出奇制勝百戰(zhàn)百勝

張煥萍

【摘要】平面向量是高考中的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，但其解題策略主要包含幾個(gè)意識(shí)，主要有基底意識(shí)，坐標(biāo)意識(shí)，幾何意識(shí)，投影意識(shí)，內(nèi)積意識(shí)，這對(duì)解決向量問(wèn)題有很大的幫助.

【關(guān)鍵詞】平面向量；基底意識(shí)；坐標(biāo)意識(shí)；幾何意識(shí)；投影意識(shí)；內(nèi)積意識(shí)

綜觀對(duì)近幾年高考題中平面向量的思考，發(fā)現(xiàn)平面向量的考題中常會(huì)涉及向量的長(zhǎng)度、夾角、和、差、數(shù)量積、投影等概念和知識(shí)點(diǎn)，向量試題有越來(lái)越綜合、越來(lái)越靈活的趨勢(shì)，因而在解題方法和解題工具的選擇上尤為顯得重要，選擇不恰當(dāng)?shù)姆椒?，?huì)比較費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，且不得要領(lǐng)；選擇恰當(dāng)時(shí)，題目甚至可以被“秒殺”，所以在具體的平面向量解題中，對(duì)向量解題意識(shí)的培養(yǎng)極其重要.

1.基底意識(shí)

由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)任意一向量都可用同一組基底進(jìn)行唯一表示，選取恰當(dāng)?shù)幕?，?shù)形結(jié)合，用已知的基底來(lái)表示所涉及處理的向量，讓問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知基底的運(yùn)算.這種未知向已知的轉(zhuǎn)化，充分展示基底方法的優(yōu)越性.

圖1

例1如圖1，在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，AB=3AD，AE=EC，求BE·CD的值.

分析直接求BE·CD的值需知道BE與CD的模及夾角，顯然無(wú)法得到，因已知條件可知線段AB，AC的長(zhǎng)與夾角.故選擇適當(dāng)?shù)膬刹还簿€向量來(lái)表示所求的BE與CD，記AB=a，AC=b，則|a|=3，|b|=4，a·b=6，BE=12b-a，CD=13a-b，∴BE·CD=12b-a·13a-b=76a·b-12|b|2-13a2=-4.

2.坐標(biāo)意識(shí)

將平面向量數(shù)量化，向量的坐標(biāo)表示就是一種具體表現(xiàn)，它簡(jiǎn)化了向量的分析、繁雜的運(yùn)算，只要結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算就能達(dá)到目的，這需要我們?cè)趯忣}時(shí)發(fā)現(xiàn)能否建立直角坐標(biāo)系來(lái)確定一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，再對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算.

圖2

例2如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF=.

分析由于AB，BC的長(zhǎng)度已知，夾角確定，因此選擇AB，AD為基底，可用基底意識(shí)解之，但對(duì)特殊圖形容易建系的情況，我們可以將向量用坐標(biāo)表示加以計(jì)算，如圖以A為原點(diǎn)，AB為x軸，垂直于AD為y軸建系，設(shè)F（x，2），A（0，0），E（2，1），B（2，0）顯然AF=（x，2），AB=（2，0），得AB·AF=2x=2，確定得F（1，2），故AE=（2，1），BF=（1-2，2），AE·BF=2（1-2）+1×2=2.

3.幾何意識(shí)

向量有著數(shù)與形的完美結(jié)合，向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積都有獨(dú)特的幾何意義，數(shù)形結(jié)合的思想方法的靈活運(yùn)用，省時(shí)省力，可以提高解題的效率.

例3已知a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，a·b=12，若向量c滿足

分析本題若采用基底或坐標(biāo)意識(shí)去解決都比較困難，但是用幾何法就相對(duì)比較簡(jiǎn)單.

圖3

∵a·b=12，a=|b|=1，∴a，b的夾角為60°.又

4.投影意識(shí)

向量的數(shù)量積的運(yùn)算包括幾何法和坐標(biāo)法，幾何法需確定兩向量的模與夾角等基本量，當(dāng)模與夾角不確定或不易得到的情況下，很難用公式解決，而向量數(shù)量積a·b的幾何意義為a的模與b在a上的投影|b|cos〈a，b〉的乘積，正因有了“向量的投影”的概念若將其作為一種“整體意識(shí)”加以運(yùn)用，則可事半功倍.

例4如圖4，點(diǎn)C是半徑為2的圓O上一動(dòng)點(diǎn)，若弦AB=3，求AB·BC的最大值.

圖4

分析因?yàn)锳B·BC=AB·（AC-AB）=AB·AC-9，所以只需得到AB·AC的最大值，因?yàn)閨AB|=3，故由AB·AC的定義知，只要求得AC在AB上的投影的最大值，則可過(guò)O作AB的平行線與圓的交點(diǎn)C′，得AD為AC在AB上投影的最大值，而AD=12AB+r=32+2=72，所以AB·AC=ABACcos∠C′AD≤ABAD=3×72=212，因此（AB·AC）max=212×9=32.

5.內(nèi)積意識(shí)

兩向量的數(shù)量積即內(nèi)積，向量的內(nèi)積是平面向量的重點(diǎn)，事實(shí)上，平面向量的內(nèi)積對(duì)長(zhǎng)度、角度等方面有著非常廣泛的應(yīng)用空間，在求解一些代數(shù)問(wèn)題時(shí)，若有目的、有意識(shí)在一向量恒等式的兩邊，對(duì)同一向量進(jìn)行數(shù)量積，則同樣能收到較滿意的解題效果.即當(dāng)a=b，則a·c=b·c成立.

例5已知△ABC所在平面上點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈R，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的心.（填：重心，垂心，外心，內(nèi)心）

分析觀察分析條件中出現(xiàn)cosB，cosC，而AB，AC與BC進(jìn)行內(nèi)積可與cosB，cosC有密切聯(lián)系，因?yàn)镺P-OA=AP，所以向量恒等式OP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈R.兩邊可同時(shí)對(duì)BC進(jìn)行內(nèi)積，所以條件可以變?yōu)锳P·BC=λAB·BCABcosB+AC·BCACcosC=λ（-BC+BC）=0，可得AP⊥BC，則P的軌跡一定過(guò)△ABC的垂心.

正如陳武生老師說(shuō)的，過(guò)分強(qiáng)調(diào)任何一種方法都不恰當(dāng)，我們應(yīng)分清各種方法的作用與功能，理清楚題目向量的條件，這樣才能做到出奇制勝，百戰(zhàn)百勝.