莫入“數(shù)形結(jié)合”的誤區(qū)

司春炎

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式.作為中學(xué)數(shù)學(xué)極為重要的思想方法——“數(shù)形結(jié)合”，它把代數(shù)式的精確刻畫(huà)和幾何圖形的直觀描述結(jié)合起來(lái)，有利于幾何問(wèn)題代數(shù)化，代數(shù)問(wèn)題幾何化，進(jìn)而促使學(xué)生把抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合起來(lái)，從而使得復(fù)雜問(wèn)題獲得簡(jiǎn)單的解法.但在實(shí)際操作中，學(xué)生常因方法不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤百出.因此，本文結(jié)合具體案例，談?wù)剬W(xué)生在“數(shù)形結(jié)合”時(shí)常常出現(xiàn)的誤區(qū).

誤區(qū)一：“形”有余而“數(shù)”不足

圖 1例1 拋物線y2=8x與圓（x-a）2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析及解 這是一道很容易讓考生犯錯(cuò)誤的題.有學(xué)生是這樣解的：如圖1，當(dāng)a<-2時(shí)，圓與拋物線顯然沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，由

y2=8x（x-a）2+y2=4x2+8-2ax+a2-4=0（*）.

原題等價(jià)于方程（*）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

∴Δ<0，得a>52.

綜上，當(dāng)a∈-∞，-2∪52，+∞時(shí)，該圓與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

僅從解法上看，該題好像沒(méi)問(wèn)題.但在上述解法中，其實(shí)是“形”有余而“數(shù)”不足，所畫(huà)的圖形是不正確的（如果正確畫(huà)圖，圓與拋物線只能相切于拋物線的頂點(diǎn)）.

正確解法：圓心A（a，0）在y軸左側(cè)時(shí)，由圖可知當(dāng)a<-2，圓與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

圓心A（a，0）在y軸右側(cè)時(shí)，作圖無(wú)法精確，需要用計(jì)算的方法.

設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P（x，y），此時(shí)等價(jià)于PA>2對(duì)x≥0恒成立.

∴PA2=（x-a）2+y2=（x-a）2+8x=x-a-42+8a-16>4對(duì)x≥0恒成立，

當(dāng)a-4>0，即a>4時(shí)， 得8a-20>0，解得a>52， ∴a>4；

當(dāng)a-4≤0，即a≤4時(shí)， 得0-a-42+8a-20>0，此時(shí)為2

∴a>2.綜上得：a<-2或a>2時(shí)，該圓與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

啟示：以上例子說(shuō)明，對(duì)數(shù)據(jù)的科學(xué)分析，是用數(shù)形結(jié)合方法正確解題的基礎(chǔ).要注意畫(huà)圖的準(zhǔn)確性、完整性和對(duì)圖形觀察的細(xì)致，并注意結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)完成.否則，忽視“數(shù)”去孤立地研究“形”，僅憑隨意的幾何作圖，數(shù)據(jù)分析不足，常會(huì)導(dǎo)出錯(cuò)誤的答案.

誤區(qū)二：“數(shù)”有余而“形”不足

圖 2例2 已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-2x的零點(diǎn)在區(qū)間（k，k+1），k∈Z，則k=.

分析及解 不少同學(xué)是這樣解的：發(fā)現(xiàn)f（1）=ln2-2<0，f（2）=ln3-1>0，且f（x）連續(xù)，由零點(diǎn)存在定理，f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，∴k=1.

答案果真如此嗎？ 其實(shí)問(wèn)題出在“數(shù)”有余而“形”不足，只顧埋頭算“數(shù)”，卻忽視了研究“形”.

實(shí)際上，f（x）=0即為ln（x+1）=2x，即等價(jià)于函數(shù)y=ln（x+1）的圖像和函數(shù)y=2x的圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在什么區(qū)間內(nèi)，由圖2易知，這兩個(gè)圖像共有兩個(gè)交點(diǎn)，y軸右邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)由上可知在區(qū)間（1，2）內(nèi)，而在區(qū)間（-1，0）內(nèi)也有一交點(diǎn)，而這點(diǎn)正是上面錯(cuò)誤解法中所遺漏的解，∴正確答案應(yīng)是k=1或-1.

啟示：解題時(shí)若“數(shù)”有余而“形”不足，未能對(duì)圖形的變化情況進(jìn)行全面的分析，常使解法不夠全面，容易產(chǎn)生増解、漏解或重解.

誤區(qū)三：強(qiáng)行“結(jié)合”果難料

例3 設(shè)a>0，且a≠1，試求方程loga（x-ak）-12loga（x2-a2）=0有解時(shí)k的取值范圍.

圖 3分析及解 本題很多參考資料都將它作為一條經(jīng)典數(shù)形結(jié)合的題目來(lái)解決：

原方程等價(jià)于x-ak=x2-a2（其中x-ak>0，x2-a2>0）.

即等價(jià)于直線y=x-ak在x軸上方的部分與雙曲線x2a2-y2a2=1在x軸上方的部分這兩個(gè)函數(shù)圖像有交點(diǎn)，由圖3可得：

-a<-ak<0或-ak>a.∴0

以上解法雖然無(wú)誤，但作圖要求頗高，還要注意其漸近線方程的斜率，使用“數(shù)形結(jié)合”并不簡(jiǎn)潔，學(xué)生不易得到正確答案.

實(shí)際上，原方程即為： （x-ak）2=x2-a2x-ak>0x2-a2>0∴x=a+ak22k>ak，∴0

啟示：用“數(shù)形結(jié)合”思想指導(dǎo)解題，應(yīng)該達(dá)到簡(jiǎn)潔明快的效果.如果達(dá)不到這種效果，甚至造成解法更為煩瑣，不問(wèn)解題是否需要，強(qiáng)行結(jié)合搞形式主義，那就無(wú)異于畫(huà)蛇添足，失去了“數(shù)形結(jié)合”的意義.

形是數(shù)的翅膀，數(shù)是形的靈魂.“數(shù)形結(jié)合”貴在結(jié)合，我們要充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)，既要關(guān)注“形”的直觀性，又要關(guān)注“數(shù)”的準(zhǔn)確性，莫入“數(shù)形結(jié)合”的誤區(qū)，將“形助數(shù)”與“數(shù)定形”充分結(jié)合，做到真正的數(shù)形結(jié)合，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解.