數(shù)學(xué)猜想及其在數(shù)學(xué)教育中的作用

黃名川

【摘要】數(shù)學(xué)猜想作為一種高級(jí)的創(chuàng)造性思維方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新品質(zhì)有著重要的作用，是發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的一個(gè)良好契機(jī)，應(yīng)該讓猜想教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中成為一種常態(tài).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)猜想;定義;分類;課堂教學(xué)

匈牙利偉大的數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾指出：“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中只要能反應(yīng)出數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，那么就應(yīng)該讓合情的推理占有適當(dāng)?shù)牡匚?”這里的合情推理就是指數(shù)學(xué)猜想.數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已知的數(shù)學(xué)素材，經(jīng)過理性思維的能動(dòng)性對(duì)當(dāng)前問題進(jìn)行的一種合情推理.我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中強(qiáng)調(diào)指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.”作為一種創(chuàng)造性的思維方式，應(yīng)該走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維品質(zhì)的一個(gè)契機(jī).

一、歷史上的數(shù)學(xué)猜想

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬于1664 年，提出了著名的“費(fèi)爾馬猜想”： 當(dāng)n>2時(shí)， 關(guān)于x，y，z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ沒有正整數(shù)解.該猜想歷經(jīng)300多年最終由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）得以證明，為了表彰其卓越成就，在1998年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上為他頒發(fā)了特別制作的菲爾茲銀質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?1742 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在給當(dāng)時(shí)大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出了一個(gè)猜想：對(duì)于任一大于2的偶數(shù)均可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和.由于這個(gè)猜想表述形式簡(jiǎn)潔，看起來(lái)似乎沒有涉及深邃的數(shù)學(xué)理論，數(shù)百年來(lái)，上到數(shù)學(xué)專家學(xué)者，下及學(xué)生，甚至與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的其他行業(yè)者都躍躍欲試想摘得這個(gè)被數(shù)學(xué)家譽(yù)為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”的數(shù)學(xué)猜想.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)對(duì)此猜想做出了卓越貢獻(xiàn)，證明了“1+2”問題，距完全證明該猜想僅剩一步之遙，但至今仍未能徹底解決.此外數(shù)學(xué)史上還有“四色猜想”、“孿生素?cái)?shù)猜想”、“伯特蘭猜想”等著名的數(shù)學(xué)猜想.

二、猜想的分類

根據(jù)猜想的實(shí)現(xiàn)途徑，本文將猜想大致分為4類.

1.觀察猜想

觀察猜想就是我們通過觀察已知數(shù)學(xué)材料的結(jié)構(gòu)和形式，作出我們猜想的結(jié)論，這個(gè)過程需要我們認(rèn)真洞察已知材料的規(guī)律和其內(nèi)在結(jié)構(gòu)，這樣作出的推斷才具有更高的正確率.

2.歸納猜想

歸納猜想就是通過觀察獲得了一定的思維材料后，從個(gè)別或特殊的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)推出一般性原理、法則的推理形式、思維進(jìn)程和思維方法的一種猜想方法.在研究某些整體數(shù)學(xué)問題較困難，但在特殊情況容易解決時(shí)，我們就可以從特殊的情況入手，歸納得出其一般性的結(jié)論，然后再論證推廣到所有符合條件的情況.

3.類比猜想

類比猜想是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性或結(jié)構(gòu)上的相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩曰蚪Y(jié)構(gòu)上也相同或形似的一種猜想方法.它是由特殊到特殊的推理猜想，類比猜想的形式也有很多，如數(shù)與式之間，數(shù)與形之間，數(shù)與向量之間，平面和空間之間等等，都可能形成類比猜想.

4.聯(lián)想猜想

聯(lián)想猜想是一種自覺的有目的思維活動(dòng)，是由當(dāng)前感知或思考的事物，想起有關(guān)的另一種事物，或由此再想象其他事物的一種猜想方式，猜想聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ)，根據(jù)所研究的對(duì)象或問題的特點(diǎn)，聯(lián)系已有的知識(shí)、機(jī)能、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維方法，它是一種再現(xiàn)性現(xiàn)象.

三、數(shù)學(xué)猜想：數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的關(guān)鍵一步

我們知道數(shù)學(xué)猜想是由已知的數(shù)學(xué)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)未知量進(jìn)行觀察、比較、分析、類比、歸納、后所做出的一種似真判斷.現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)習(xí)主體主動(dòng)的有意義的建構(gòu)活動(dòng)， 是認(rèn)知主體在大腦里構(gòu)建數(shù)學(xué)概念模型的過程.數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中如果沒有了猜想，已知數(shù)學(xué)材料就不可能形成有意義的構(gòu)建活動(dòng).因此， 猜想是主體有意義構(gòu)建時(shí)思維活動(dòng)的關(guān)鍵一步.

四、讓數(shù)學(xué)猜想活動(dòng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常態(tài)

在我國(guó)新一輪的課程改革中，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)提出了明確要求.數(shù)學(xué)猜想作為一種創(chuàng)造性思維方法，它不專屬于數(shù)學(xué)家，若平時(shí)能有意識(shí)地加強(qiáng)數(shù)學(xué)猜想的教學(xué)活動(dòng)，則能使創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)真正落到實(shí)處.那么在課堂教學(xué)中如何有效的實(shí)施猜想教學(xué)呢？首先，猜想是一種高級(jí)的思維方式，那作為學(xué)生的引導(dǎo)者的教師則要具備一定的猜想能力，必須懂?dāng)?shù)學(xué)猜想，知道猜想的規(guī)律，才能更好的引導(dǎo)學(xué)生猜想.第二，在平時(shí)教學(xué)中讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)猜想的思維習(xí)慣，如注重知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，理解問題內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，利用對(duì)稱、統(tǒng)一、奇異的數(shù)學(xué)特征去引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.這樣可使學(xué)生的猜想思維活動(dòng)由不自覺或盲目的狀態(tài)，發(fā)展為有意識(shí)有目的的創(chuàng)造活動(dòng).第三，努力營(yíng)造寬松愉快的猜想氛圍.老師不必去限制學(xué)生思維的疆域，鼓勵(lì)學(xué)生多積極主動(dòng)思考，不滿足現(xiàn)成解答，大膽猜想 ，不斷開拓.猜想合理的給予積極鼓勵(lì)，猜想偏向的給予細(xì)心引導(dǎo)，使學(xué)生的被動(dòng)的猜想行為轉(zhuǎn)變成自覺的猜想行為，共同構(gòu)建師生猜想共同體.切實(shí)讓培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)落到教學(xué)實(shí)處.

【參考文獻(xiàn)】

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