基于一個(gè)初等不等式的思考

朱鵬

【摘要】本文通過一個(gè)初等不等式，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究的角度，用具體材料說明在大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程和現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究成果中，探討了怎樣開展研究性教學(xué).

【關(guān)鍵詞】Lagrange乘數(shù)法；樣本三階中心矩；超曲面；研究性教學(xué)

【中圖分類號(hào)】O151.21，G642.0

科技的飛速發(fā)展，對(duì)高等教育提出了新的課題：如何培養(yǎng)出合格的人才？高等學(xué)校正倡導(dǎo)開展研究性教學(xué).我們迫切需要了解什么是研究性教學(xué)，怎樣開展研究性教學(xué).本文以一個(gè)初等不等式的教學(xué)為例，探討如何結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程和自身的科學(xué)研究的心得，更好地服務(wù)于課堂教學(xué).

1.初等不等式的描述

巴西數(shù)學(xué)家M.do Carmo等人在文獻(xiàn)[1]中給出了如下結(jié)果：

（3）式中取到等號(hào)情形的刻畫如下：左邊的等號(hào)情形成立當(dāng)且僅當(dāng)有（n-1）個(gè)ai非負(fù)且相等，右邊的等號(hào)情形成立當(dāng)且僅當(dāng)有（n-1）個(gè)ai非正且相等.

2.初等不等式與數(shù)學(xué)分析課程

該不等式屬于條件不等式.從數(shù)學(xué)分析課程來說，利用Lagrange乘數(shù)法容易得到（3）以及等號(hào)情形的刻畫.這里運(yùn)用較高的觀點(diǎn)得到了一個(gè)看上去很初等的結(jié)果.正如F.克萊茵所說：“有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解.”在教學(xué)時(shí)，如果能夠做到深入淺出，將有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和態(tài)度.

3.初等不等式與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中，學(xué)生學(xué)習(xí)了樣本均值、樣本方差、樣本三階中心矩等概念.它們之間是否有聯(lián)系呢？結(jié)合定理1，我們可以給出解答： 如果樣本均值為零（即（1）式成立），樣本方差為定值a2（即（2）式成立），那么由（3）得到，樣本三階中心矩有上界和下界，并且只與樣本容量n和a2有關(guān)，同時(shí)達(dá)到上下界有具體的刻畫：有n-1個(gè)等值的樣本.在教學(xué)中，如果能將不同的基礎(chǔ)課程內(nèi)容貫穿起來，這有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決問題的能力，且能得到構(gòu)思巧妙的方法.

4.初等不等式與現(xiàn)代微分幾何

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，定理1已經(jīng)被應(yīng)用到現(xiàn)代微分幾何的研究領(lǐng)域：1974年，Okumura借助于定理1和Simon型方程刻畫totally umbilical 超曲面；1994年，H.Alencar，M.do Carmo運(yùn)用不等式（3）及其等號(hào)情形的刻畫研究球面中的具有緊常平均曲率的超曲面，得到了關(guān)于第二基本形式和平均曲率的間隙定理.1996年，清華大學(xué)李海中教授探討空間形式中具有緊常純量曲率的超曲面，應(yīng)用不等式（3）及其等號(hào)情形描述和特殊的自伴算子給出了的剛性定理.2013年新加坡國立大學(xué)徐興旺教授等借助于不等式（3）右邊的等號(hào)情形，得到了Rn+1中完備非緊的具有零Ricci曲率的超曲面有Bernstein型定理.教師要選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，銜接好教學(xué)知識(shí)和最新科學(xué)研究成果，讓學(xué)生從中了解適當(dāng)?shù)那把爻晒?，同時(shí)獲得思想和方法的啟迪.激發(fā)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的興趣.

5.總 結(jié)

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的前沿成果是一個(gè)整體，大學(xué)數(shù)學(xué)的研究性教學(xué)，可以交錯(cuò)各門基礎(chǔ)課程中的內(nèi)容，從中發(fā)現(xiàn)問題并給出解決問題的方法；也可以將科學(xué)研究的最新成果引入基礎(chǔ)課程中，幫助教師充實(shí)課堂教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)讓學(xué)生粗略地了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展.

致謝： 本文得到國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11471145）和“青藍(lán)工程”資助.

【參考文獻(xiàn)】

[1]H.Alencar，M.do Carmo.Hypersurfaces with constant mean curvature in spheres.Proceedings of the Americian Mathematical Society，120（4）（1994）1223-1229.

[2]F.克萊茵.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M].舒湘芹等譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[3]M.Okumura.Hypersurfaces and s pinching problem on the second fundamental tensor.Amer.J.Math.，96（1）（1974）207-213.

[4]H.Li.Hypersurfaces with constant scalar curvature in space forms.Math.Ann.，305（4）（1996）207-213.

[5]Y.Li，X.Xu，J.Zhou.The complete hypersurfaces with zero scalar curvature in Rn+1.Ann.Glob.Anal.Geom.44（4）（2013）401-416.