-θ）=1，是最大值，則F有最小值，即F=mgsin2θ。

求解（2）時(shí)，對(duì)M進(jìn)行受力分析，除地球給的重力外，同時(shí)受到木塊m給的垂直斜面向下的壓力和平行斜面向上的滑動(dòng)摩擦力，還受到水平面給的豎直向上的支持力和水平方向的靜摩擦力，由于M的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)尚未能明確判斷，故該靜摩擦力的方向未知。

繼續(xù)對(duì)m進(jìn)行分析。木塊m給的垂直斜面向下的壓力和平行斜面向上的滑動(dòng)摩擦力大小分別為mgcos3θ、mgsinθcos2θ，二者在水平方向的分力大小相等，均為mgsin2θcos2θ/2，mgsin2θcos2θ/2=mgsin4θ/4，方向相同，均為水平向右，則合力mgsin4θ/2使M在水平面上有向右運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，即得水平面給M的靜摩擦力水平向左，大小為fJ=mgsin4θ/2。

【方法2】整體加隔離分析

圖5

求解（1）同上。

求解（2）時(shí)，將勻速運(yùn)動(dòng)的木塊m與靜止的木楔M視為“相對(duì)靜止”。對(duì)整體進(jìn)行受力分析（如圖5所示），將F水平分解，可知

fJ=Fcos2θ=mgsin4θ/2

可見，當(dāng)把疊放在一起的一個(gè)靜止的物體與一個(gè)做勻速運(yùn)動(dòng)的物體，視為處于“相對(duì)靜止”狀態(tài)的一個(gè)整體分析時(shí)，可使問題大大簡(jiǎn)化。

二、一個(gè)靜止的物體與一個(gè)做緩慢運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起的情形

在力學(xué)中，“緩慢運(yùn)動(dòng)”也是一種動(dòng)平衡狀態(tài)，和勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，也滿足合力為零，是否也能用“一”中的受力分析法處理呢？我們依然用兩種方法來(lái)驗(yàn)證。

圖6

圖7

圖8

【例3】 如圖6所示，頂端裝有定滑輪的斜面體放在粗糙水平地面上，A、B兩物體通過細(xì)繩連接，并處于靜止?fàn)顟B(tài)（不計(jì)繩的質(zhì)量和繩與滑輪間的摩擦）?，F(xiàn)用水平向右的力F作用于物體B上，將物體B緩慢拉高一定的距離，此過程中斜面體與物體A仍然保持靜止。在此過程中（ ）。

A.水平力F一定變小

B.斜面體所受地面的支持力一定變大

C.地面對(duì)斜面體的摩擦力一定變大

D.物體A所受斜面體的摩擦力一定變大

【方法1】純隔離分析

首先對(duì)B進(jìn)行受力分析，如圖7所示。GB一定，F(xiàn)=GBtanθ，T=GB/cosθ。θ角越大，tanθ越大，則F越大，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；θ角越大，cosθ越小，則T越大。

再對(duì)A進(jìn)行受力分析，如圖8所示。則A所受斜面體的摩擦力fJ1=∣GAsinα-T∣，由于fJ1方向未知，無(wú)法確定其大小變化情況，故D錯(cuò)誤。

最后對(duì)A和斜面的整體進(jìn)行受力分析，得地面對(duì)斜面體的靜摩擦力大小為拉力T沿水平方向的分力，即fJ2=Tcosα，T增大，α角不變，則fJ2增大，C選項(xiàng)正確。而地面對(duì)斜面體的支持力要受兩股繩子對(duì)定滑輪作用的影響，兩股繩拉力無(wú)論怎樣改變，它們?cè)谪Q直方向上的分量是不變的，所以斜面體所受地面的支持力一定不變。

故正確選項(xiàng)為C。

圖9

【方法2】整體加隔離分析

先對(duì)B進(jìn)行受力分析，同上。

再將A、B、斜面三者視為一個(gè)“相對(duì)靜止”的整體，進(jìn)行受力分析，如圖9所示，F(xiàn)始終水平，與地面對(duì)斜面體的靜摩擦力等大反向，所以F增大，則地面對(duì)斜面體的摩擦力一定變大，故C選項(xiàng)正確。同時(shí)，斜面體所受地面的支持力等于三者重力之和，故大小一定不變，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

