構(gòu)造輔助函數(shù)在不等式證明中的應用

陳紅

【摘要】構(gòu)造法是高等數(shù)學中常用的分析技巧，尤其在不等式的證明中起到很重要的作用，本文通過分析，并且應用實例來說明構(gòu)造輔助函數(shù)在不等式證明中的應用.

【關(guān)鍵詞】輔助函數(shù)；不等式；單調(diào)性；中值定理；凹凸性；泰勒公式

不等式的證明沒有固定的模式可以套用，它的方法靈活多樣，技巧性強，綜合性高，其中通過適當?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù)來證明不等式，可以達到事半功倍的效果.現(xiàn)舉例如下：

一、利用單調(diào)性證明f（x）>g（x）

要證：在（a，b）內(nèi)，有f（x）>g（x），需要設輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）.

例1 設x∈（0，1），證明（1+x）ln2（1+x）

證明 令F（x）=（1+x）ln2（1+x）-x，則有F（0）=0，

則F′x=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，F(xiàn)′（0）=0，

則F″x=21+xln（1+x）-x，F(xiàn)″（0）=0，

F（x）=-2ln（1+x）（1+x）2<0，x∈（0，1）.

當x∈（0，1）， F″（x）

所以F′（x）<0，從而 F（x）<0，即（1+x）ln2（1+x）

二、利用函數(shù)的凹凸性證明f（x）>g（x）

作輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），具有F（a）=F（b）=0與F″（x）<0，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)曲線F（x）開口向下，因此在區(qū)間（a，b）內(nèi)F（x）>0，即f（x）>g（x）.

例2 求證：當0xπ.

證明 令f（x）=sinx2-xπ，則f（0）=f（π）=0，

f′（x）=12cosx2-1π，f″（x）=-14sinx2，

所以f″（x）<0，即曲線f（x）在區(qū)間（0，π）內(nèi)向上凸，即當x∈（0，π）時，f（x）>0.因此sinx2>xπ.

三、用拉格朗日定理證明不等式

要證明同一個函數(shù)在兩個不同點的函數(shù)值滿足的不等式，用拉格朗日定理.

例3 設e4e2（b-a）.

證明 F（x）=ln2x在a，b使用拉格朗日中值定理，

存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，即2lnξξ=ln2b-ln2ab-a.

要證2lnξξ>4e2，利用單調(diào)性.

令φ（t）=2lntt，φ′（t）=2-2lntt2=21-lntt2<0，（e

所以φ（t）在（e，e2）內(nèi)單調(diào)遞減，于是φ（t）>φ（e2）=2lne2e2=4e2，

即φ（ξ）>4e2，2lnξξ>4e2，

因此ln2b-ln2ab-a>4e2，于是ln2b-ln2a>4e2（b-a）.

四、利用最值證明不等式

要證明在區(qū)間a，b上f（x）>g（x），只要構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）證明在區(qū)間a，b上的最小值F（x0）≥0.

例4 設f″（x）>0，求證：f（a+h）+f（a-h）≥2f（a）.

證明 設函數(shù)F（h）=f（a+h）+f（a-h），

則F′（h）=f′（a+h）-f′（a-h），F(xiàn)″（h）=f″（a+h）+f″（a-h）.

令F′（h）=0，得h=0.因f″（x）>0，則F″（h）>0.

所以Fh向上凸，又因h=0是函數(shù)Fh的唯一駐點，也是函數(shù)Fh的最小值點，

又F（0）=2f（a），所以F（h）≥F（0），即f（a+h）+f（a-h）≥2f（a）.

五、用泰勒公式證明不等式

當題目涉及函數(shù)的二階以上的導數(shù)并給出了同一點的函數(shù)值，一階至二階導數(shù)值時，可用泰勒公式證明有關(guān)不等式.

例5 設函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)二階可導，如果f″（x）<0，

求證：對任意的x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，

有fx1+x22>12f（x1）+f（x2）.

（如果f″（x）>0，則fx1+x22<12f（x1）+f（x2））

證明 由泰勒公式得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（ξ）2（x-x0）2.

（ξ介于x0與x之間）

因f″（x）<0，所以f（x）

取x0=x1+x22，則f（x）

分別將x=x1，x=x2代入上式，得

f（x1）

f（x2）

將上面兩式相加，得fx1+x22>12f（x1）+f（x2）.

以上總結(jié)了高等數(shù)學中構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式常用的幾種方法，當然，不等式的題目種類繁多，變化多端，大家在遇到題目的時候，還需要根據(jù)具體問題進行具體的分析，按照題目本身的特點來選擇，嘗試找出最適合最簡單的解決方法.

【參考文獻】

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