邊際效用的混沌性分析

周紹妍

【摘要】針對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象從表面看具有極不規(guī)則的特征，這為試圖用混沌理論和方法來研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)提供了條件.通過引入邏輯斯蒂經(jīng)濟(jì)模型，對凱恩斯三大經(jīng)典理論之一 ——邊際效用論進(jìn)行描述，最后根據(jù)混沌吸引子，周期分岔理論通過模型對其進(jìn)行了在不同參數(shù)的取值情況下所產(chǎn)生的混沌道路及吸引子的分析.結(jié)果表明：系統(tǒng)運(yùn)動的周期變化行為是一種有序狀態(tài)，但經(jīng)過周期加倍，會逐漸喪失周期性而進(jìn)入混沌狀態(tài).

【關(guān)鍵詞】LiYorke混沌；迭代；邏輯斯蒂模型；邊際效用；積累效應(yīng)

一、混沌的基本理論

1975年，美籍華人李天巖與其導(dǎo)師Yorke在一篇題為《Period Three Implies Chaos》的論文中第一次用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言給“混沌”下了定義，深刻揭示了從有序到混沌的演化過程.設(shè)f是度量空間X，d到自身的連續(xù)映射，x，y∈X.如果滿足：

limn→∞ infdfnx，fny=0

limn→∞ supdfnx，fny>0

則稱x，y為f的LiYorke對；如果一個不少于兩點(diǎn)的子集中任何不同兩點(diǎn)均是f的LiYorke對，則稱該集合為f的LiYorke混沌集；如果有一個由不可數(shù)多點(diǎn)構(gòu)成的LiYorke混沌集，則稱它為LiYorke混沌.

二、簡單的混沌經(jīng)濟(jì)模型

混沌經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為邏輯斯蒂方程（Logistic equation）能夠反映出經(jīng)濟(jì)增長過程中許多要素的變換規(guī)律，是描述動態(tài)系統(tǒng)的最簡練最直接的經(jīng)濟(jì)模型.它的結(jié)構(gòu)是：xt+1=xtμ（1-xt），其中xt∈（0，1），μ∈（0，4）.其中xt是一個混沌經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)生變量，μ是xt的控制參數(shù)，t是變換次數(shù)，邏輯斯蒂方程證明了變量xt具有倍周期分叉的規(guī)律，確定了菲根鮑姆常數(shù)δ=4.6692，發(fā)現(xiàn)xt與μ之間的關(guān)系可以用分叉圖表示.而倍周期分叉是進(jìn)入混沌的道路之一.

三、邊際效用描述

邊際效用是指某商品的消費(fèi)量每增（減）一個單位，所引起的總效用的增（減）量.公式為：MU=ΔTUΔQ.也就是說，邊際效用是指所消費(fèi)物品之一定數(shù)量中最后增加的那個單位提供的效用.在不同時期，對于同種產(chǎn)品由于消費(fèi)者購買數(shù)量和消費(fèi)次數(shù)的不同，邊際效用值是波動的，具有很大的隨機(jī)性.

四、建立邊際效用的Logistic模型

經(jīng)濟(jì)學(xué)理論研究表明，消費(fèi)者在一定時期內(nèi)消費(fèi)某種商品的數(shù)量，是決定總效用的主要因素.n+1時期購買某種商品的總效用與n時期的購買同種商品的數(shù)量有關(guān).n+1時期的總效用與n時期的購買數(shù)量的關(guān)系如下：

TUn+1=b+βQn 其中b和β都是常數(shù)（4.1）

對不同時期的總效用與消費(fèi)數(shù)量變動，用差分方程可表示為：

ΔTUn+1=ΔQn（4.2）

將式（4.2）代入（4.1）得到不同時期總效用變動比率與消費(fèi)數(shù)量變動的關(guān)系式：

MUn+1=βΔQnΔQn+1（4.3）

然后應(yīng)用結(jié)構(gòu)乘數(shù)方程的模型來表示n+1時期和n時期的商品消費(fèi)數(shù)量變動，可以得到：

ΔQn+1=RΔQ0MUn+1（1-MUn+1）（4.4）

ΔQn=R′ΔQ′0MUn（1-MUn）（4.5）

其中，ΔQn+1和ΔQn表示n+1期和n期的消費(fèi)商品數(shù)量變動值，ΔQ0和ΔQ′0表示n+1期和n期的最初消費(fèi)數(shù)量，R和R′是系數(shù)，與最初的購買次數(shù)有關(guān)，把式（4.4）、（4.5）分別代入式（4.3），整理得：

MUn+1=1-（dβ）MUn（1-MUn）（4.6）

其中，d=RΔQ0R′ΔQ′0（4.7）

式（4.6）表明，n+1期的邊際效用與d，β和MUn的取值有關(guān).我們不妨設(shè)dβ為常數(shù)項，設(shè)MUn=xn，以此來迭代MUn+1與MUn之間的關(guān)系.如果設(shè)最初消費(fèi)數(shù)量ΔQ0和ΔQ′0為單位數(shù)量，考慮R和R′無變化，使ΔQ0=ΔQ′0，R=R′，則由式（4.6）可推出：

即：fxn=1-gxn（4.10）

式（4.10）是邊際效用的函數(shù)式，不難看出式（4.9）變化軌跡可反映出式（4.10）變化軌跡.

五、分析邊際效用的混沌特性

針對已經(jīng)建立的邊際效用的邏輯斯蒂模型，通過式（4.9）對fxn逐步進(jìn)行分析：

1.分析當(dāng)β≥1時，邊際效用有兩個吸引子：x=1和x=β，其中穩(wěn)定不動點(diǎn)是x=1，排斥不動點(diǎn)是x=β.fxn有周期1解.也就是說，不論初值如何取值，邊際效用函數(shù)總是趨向于x=1處變化.

2.分析當(dāng)13<β<1時，邊際效用仍然有兩個吸引子：x=1和x=β，此時穩(wěn)定不動點(diǎn)變成x=β，而排斥不動點(diǎn)是x=1.

3.分析當(dāng)11+6<β<13時，邊際效用有4個吸引子.其中x=1和x=β是穩(wěn)定不動點(diǎn)，另外兩個是排斥不動點(diǎn).fxn有周期2解.即：無論初值如何取值，邊際效用總是趨向于另外兩個不動點(diǎn)收斂.

4.分析當(dāng)0.2822…<β<1+6時，邊際效用有八個吸引子，fxn有周期4解.

5.分析當(dāng)β繼續(xù)變小下去時，fxn依次出現(xiàn)周期8解，周期16解……

6.分析當(dāng)β→0.2801 時，分析不動點(diǎn)，已經(jīng)找尋不到規(guī)律.此時的不動點(diǎn)通過倍周期分叉道路，進(jìn)入混沌.

7.分析當(dāng)β=0.2612…時，fxn存在周期3解，此時，混沌和周期交替出現(xiàn).

通過以上研究，我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動的周期變化行為是一種有序狀態(tài)，但這種有序狀態(tài)不是永恒持續(xù)下去的，當(dāng)系統(tǒng)在一定前提下，經(jīng)過周期加倍，會逐漸喪失周期性而進(jìn)入混沌狀態(tài).如果一個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，就意味著內(nèi)部結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了問題，處于混沌狀態(tài)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是脆弱的，勢必引發(fā)無法預(yù)期的經(jīng)濟(jì)波動.

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃潤生.混沌及其應(yīng)用[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.

[2]吉蘊(yùn)，李祖平.邏輯斯蒂模型及其應(yīng)用[J].濰坊學(xué)院學(xué)報，2010（7）.