時間分數(shù)階擴散方程的高階Diethelm方法

楊 艷, 王希云

(1. 呂梁學院 數(shù)學系, 山西 呂梁 033000; 2. 太原科技大學 應用科學學院, 山西 太原 030024)

討論以下時間分數(shù)階的擴散方程

a

(1)

式中:x與t分別是空間和時間變量,初邊值條件如下：

u(x,0)=u0(x)

(2)

u(a,t)=φ1(x),u(b,t)=φ2(x)

(3)

Diethelm[4]利用Hadamard 有限部分積分逼近Riemman-Liouville分數(shù)階導數(shù),用線性插值多項式逼近Hadamard有限部分積分,得到了一種有限差分格式,并證明了當u∈C2[0,T]時,截斷誤差為O(τ2-α)(0<α<1).方法實際上和L1方法的結果相同.Ford等[5]應用Diethelm方法求解時間分數(shù)階偏微分方程,證明了當u∈C2[0,T]時收斂階為O(τ2-α).Yan等[6]應用Diethelm方法,用二次插值多項式近似Hadamard有限部分積分,介紹了一種求解線性分數(shù)階微分方程,收斂階為O(τ3-α)(0<α<1)的數(shù)值方法,得到誤差的漸近展開式,但沒有進行誤差估計.Li等[7]給出文獻[6]中求解線性分數(shù)階微分方程的數(shù)值方法的詳細的誤差估計.楊艷等[8]用類似于文獻[6]的方法,得到收斂階為3-α(1<α<2)的分數(shù)階導數(shù)離散格式,應用于圖像放大中,只有實驗結果,沒有穩(wěn)定性的討論.

Gao等[9]直接離散分數(shù)階導數(shù),得到了Caputo分數(shù)階導數(shù)的3-α(0<α<1)階數(shù)值微分公式,并將該公式應用于求解時間分數(shù)階擴散方程,沒有誤差估計.Li等[10]引入了一種3-α(0<α<1)的數(shù)值方法來近似Caputo分數(shù)導數(shù),并在文獻[11-12]中將該方法應用于求解時間分數(shù)對流擴散方程,然而其中的誤差估計和穩(wěn)定性分析只對0<α<1中的部分α成立.Li等[13]用Diethelm得到收斂階為3-α(0<α<1)的分數(shù)階導數(shù)的離散格式，用于時間分數(shù)階的擴散方程，空間用有限元方法對于任意的0<α<1都保證穩(wěn)定性.

本文提出一種基于Diethelm方法的3-α(0<α<1)階差分格式,對區(qū)間內的所有α值都能保證該格式是穩(wěn)定的.

1 分數(shù)階導數(shù)離散方法

先推導方程中Riemman-Liouville分數(shù)階導數(shù)的離散格式,然后根據(jù)其與Caputo分數(shù)階導數(shù)的關系,再得出Caputo分數(shù)階導數(shù)的離散格式.

由于Riemman-Liouville分數(shù)階導數(shù)可以寫成Hadamard有限部分積分[4]:

(4)

將區(qū)間[0,T]劃分為n個子區(qū)間,當t=tk=kτ,(k=1,2,…,n)時,有

(5)

在區(qū)間[w0,w1],用經過三點(w0,g(w0)),(w1,g(w1))和(ws,g(ws))的二次插值多項式近似g(w),其中s為正整數(shù),且2≤s≤k；在區(qū)間(wi-1,wi](i=2,3,…k),用經過三點(wi-2,g(wi-2)),(wi-1,g(wi-1))和(wi,g(wi))的二次插值多項式近似g(w).即,在區(qū)間[w0,w1]上,

(6)

在區(qū)間(wi-1,wi]上,

(7)

另一方面,由于0<α<1,w0=0是被積函數(shù)w-α-1g2(w)的奇異點,故在區(qū)間[w0,w1]上使用 0<α<1的Hadamard有限部分積分定義式(4),有

將式(6)代入上式,有

(8)

式中

(9)

同時,其他部分積分為正常積分,即

(10)

式中

(11)

Qi=2i2-α-2(i-1)2-α-2(2-α)i1-α+

2(2-α)(1-α)(i-1)1-α

(12)

(13)

將式(8～13)代入式(5),得

再將g(wi)=u(tk-i)代入上式整理,得以下引理.

引理1當0<α<1時,假設函數(shù)u∈C3[0,T],有以下成立,其中s≥2,

(14)

當k=2時,

當k=3時,

當k≥4時,

同時注意到s≥2,上式關于s單調.當s=2時,

當s→+∞時,

2) 當i=1,2,…k,i≠s時,由式(11～13),有

記v(i)=μ(i+1)-μ(i),有v(i)>0,于是上式可整理為

記ε(i)=v(i+1)-v(i),有ε(i)>0,于是上式可整理為

3) 不妨設u(t)=1,當t=tk時,

另一方面,由于u(t)=1,有u?(t)=0,于是

(18)

整理得

證畢.

(19)

2 方程的隱式差分格式

uxx(xj,tk)=

(20)

(21)

(22)

將邊界和初始條件離散為

式中：j=1,2,…,m-1;k=1,2,…,n.

將差分格式(22)寫成矩陣形式如下:

k=1,2,…,n

式中

由引理1中式(15),及c>0有以下結論.

定理1矩陣A是嚴格對角占優(yōu)的.

定理1顯然成立,故矩陣A是可逆的,即式(22)是可解的.

3 隱式差分格式的穩(wěn)定性和收斂性

3.1 隱式差分格式解的穩(wěn)定性

即

證明用數(shù)學歸納法證明.

步驟1 證明k=1時結論成立.

當k=1時,式(22)可以整理為

j=1,2,…,m-1

(25)

將式(25)代入,可得

由引理2中式(17)取k=1,得

再由Γ(1-α)>0,將‖U1‖∞繼續(xù)整理,可得

即,當k=1時,結論成立.

步驟2 假設當1

i=2,3,…,k-1

下面證明當結論對i=k成立.

與k=1時的情況相同,可得

再由式(15),得

由式(17),有以下成立,

證畢.

3.2 隱格式的收斂性

(26)

由E0=0和定理2,可以得以下收斂性定理.

O(τ3-α+h2)

4 數(shù)值算例

考慮方程,

初邊值條件如下:

該方程的精確解為u(x,t)=t3x(1-x).

表1 誤差和時間的收斂階

運算結果表明,收斂階符合3-α.且隨著α增加,s增加,而時間節(jié)點數(shù)需大于s,因此α=0.9沒有舉例驗證.

本文應用Diethelm方法,將Riemman-Liouville分數(shù)階導數(shù)寫成Hadamard有限部分積分,將積分區(qū)間分割,每個區(qū)間用二次插值多項式逼近,得到Riemman-Liouville分數(shù)階導數(shù)的離散格式.利用Riemman-Liouville與Caputo分數(shù)階導數(shù)的關系,得到模型(1～3)的隱式差分格式,并證明根據(jù)α取值的不同,當s取足夠大的值時,該隱式差分格式是無條件穩(wěn)定和收斂的,可以保證在差分方法中,該離散格式對于任意的α都適用.進一步地,可以用更高次的多項式插值得到高階的收斂格式,需對函數(shù)的光滑性有更高要求.