數(shù)學建模思想融入高數(shù)課堂的實踐案例研究及分析

王菡

【摘要】在高數(shù)的教學過程中，數(shù)學建模思想的應(yīng)用可以大大提高學生對數(shù)學的興趣，增強他們對數(shù)學的實際應(yīng)用能力，本文從數(shù)學建模的意義入手，說明數(shù)學建模對高數(shù)的重要性，并對實踐案例進行分析，充分展示數(shù)學建模思想的強大作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學建模思想性;高數(shù)課堂;實踐案例研究

數(shù)學對學生的邏輯思維能力、語言理解能力、空間想象能力有很高的要求.數(shù)學建模思想講求在解決實際問題的過程中，引入數(shù)學知識和方法，通過對實際問題的簡化和抽象，建立數(shù)學模型并求解.這種解題方式是對數(shù)學的一種實際應(yīng)用，也是對學生思維能力的提高，所以在高等數(shù)學中運用數(shù)學建模思想對提高學生的綜合素質(zhì)有關(guān)鍵作用.

一、高等數(shù)學教學中數(shù)學建模思想融入的意義

數(shù)學建模其實屬于一種應(yīng)用數(shù)學，其主要目的是要求我們通過對實際問題進行分析并簡化為一個數(shù)學問題，再運用適當?shù)臄?shù)學方法解決問題.數(shù)學建模思想最早提出于1992年，雖然當時這種新穎的邏輯思維能力受到了很多學校的重視，并在組織的數(shù)學建模競賽中選取優(yōu)秀的學生參加，但這種新的數(shù)學解題模式并沒有得到大面積的普及，很多學生因為學習任務(wù)繁重根本沒有時間了解數(shù)學建模思想.進入大學的學習后，基本上所有的學生都要學習高數(shù)，高數(shù)是一門極為抽象的科目，很多學生根本不知道學習的意義，從而對高數(shù)喪失學習的動力.若將高數(shù)與數(shù)學建模思想融合起來，不但可以激發(fā)學生的學習興趣，還能鼓勵學生多運用數(shù)學知識解決實際問題.

在數(shù)學建模過程中，不但可以讓學生更加透徹的領(lǐng)悟數(shù)學中的知識，還能對學生的綜合素質(zhì)進行提升.建模過程重要反復(fù)推敲、計算.最終找出模型的最優(yōu)解.數(shù)學建模其實沒有統(tǒng)一的答案，講求的是方法的運用，針對同一問題，學生可以從不同的角度分析，創(chuàng)建不同的數(shù)學模型，選用不同的方法解決問題，選出最優(yōu)的解決方案.在將數(shù)學問題準確的抽象為數(shù)學模型時，要求學生具有敏銳的洞察能力，在合作解決問題時，培養(yǎng)學生的協(xié)作合作能力，整個過程中，學生們一起探討、分享數(shù)學知識，開闊了彼此的數(shù)學思維能力，所以數(shù)學建模思想對學生綜合素質(zhì)的提升和思維能力的培養(yǎng)有較大裨益，是一種值得推行的數(shù)學思維方式.

二、實際案例分析

提到微積分相信大家都耳熟能詳，但很多人卻因不了解用途而覺得枯燥不堪.其實微積分在生活中運用廣泛，該實例就是運用微積分中的定積分解決問題.

題目：除雪機在清理路面上的積雪時，設(shè)定當路面積雪達到0.5 m時開始工作，但由于在清理積雪的同時天空正在下雪，下雪的大小直接影響除雪機的工作效率，對于一條10公里的公路，除雪機能否完成除雪任務(wù)，當雪下多大時除雪機將不能工作？

相關(guān)條件：

1.降雪持續(xù)1個小時.

2.降雪的大小隨著時間的變化而變化，當雪下到最大時，積雪以0.1 cm/s的速度增長.

3.當積雪厚度達到1.5 m時，除雪機將停止工作.

4.除雪機在無雪的路面行駛速度為10 m/s.

分析問題：

通過題目和條件所含的信息，影響除雪機除雪的因素主要包括：降雪的速度、降雪的時間、積雪的厚度、除雪機工作時間等.

