應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限中的常見錯(cuò)誤及分析

陳作清

【摘要】本文全面闡述了應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限時(shí)的常見錯(cuò)誤，并通過例題加以分析，讓學(xué)生加深對(duì)法則的理解，從而可以提高學(xué)生應(yīng)用法則解題的能力.

【關(guān)鍵詞】極限；洛必達(dá)法則；未定式

【中圖分類號(hào)】O171【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【基金項(xiàng)目】中南民族大學(xué)教研項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：JYX09010.

極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，在高等數(shù)學(xué)中幾乎每一個(gè)概念都離不開極限，而極限的運(yùn)算又是高等數(shù)學(xué)中一類非常重要的計(jì)算，其計(jì)算方法多種多樣.洛必達(dá)法則是用來求00型和∞∞型未定式的極限的一種簡便且重要的方法.

洛必達(dá)法則的內(nèi)容比較容易理解，應(yīng)用其求極限方法也較易掌握，所以學(xué)生在解題時(shí)很喜歡應(yīng)用此法則.但是在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，使得無法求出正確的極限值.本文主要對(duì)學(xué)生在應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限的過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了比較全面的歸納，并通過具體的典型例題加以分析.

1忽略了洛必達(dá)法則的使用條件

洛必達(dá)法則僅限于求00型和∞∞型或可化為這兩種類型的未定時(shí)的極限，若不滿足這一基本條件是不能使用洛必達(dá)法則的.因此在解題時(shí)必須先驗(yàn)證所給極限是否為00型或∞∞型.尤其是在連續(xù)多次應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)需要逐步驗(yàn)證.

例1求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+100

錯(cuò)解limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1.

分析上述求解過程中，洛必達(dá)法則連續(xù)使用了三次，但在第三次應(yīng)用法則時(shí)limx→16x6x-2已不是未定式，對(duì)其應(yīng)用洛必達(dá)法則是錯(cuò)誤的.

正確解法limx→13x2-33x2-2x-1=limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→16x6x-2=64=32.

2.把洛必達(dá)法則的條件當(dāng)成了充要條件

事實(shí)上，洛必達(dá)法則的條件只是充分條件，不是必要條件.因此當(dāng)limf′（x）g′（x）不存在（且不等于∞）時(shí)，并不能斷定limf（x）g（x）也不存在.

例2求limx→0x2sin1xsinx00

錯(cuò)解limx→0x2sin1xsinx=limx→02xsin1x+cos1xcosx，因?yàn)閤→0時(shí)，cos1x極限不存在，因此limx→02xsin1x+cos1xcosx不存在，所以limx→0x2sin1xsinx也不存在.

分析limx→02xsin1x+cos1xcosx不存在，不能斷定limx→0x2sin1xsinx也不存在.可用其他方法求解.

正確解法limx→0x2sin1xsinx=limx→0xsinxlimx→0xsin1x=1×0=0.

3.不注意化簡及與其他求極限的方法相結(jié)合

洛必達(dá)法則的確是求未定式極限的一種比較有效的方法，但是在計(jì)算過程當(dāng)中如果能化簡的不化簡，又沒有恰當(dāng)?shù)呐c其他求極限方法相結(jié)合，那么很可能導(dǎo)致計(jì)算繁瑣，以至無法求得正確結(jié)果.這一點(diǎn)很多學(xué)生在解題時(shí)是經(jīng)常忽略的，往往計(jì)算了大量篇幅，卻求出了錯(cuò)誤結(jié)果或半途而廢了.

下面舉例說明：

例4求limx→π2tanxtan3x∞∞

分析如果直接應(yīng)用洛必達(dá)法則，分子分母的導(dǎo)數(shù)會(huì)越來越復(fù)雜，尤其在經(jīng)過多次求導(dǎo)之后.如果進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏突?，則可簡化計(jì)算.

解limx→π2tanxtan3x=limx→π2sinxcosxsin3xcos3x=limx→π2sinxsin3x·limx→π2cos3xcosx=-limx→π2-3sin3x-sinx=3.

此題的常見錯(cuò)誤還有誤把x→π2當(dāng)作x→0，直接使用等價(jià)無窮小代換.

例5求limx→0sinx-xcosxsin3x00

分析如果直接應(yīng)用洛必達(dá)法則，分母的導(dǎo)數(shù)（尤其是高階導(dǎo)數(shù)）會(huì)較繁.如果先采用等價(jià)無窮小代換，那么運(yùn)算就方便多了.

