淺談平面向量數(shù)量積求解的幾種途徑

魏智琴

【摘要】平面向量數(shù)量積是平面向量一章中的重要內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等章節(jié)知識(shí)的交匯點(diǎn)，也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)，許多學(xué)生在解此類題時(shí)感覺(jué)困難，究其原因，就是學(xué)生對(duì)數(shù)量積的概念理解不透徹，下面就求解方法歸納如下.

【關(guān)鍵詞】平面向量；數(shù)量積；求解方法

一、定義法

從定義來(lái)看求兩個(gè)非零向量的數(shù)量積關(guān)鍵要弄清楚兩向量的模和夾角；若從數(shù)量積的幾何意義來(lái)看就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

例1（1）在△ABC中，a=5，b=8，C=π3，則BC·CA=.

（2）已知圓O：x2+y2=4，直線l：x-3y+3=0與圓O交與A，B兩點(diǎn)，則OA·OB=.

解（1）如圖1，在△ABC中，BC·CA=BCCAcos（π-C）=5×8×-12=-20.

圖1

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OC垂直于AB于點(diǎn)C，由點(diǎn)到直線的距離公式可得OC=310，在Rt△OAC中，cos∠AOC=3210，則cos∠AOB=2cos2∠AOC-1=2×32102-1=-1120，從而OA·OB=OA·OBcos∠AOB=2×2×-1120=-115.

圖2

二、坐標(biāo)法

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2.用此方法解決向量數(shù)量積問(wèn)題，必須先建立合適的平面坐標(biāo)系，把向量坐標(biāo)化.

例2（1）如圖3，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn).則AN·MP的取值范圍為.

圖3

（2）如圖4，在ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則AP·DM的取值范圍是.

圖4

解（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸和y軸建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，易知A（1，0），N0，12，M12，12，設(shè)P（x，y），則x≥0，y≥0，x+y≤1，AN=-1，12，MP=x-12，y-12，所以AN·MP=-x+12y+14.

圖5

根據(jù)線性規(guī)劃可得AN·MP∈-34，34.

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D12，32，M（1，0），設(shè)Px，3212≤x≤52.

圖6

所以AP=x，32，DM=12，-32.

從而AP·DM=x，32·12，-32=12x-34.

因?yàn)?2≤x≤52，所以AP·DM∈-12，12.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)向量的模或夾角不明確，且所給平面圖形方便建立直角坐標(biāo)系，并容易寫(xiě)出各涉及點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常常利用坐標(biāo)法將向量坐標(biāo)化求數(shù)量積.

三、分解轉(zhuǎn)化基底法

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中我們把不共線的兩個(gè)向量e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

例4在Rt△ABC中，C=90°，AC=4則AB·AC=.

解C=90°，AC·CB=0，AB·AC=（AC+CB）·AC=AC2+AC·CB=42=16.

例5如圖7，在四邊形ABCD中，AC=3，BD=1，（AB+DC）·（AC+BD）=.

圖7

解因?yàn)锳C與BD不共線，所以AC，BD.

可以作為平面所有向量的一組基底.

所以（AB+DC）·（AC+BD）=[（AC+CB）+（BC-BD）·（AC+BD）]=[（AC-BD）·（AC+BD）]=AC2-BD2=3-1=2.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)向量的?；驃A角不明確，且建立直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)不易寫(xiě)出，而題目已知兩條線段的長(zhǎng)時(shí)，常常以這兩個(gè)向量作為平面上所有向量的一組基底，將要求的向量通過(guò)構(gòu)造三角形，借助三角形法則，轉(zhuǎn)化為基底的和或差，從而使問(wèn)題得到解決.