模擬解題環(huán)境：

1.降雪的速度維持不變

2.除雪機的工作速度和積雪的厚度成正比

3.降雪的速度為R（cm/s），積雪厚度為d（m），除雪機工作速度為v（m/s）

創(chuàng)建數(shù)學模型：

假設(shè)降雪速度維持不變，積雪在時間t內(nèi)的厚度增加量Δd為 Δd=1100Rt.

由此解得t秒內(nèi)的積雪厚度為 d（t）=0.5+Rt100.

（1）

（2）通過對問題的假設(shè)，當d=0，時，v=10;d=1.5時，v=0，可以建立關(guān)系式v（t）=101-23d（t），當0.5≤d（t）≤1.5時，將（1）帶入公式得到t秒時除雪機的工作速度為 v（t）1032-Rt30.

（2）

通過以上的公式推斷出除雪機工作被迫停止時間v（t）=0，

t0=100R.

（3）

除雪機在工作t時的行駛距離：

S（t）=∫t0vudu=103∫t02-Ru50du=203t-R30t2.

（4）

假設(shè)情況1：大雪的降雪速度以0.1 cm/s持續(xù)1小時，那么積雪的新增厚度為0.1×3600100=3.6（m），再加上原來的積雪厚度0.5 m，總厚度已經(jīng)超過1.5 m，所以只能考慮積雪厚度在0.5 m～1.5 m之間的工作時間和除雪距離.通過（3）可以算出t0=100R=1000.1=1000（s）≈16.67，所以除雪機只能工作16.67分就會被迫停止工作，期間的行駛距離由（4）算出

St0=S1000=20×10003-0.1×1000302≈3.3（km）.

假設(shè)情況2：大雪的降雪速度以0.025 cm/s持續(xù)1小時，降雪的速度變化如右圖所示：

在該種情況下，積雪的新增厚度為0.9 m，再加上原來的0.5 m，總厚度不超過1.5 m，除雪機可以正常工作，除雪機清除10公里的道路所需時間，將S=10×1000 m帶入式子（4），算出10000=203t-0.02530t2，t=2000（s）≈33.33（min），所以只需要33.33分鐘，除雪機就可以完成10公里路面的積雪清理工作.

初次建模，考慮問題比較粗糙，現(xiàn)對所建模型進行優(yōu)化.首先降雪速度不可能一直維持不變，為了讓模型與事實更加貼合，可以設(shè)置下雪速度在前半個小時均勻增大到最大值0.1 cm/s，在后半個小時逐漸減小到0.則在t時刻降雪的速度r（t）為： r（t）=0.1 t1800 0≤t≤1800

a-0.11800≤1≤3600

運用t=1800處r（t）的連續(xù)性，可算出參數(shù)a的值為0.2.

積雪厚度函數(shù)：

當0≤t≤1800時d（t）=0.5+1100∫t00.1u1800du=0.5+0.0013600t2.

（6）

計算得到d（1800）=0.50.001×（1800）36002=0.5+0.9=1.4（m），表示除雪機工作半個小時，積雪厚度為1.4 m.當1800≤t≤3600. ?d（t）=1.4+1100∫t18000.2-0.1t1800du=0.010.2t-0.43600t2-1.3.

（7）

計算得到d3600=0.010.2×3600-0.1×（3600）23600-1.3=2.3 m，表示除雪機停止工作時，雪還在下，工作時間可由（7），d（t）=1.5 m，t≈35（min）.

當然，在對模型的完善過程中，講求層層深入，逐步細化，最終建立與實際問題最貼近的數(shù)學模型，使解出的答案更加貼近，這就是數(shù)學建模思想在高數(shù)中的應(yīng)用實例.

三、總 結(jié)

總而言之，數(shù)學建模思想就是用通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗.在模型的建立過程中，不但可以重新點燃學生對數(shù)學的興趣，還可以訓練邏輯思維能力，將高數(shù)與數(shù)學建模思想完美的融合，解決現(xiàn)實生活中的各種問題，拉近數(shù)學與生活的距離，提高高數(shù)的教學質(zhì)量.

【參考文獻】

[1]李大潛.將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程[J].中國大學教學，2006（1）：9-11.

[2]李建杰.數(shù)學建模思想與高職數(shù)學教學[J].河北師范大學學報（教育科學版），2013，15（6）：93-94.

[3]韋程東，高揚，陳志強等.在常微分方程教學中融入數(shù)學建模思想的探索與實踐[J].數(shù)學的實踐與認識，2008，38（20）：228-233.