淺談初中數(shù)學(xué)輔助線之妙用

陳紅光 朱月祥

【摘要】在初中數(shù)學(xué)的幾何問題中，人們解決這類型的題目往往會(huì)用到輔助線.添加輔助線是為了更好、更方便地解決問題.因?yàn)轭}目中給出的已知條件一般解決不了問題，而通過添加輔助線，便會(huì)得到一些新的條件，非常有助于解決問題，這是初中生在解決初中幾何問題時(shí)的有效策略.因此，遇到困難的幾何體時(shí)，輔助線來幫你！我們需要學(xué)會(huì)巧妙地利用輔助線.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；輔助線；方法；妙用

眾所周知，添加輔助線給幾何題的解決有著不可忽視的地位.由于題目的變化無窮，所以輔助線的添加方法也是形形色色的.粗略地看那些輔助線似乎沒有條理，無據(jù)可依，其實(shí)不然.在眾多的幾何題中，必然會(huì)存在著兩樣?xùn)|西，一是圖形，二是條件，也有隱含的條件.因此，我們作輔助線時(shí)可以根據(jù)圖形的特殊性和條件的特殊性進(jìn)行添加，這樣題目將會(huì)迎刃而解.本文將針對(duì)初中幾何題目，談?wù)勢(shì)o助線的妙用.

一、輔助線在三角形中的妙用

輔助線在三角形中的添加，是根據(jù)不同的問題作出不一樣的輔助線來.如：

（一）在直接證明不出三角形三邊關(guān)系時(shí)，可以延長某邊或者是連接兩點(diǎn)，構(gòu)成三角形，從而使得結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或多個(gè)三角形中，最后運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系來證明.

（二）在直接證明不出三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)，可以延長某邊或者連接兩點(diǎn)，構(gòu)成三角形，使得小腳位于這個(gè)三角形的內(nèi)角，要證明的大角在三角形的外角的位置上，最后利用外角定理求解.

（三）題目中有出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般是在角的兩邊取相同的線段，從而構(gòu)造全等三角形.

（四）題目中有出現(xiàn)以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，一般是延長加倍這條線段，從而構(gòu)造全等三角形.

（五）題目中有出現(xiàn)三角形中線時(shí)，一般是延長加倍中線，從而構(gòu)造全等三角形.

圖1例如：如圖1，已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF.

分析要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中.

證明在DA上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，

在△DBE和△DNE中：

∵DN=DB（輔助線的作法），∠1=∠2（已知），ED=ED（公共邊），

∴△DBE≌△DNE（SAS），

∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

同理可得：CF=NF.

在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)題目中有角平分線時(shí)，通?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等.

二、輔助線在平行四邊形中的妙用

正方形、矩形、菱形都屬于平行四邊形，它們的兩組對(duì)角、對(duì)邊以及對(duì)角線都具有一些相同的性質(zhì)，因此，給這些平行四邊形添加輔助線時(shí)的方法是差不多的，都是為了讓線段垂直或平行，然后構(gòu)造出全等或相似的三角形.一般常用的方法是連接對(duì)角線、平移對(duì)角線，延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線等，這樣可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成三角形、矩形等圖形，有利于解決問題.

三、輔助線在圓中的妙用

在圓中添加輔助線的辦法通常有：

（一）可以根據(jù)垂徑平分定理，過圓心作弦的垂線.

（二）可以根據(jù)同圓或者等圓中的圓心角、圓周角、弦、弧的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，連接圓上相關(guān)的點(diǎn)來解決問題.

（三）當(dāng)題目中有直徑這一條件時(shí)，通?？紤]“直徑所對(duì)的圓周角是直角”來添加輔助線.

（四）當(dāng)題中有切線時(shí)，通常連接過切點(diǎn)的半徑或直徑，利用切線與它垂直的特點(diǎn).有時(shí)也作過切點(diǎn)的弦，溝通弦切角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系.

（五）當(dāng)題中有兩圓相切時(shí)，首先考慮的是過切點(diǎn)作兩圓的公切線，由此溝通弦切角與圓周角之間的聯(lián)系.有時(shí)也作兩圓的連心線，利用切點(diǎn)在連心線上溝通圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系.

（六）兩圓相交時(shí)，作兩圓的公共弦，以兩圓的公共弦作為“橋梁”溝通兩圓的圓周角和其他角之間的關(guān)系.

總而言之，在幾何題中添加輔助線是有規(guī)律可循的，學(xué)生需要對(duì)這些圖形添加輔助線作一個(gè)系統(tǒng)的歸納總結(jié)，這樣才能開拓思路，提高解決幾何題型的技巧.

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