解因?yàn)閤→0時(shí)，sinx：x，所以limx→0sinx-xcosxsin3x=limx→0sinx-xcosxx3

=limx→0cosx-cosx+xsinx3x2=limx→0sinx3x=13.

4.誤認(rèn)為洛必達(dá)法則是萬能的

洛必達(dá)法則雖然對(duì)求未定式的極限很有效，但也不是萬能的.一方面，對(duì)于某些未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則是無法求出其極限的；另一方面，對(duì)于某些類型的未定式，應(yīng)用其他求極限的方法可能要比應(yīng)用洛必達(dá)法則方便的多.

例6求limx→π2secxtanx∞∞

分析如果應(yīng)用洛必達(dá)法則，有l(wèi)imx→π2secxtanx=limx→π2tanxsecxsec2x=limx→π2tanxsecx，再次應(yīng)用洛必達(dá)法則又回到了原來的形式，這說明洛必達(dá)法則失效.應(yīng)采用其他方法來求.

解limx→π2secxtanx=limx→π21cossinxcosx=limx→π21sinx=1.

如上例情形的還有l(wèi)imx→+∞1+x2x，limx→+∞ex-e-xex+e-x等，這些極限如果應(yīng)用洛必達(dá)法則來求都會(huì)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，因此不能應(yīng)用洛必達(dá)法則，但都可應(yīng)用其他方法求出其結(jié)果，讀者可自行求解.

下面我們再來舉幾個(gè)應(yīng)用其他求極限的方法要比應(yīng)用洛必達(dá)法則更簡便的類型.

例7求limx→0cosx-e-x22sin4x00

分析如果應(yīng)用洛必達(dá)法則，要連續(xù)多次使用，分子分母的導(dǎo)數(shù)會(huì)越來越復(fù)雜，很容易計(jì)算錯(cuò)誤，本題可以等價(jià)代換后，應(yīng)用泰勒公式來求極限.

解因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，sinx：x，cosx=1-x22+x44+o（x4），

e-x22=1-x22+12！x44+o（x4），所以limx→0cosx-e-x22sin4x=limx→0-x412+o（x4）x4=-112.

例8求limx→0+sinxx1x21∞

分析對(duì)于1∞型未定式，利用重要公式limx→0（1+x）1x=e來求解通常也會(huì)比應(yīng)用洛必達(dá)法則簡便.

解法一（應(yīng)用洛必達(dá)法則）

limx→0+sinxx1x2=limx→0+e1x2lnsinxx=elimx→0+1x2lnsinxx，

由于limx→0+1x2lnsinxx=limx→0+xsinx·xcosx-sinxx22x=limx→0+xcosx-sinx2x2sinx=limx→0+xcosx-sinx2x3=limx→0+-xsinx6x2=-16，

所以limx→0+sinxx1x2=e-16.

解法二（應(yīng)用重要極限公式）

limx→0+sinxx1x2=limx→0+1+sinx-xxxsinx-x·sinx-xx·1x2=elimx→0+sinx-xx3，

由于limx→0+sinx-xx3=limx→0+cosx-13x2=limx→0+-sinx6x=-16，所以limx→0+sinxx1x2=e-16.

顯然解法二要比解法一簡便很多.事實(shí)上，對(duì)于1∞型未定式，應(yīng)用重要極限公式來求極限往往要比直接應(yīng)用洛必達(dá)法則要更簡便，關(guān)于這一方面的內(nèi)容可參見文[3].

可見，盡管是符合洛必達(dá)法則條件的未定式，也不能盲目的使用洛必達(dá)法則，而要分析所給題目的類型，盡量選用較簡潔的方法，才能夠方便快捷的得到正確結(jié)果.

總之，要想應(yīng)用洛必達(dá)法則準(zhǔn)確快捷的求出未定式的極限，一定要避免上面所提及的一些常見錯(cuò)誤，并靈活應(yīng)用各種求極限的方法.希望以上內(nèi)容對(duì)于學(xué)生們更好的應(yīng)用羅畢達(dá)能夠起到指導(dǎo)意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008：：134-139.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001：141-146.

[3]殷紅燕.兩個(gè)重要極限公式求特定類型的極限的方法[J].高等函授學(xué)報(bào)，2012（6）.