與圓錐曲線焦點弦斜率有關(guān)的定值問題再探究

薛燕

【摘要】圓錐曲線在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著舉足輕重的地位，而關(guān)于圓錐曲線定值問題一直是高考命題中的一大熱點.文[1]從2013年山東卷理科22題第（3）問出發(fā)，推廣得到了圓錐曲線一個統(tǒng)一的性質(zhì).拜讀文[1]后，筆者深受啟發(fā)，將其結(jié)論進(jìn)行了深入推廣，研究了圓錐曲線的切線及特殊割線的斜率與焦點弦斜率之間的定值問題，得到了一系列美妙的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；定值；斜率

一、問題再現(xiàn)

橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為32，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

此題是2013年山東卷理科第22題，這道題以橢圓為載體，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、兩點間距離公式、點到直線的距離公式和換元法等知識，同時考查了數(shù)學(xué)探究能力.題目設(shè)計新穎，內(nèi)涵豐富，是研究性學(xué)習(xí)的好素材.文[1]對第（3）問進(jìn)行了推廣，得到以下結(jié)論.

定理1 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點.連接PF1，PF2，過點P作斜率為k的直線l，使得直線l與橢圓C相切，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，則1k·k1+1k·k2為定值-2a2b2.

定理2 設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線C上除實軸端點外的任一點.連接PF1，PF2，過點P作斜率為k的直線l，使得直線l與雙曲線C相切，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，則1k·k1+1k·k2為定值2a2b2.

上述兩個定理亦可以推廣到拋物線，得到以下結(jié)論.

定理3 設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線交x軸于F1，焦點為F2.點P是拋物線C上除頂點外任一點.過點P作斜率為k的直線l，使得直線l與拋物線C相切，則1k·kPF1-1k·kPF2為定值1.

二、探究推廣

探究1：以上三個定理揭示了圓錐曲線切線的斜率與焦點弦的斜率之間存在定值關(guān)系.自然而然，我們會思考圓錐曲線割線的斜率與焦點弦的斜率之間是否也存在某種定值關(guān)系呢？顯然，若是任意割線的斜率與焦點弦的斜率之間很難找到定值關(guān)系.筆者借助TInspire CAS圖形計算器，將圓錐曲線的割線特殊化，探究過焦點的割線斜率與焦點弦的斜率之間是否存在某種定值關(guān)系呢？

探究2：因拋物線只有一個焦點，定理4、5不能在拋物線中推廣.但筆者覺得意猶未盡，再次思考，還有哪些特殊割線的斜率與焦點弦的斜率存在定值關(guān)系呢？通過借助TInspire CAS圖形計算器，在圖形中拖動割線l的位置，考慮用準(zhǔn)點（規(guī)定圓錐曲線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點叫準(zhǔn)點）代替焦點，研究當(dāng)割線經(jīng)過圓錐曲線準(zhǔn)點時的情況，是否存在割線斜率與焦點弦斜率之間的定值關(guān)系呢？

定理6 設(shè)圓錐曲線Γ（焦點在x軸）的離心率為e，焦點F所對應(yīng)的準(zhǔn)點為G（規(guī)定在橢圓或雙曲線中左（右）焦點對應(yīng)左（右）準(zhǔn)點），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過圓錐曲線Γ的準(zhǔn)點G，并交圓錐曲線Γ于P，Q兩點，則1e2-k2·kkPF-kkQF為定值2.

上述定理證明方法與定理4類似，限于篇幅，不贅述.

探究3： 上述定理研究了割線經(jīng)過準(zhǔn)點的情況.固然，焦點和準(zhǔn)線是圓錐曲線最本質(zhì)的兩個幾何要素，而類焦點、類準(zhǔn)線知識為我們探索圓錐曲線的性質(zhì)提供了一個新的視角.筆者運用類焦點、類準(zhǔn)線的知識將上述定理6又作了進(jìn)一步推廣.

我們將點F（t，0）、直線l：x=a2t稱為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）和雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的類焦點、類準(zhǔn)線（橢圓中0<|t|a），相應(yīng)的點Ga2t，0稱為類準(zhǔn)點；將點F（t，0）、直線l：x=-t（t>0）稱為拋物線y2=2px（p>0）的類焦點、類準(zhǔn)線，相應(yīng)的點G（-t，0）稱為類準(zhǔn)點.

定理7 已知定點F和定直線l是圓錐曲線Γ（焦點在x軸）的一對類焦點和類準(zhǔn)線，過類準(zhǔn)點G作斜率為k（k≠0）的割線交圓錐曲線Γ于P，Q兩點，則

（1）當(dāng)圓錐曲線Γ為橢圓時，1b2t2-a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF為定值2ab；

（2）當(dāng)圓錐曲線Γ為雙曲線時，1b2t2+a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF為定值2ab；

（3）當(dāng)圓錐曲線Γ為拋物線時，1p-2tk2·kkPF-kkQF為定值2p.

三種圓錐曲線統(tǒng)一的定義（平面內(nèi)到定點與定直線距離的比為常數(shù)e的點的軌跡）揭示了它們內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系；而對三種圓錐曲線如法炮制的研究方法，部分類似相通的幾何性質(zhì)正是內(nèi)在聯(lián)系顯現(xiàn)的外在統(tǒng)一.圓錐曲線內(nèi)在的和諧統(tǒng)一決定了它們還有更多優(yōu)美的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ骄颗c挖掘.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王鋒峰，戚有建.關(guān)于2013年山東卷理科壓軸題的思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（6）.