論初等函數(shù)求導(dǎo)井然有序

張荔

【摘要】函數(shù)千千萬萬，最重要是哪些？數(shù)學(xué)中最重要也最常見的一大類函數(shù)是初等函數(shù).所謂初等函數(shù)，是由不多的幾種基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù).基本初等函數(shù)共有6類，就是常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù).這些函數(shù)的求導(dǎo)公式應(yīng)當(dāng)熟練掌握.

【關(guān)鍵詞】初等函數(shù);求導(dǎo)

基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式：

（1）常數(shù)C′=0.

（2）冪函數(shù)（xⁿ）′=nx^n-1（n非零整數(shù)，x∈（-∞，+∞））;

（x^α）′=αx^α-1（α非零實(shí)數(shù)，x>0）.

（3）對數(shù)函數(shù)（lnx）′=1x（x>0）;

（logx）′=1xlna（x>0）.

（4）指數(shù)函數(shù)（ex）′=ex;（ax）′=axlna.

（5）三角函數(shù)（sinx）′=cosx;（cosx）′=-sinx.

（tanx）′=1cox2x; （cotx）′=-1sin2x.

（6）反三角函數(shù)（arcsinx）′=11-x2（|x|<1）;

（arccosx）′=-11-x2（|x|<1）;

（arctanx）′=11+x2;（arccotx）′=-11+x2.

從上面這些公式出發(fā)，應(yīng)用計算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，就能根據(jù)初等函數(shù)的表達(dá)式求出其導(dǎo)數(shù)，計算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則提煉后可以歸結(jié)為下面五條：

（1）函數(shù)線性組合的導(dǎo)數(shù)：

（αf（x）+βg（x））′=αf′（x）+βg′（x）;

（2）函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)：

（f（x）g（x））′=f′（x）·g（x）+g′（x）·f（x）;

（3）函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)：

g（x）f（x）′=g′（x）f（x）-g（x）f′（x）f2（x）;

（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（f（g（x）））′=f′（g（x））g′（x）;

（5）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

若f（g（x））=x則g′（x）=1f′（g（x））

在應(yīng)用這些法則求導(dǎo)時，所要求的條件簡單說來有兩條：一條是等式右端的求導(dǎo)運(yùn)算可以進(jìn)行，另一條是分母不為零.

以上的公式和法則，還可以再濃縮.就法則而言，由于α（f（x））′=αf′（x）是函數(shù)乘積公式的特殊情形，故i）可以簡化為函數(shù)和的求導(dǎo)法則即（f（x）+g（x））′=f′（x）+g′（x）.函數(shù)商和積的求導(dǎo)法則可以用取對數(shù)求導(dǎo)的方法導(dǎo)出，也就是

f（x）g（x）·g（x）f（x）′=ln|g（x）f（x）|′

=（ln|g（x）|）′-（ln|f（x）|）′

=g′（x）g（x）-f′（x）f（x）.

整理即得.此外，反函數(shù)求導(dǎo)公式可以從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出.

這樣一來，求導(dǎo)法則中最基本的只有兩條，就是函數(shù)和的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.

至于基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，則可以歸結(jié)為三條：C′=0，（lnx）′=1x和（sinx）′=cosx.

于是，初等函數(shù)的求導(dǎo)，歸根結(jié)底就是兩條求導(dǎo)法則和三個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這五條要從定義出發(fā)推出來，其他的則可以從這五條推出來.

這樣歸納雖欠嚴(yán)謹(jǐn)，但有助于從總體上理解把握，萬一沒把握好，就從這五條推一推，具體運(yùn)用時，還是熟練掌握為好.

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