物體A所受斜面的摩擦力是靜摩擦力，只能對(duì)A進(jìn)行受力分析，依然無(wú)法確定大小和方向，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

方法2明顯比方法1簡(jiǎn)單得多。可見，一個(gè)靜止的物體與一個(gè)做緩慢運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起時(shí)，可視為二者處于“相對(duì)靜止”狀態(tài)。

三、兩個(gè)緩慢運(yùn)動(dòng)的物體連在一起的情形

圖10

【例4】 如圖10所示，A、B兩物體的質(zhì)量分別為mA、mB且mA>mB，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。滑輪的質(zhì)量和一切摩擦均不計(jì)，如果繩一端由Q點(diǎn)緩慢地向左移到P點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)重新平衡后，物體A的高度和兩滑輪間繩與水平方向的夾角θ的變化情況是（ ）。

圖11

A.物體A的高度升高，θ角變大

B.物體A的高度降低，θ角變小

C.物體A的高度升高，θ角不變

D.物體A的高度不變，θ角變小

解析：繩一端由Q點(diǎn)緩慢地向左移到P點(diǎn)的過程中，物體A、B必然也要緩慢移動(dòng)，

雖然移動(dòng)方向不同，但整個(gè)系統(tǒng)仍然處于平衡狀態(tài)，A、B物體仍然保持“相對(duì)靜止”。

共點(diǎn)力將繩一端的固定點(diǎn)Q緩慢向左移到P點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力大小不變。分析動(dòng)滑輪的受力情況，作出受力分析圖，如圖11。由于動(dòng)滑輪兩側(cè)繩子的拉力大小相等，由平衡條件知，兩側(cè)

繩子關(guān)于豎直方向具有對(duì)稱性。

設(shè)繩子的拉力大小為F，兩繩子的夾角為2α，由于動(dòng)滑輪兩側(cè)繩子的拉力關(guān)于豎直方向?qū)ΨQ，則有2Fcosα=mAg，由于F=mBg，保持不變，則得知α保持不變，由幾何知識(shí)知，α+θ=90°，則θ保持不變。當(dāng)繩一端的固定點(diǎn)Q緩慢向左移到P點(diǎn)時(shí)，動(dòng)滑輪將上升，則物體A的高度增大。故C正確，ABD均錯(cuò)，故選C。

四、一個(gè)靜止的物體與兩個(gè)做緩慢運(yùn)動(dòng)的物體疊放在一起的情形

圖12

【例5】 半圓柱體P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的豎直擋板MN。在半圓柱體P和MN之間放有一個(gè)光滑均勻的小圓柱體Q，整個(gè)裝置處于平衡狀態(tài)，如圖12所示是這個(gè)裝置的截面圖?，F(xiàn)使MN保持豎直并緩慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止。則在此過程中，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.MN對(duì)Q的彈力逐漸減小

B.P對(duì)Q的彈力逐漸增大

C.地面對(duì)P的摩擦力逐漸增大

D.Q所受的合力逐漸增大

解析：擋板MN保持豎直并且緩慢地向右平移的過程中，小圓柱體Q也將緩慢地沿著半圓柱體P的表面緩慢下滑，而P始終保持靜止，此三者可看成“相對(duì)靜止”。

圖13

先對(duì)圓柱體Q進(jìn)行受力分析，受力圖如圖13，Q受到重力、桿MN的支持力和半球P對(duì)Q的支持力，其中重力的大小和方向都不變，桿MN的支持力方向不變、大小變，半球P對(duì)Q的支持力方向和大小都變。然后根據(jù)平衡條件并運(yùn)用合成法得到各個(gè)力的變化規(guī)律；最后對(duì)PQ整體受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件得到地面對(duì)整體的摩擦力。

