淺析在線性代數(shù)中的反例和反證法

張少波

【摘 要】 線性代數(shù)是理工科最為基礎(chǔ)的一項(xiàng)基本學(xué)科，學(xué)習(xí)的進(jìn)程中，反例法和反證法在一定程度上可以加深學(xué)生對(duì)某些知識(shí)的理解，從而降低學(xué)生對(duì)其掌握的難度，是一種比較具有說服力的方法。

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù);反例法;反證法

【中圖分類號(hào)】G64.23 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）15-000-01

線性代數(shù)在高校教育中針對(duì)理工科學(xué)生是一門必修課，學(xué)好線性代數(shù)這一門課可以說是很重要的一件事情，而本文針對(duì)線性代數(shù)中的反例和反證法進(jìn)行了討論，從而通過這種方式來幫助大家對(duì)學(xué)習(xí)中遇到的某些難題進(jìn)行有效的解讀，進(jìn)而提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。

一、反例在線性代數(shù)中的應(yīng)用

1.反例的實(shí)質(zhì)

反例就是滿足某個(gè)問題的已知條件，而又不滿足該問題結(jié)論的例子，可以明顯的判斷出該問題結(jié)論不成立，也就是說，反例是用來說明某個(gè)問題結(jié)論不成立的例子。在線性代數(shù)中，結(jié)合反例可以加深對(duì)某些結(jié)論、命題的理解。

2.反例的應(yīng)用舉例

線性代數(shù)中有很多的結(jié)論與中學(xué)代數(shù)所學(xué)結(jié)論不同，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)這些結(jié)論的理解不是很透徹，在此結(jié)合反例可以加深學(xué)生對(duì)這些結(jié)論的理解，使線性代數(shù)的學(xué)習(xí)變得更加有趣，更能拓展學(xué)生的思維。

例1.

該結(jié)論不成立。反例：設(shè)、，我們可求得，而，顯然，，所以該結(jié)論不成立。而我們不難驗(yàn)證。

例2.若、均不可逆，則也不可逆。

該結(jié)論不成立。反例：設(shè)、，顯然與均不為零，所以，、均不可逆，而，，所以可逆，所以該結(jié)論不成立。

例3.與一個(gè)矩陣相似的矩陣是不是唯一的？

不唯一。反例：設(shè)、、，容易得出、都是可逆的，并且，，于是有：

，所以與相似，

，所以與相似，

可見，與一個(gè)矩陣相似的矩陣不是唯一的。

在反例法中，要明確自己所做的反例的目的，在做反例的過程中，也可以對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行加深和鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果。

二、反證法在線性代數(shù)中的應(yīng)用

1.反證法的實(shí)質(zhì)

反證法是一種從相反方向證明的方法，它是先假設(shè)在已知條件下所給的結(jié)論不成立，進(jìn)而從假設(shè)推導(dǎo)出與已知條件或假設(shè)明顯矛盾的結(jié)果，從而得出原有結(jié)論成立過程。利用反證法可以使一些結(jié)論的證明簡單易懂，在唯一性、否定性等命題中，反證法的應(yīng)用尤其多見。

2.反證法的應(yīng)用舉例

線性代數(shù)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)就是定理與結(jié)論較多，而對(duì)定理與結(jié)論的證明很多學(xué)生感到很難，與反例類似，從反方向入手，利用反證法來進(jìn)行證明可以說簡單易懂，從而降低了證明的難度。

例4.若方陣可逆，則它的逆矩陣是唯一的。

證明：假設(shè)的逆矩陣不唯一，即、都是的逆矩陣，且，則由逆矩陣的定義可知：，，所以：，即，與假設(shè)矛盾，所以，的逆矩陣是唯一的。

例5.設(shè)3維向量組，，線性無關(guān)，試證在每個(gè)向量上添加一個(gè)分量，得到的4維向量組，，也線性無關(guān)。

證明：假設(shè)向量組線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，

，，使得，將它寫成分塊形式得：，于是有，因此線性相關(guān)，這與已知條件線性無關(guān)矛盾，所以向量組線性無關(guān)。

在日常學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到很多的定理和命題的證明，而反證法可以加深我們對(duì)命題的理解。反證法在邏輯學(xué)上的合理性，決定了反證法在線性代數(shù)上的使用的合理性，在簡要說明了論證的合理性的時(shí)候，將所要表達(dá)的問題進(jìn)行有力的反向證明，從而對(duì)問題進(jìn)行解釋。這種解題方法有著極其獨(dú)到的見解。

三、結(jié)語

結(jié)合線性代數(shù)教學(xué)可以很明顯的體現(xiàn)出反例和反證法對(duì)學(xué)生理解一些比較困難的知識(shí)點(diǎn)是有很大幫助的。正因?yàn)榉蠢c反證法的種種優(yōu)勢，在解題中的運(yùn)用它們很輕松的就可以將問題進(jìn)行解答。在恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用反例和反證法中，學(xué)生和教職人員都可以利用其簡便性對(duì)線性代數(shù)中的各種問題進(jìn)行抽象性的解答，其在教學(xué)中的針對(duì)性較為廣泛，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維有一定的效果。

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