圖14

分析圓柱體Q的受力情況，可知Q受重力、桿MN的支持力和半球P對(duì)Q的支持力作用。

重力的大小和方向都不變，桿MN的支持力方向不變、大小變，半球P對(duì)Q的支持力方向和大小都變，然后根據(jù)平衡條件，得到N1=mgtanθ，N2=mg/cosθ。

由于θ不斷增大，故N1不斷增大，N2也不斷增大，故A錯(cuò)誤，B正確；分析PQ整體的受力情況，可知整體受到總重力、MN桿的支持力N1，地面的支持力N3，地面的靜摩擦力f，如圖14，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，有f=N1=mgtanθ，由于θ不斷增大，故f不斷增大，故C正確；物體Q一直保持靜止，D錯(cuò)誤，故選BC正確。

五、兩個(gè)均做勻速運(yùn)動(dòng)的物體連在一起的情形

圖15

【例6】 如圖15所示，跨過定滑輪的細(xì)繩的兩端懸掛著重物A和B，當(dāng)用一水平力F將A壓在豎直墻上時(shí)，懸掛A的繩恰好豎直。已知物體A重GA=10N，A與墻之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，水平壓力F=5N。要使物體勻速下滑，物體B的重力GB應(yīng)為多大？（不計(jì)細(xì)繩的質(zhì)量及滑輪的摩擦）

解析：由題意知，勻速下滑的物體一定是A，則B一定勻速上升，將二者視為“相對(duì)靜止”。

則豎直墻面給A的滑動(dòng)摩擦力方向豎直向上，從平

衡條件知，摩擦力的大小等于A、B重力的和減去

繩對(duì)定滑輪的拉力（大小為2GB），其大小為fD=μF，聯(lián)立有GA-GB=μF，代入求解可得GB=8N。

圖16

【例7】 如圖16所示，位于水平桌面上的物塊P，由跨過定滑輪的輕繩與物塊Q相連，從滑

輪到P和到Q的兩段繩都是水平的。已知Q與P之間以及P與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都是μ，兩物塊的質(zhì)量都是m，滑輪的質(zhì)量、滑輪軸上的摩擦都不計(jì)。若用一水平向右的力F拉Q使它做勻速運(yùn)動(dòng)，則F的大小為（ ）。

A.μmg B.2μmg

C.3μmgD.4μmg

解析：由題意可知，Q向右做勻速運(yùn)動(dòng)，則P一定向左做

勻速運(yùn)動(dòng)，這樣正反向勻速運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體可以看作“相對(duì)靜止”，即可將P、Q視為一個(gè)整體，受兩繩相等的拉力F0和地面的摩擦力f及拉力F作用，做勻速運(yùn)動(dòng)，有F=2F0-2μmg。

隔離分析Q，由平衡條件得F=F0+μmg。

由以上兩式聯(lián)立解得F=4μmg。

圖17

想一想 如果水平向右的力作用在P上，如圖17所示，其他條件相同，結(jié)果會(huì)發(fā)生變化嗎？

仍然用整體法，同樣有F=2F0+μmg。

再對(duì)Q隔離，進(jìn)行受力分析，由平衡條件得F0=μmg。

同樣聯(lián)立兩式，得同樣的結(jié)果F=4μmg。

綜上所述，當(dāng)物體處于上述幾種情況下的“相對(duì)靜止”時(shí)，和原始的“相對(duì)靜止”一樣，完全可以用整體法進(jìn)行分析。即處于平衡狀態(tài)的非靜止物體系統(tǒng)，在受力分析時(shí)，可視為“相對(duì)靜止”的物體系統(tǒng)來(lái)處理，從而大大簡(jiǎn)化分析求解過程。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]杜志建.高考復(fù)習(xí)講義（修訂版）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2009：28.

[2]杜志建.高考復(fù)習(xí)講義（修訂版）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2009：37.

[3]杜志建.小題狂練（第三版）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2014：12.

[4]杜志建.高中?？紗栴}一本全[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2012：33.

[5]杜志建.高考狀元糾錯(cuò)筆記（修訂版）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2011：12.

[6]鐘山.高考備考工具書[M].沈陽(yáng)：遼寧教育出版社，2010：17.

（責(zé)任編輯 易志毅）