對一道高考題的推廣

朱允洲

【摘要】2013年江蘇一道高考題是關(guān)于函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動點與直線y=x上的定點之間的距離的最小值問題，本文將函數(shù)y=1x（x>0）進(jìn)行了推廣，即介紹了雙曲線、橢圓和拋物線上的動點P與其對稱軸x軸上的點A（m，0）之間的距離|AP|的最小值問題，通過推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)|AP|min隨著m的變化而變化，點P的個數(shù)及其在圓錐曲線上的位置均與m的臨界值（橢圓、雙曲線是ce，拋物線是焦參數(shù)p）有關(guān)，推廣了高考題中原有的相關(guān)結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】最小值；圓錐曲線；臨界值

題1 （2013年高考江蘇卷第13題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A（a0，a0），P是函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動點，若點P，A之間的最短距離為22，則滿足條件的實數(shù)a0的所有值為.

文獻(xiàn)指出了對題1“秒殺”結(jié)果的錯誤，并給出了改編題2，研究了|AP|min=AP0時點A在直線y=x上的位置.

題2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在直線y=x上，P是函數(shù)y=1x（x>0）圖像上一動點，直線y=x與函數(shù)y=1x（x>0）圖像交于點P0，若對于直線y=x上任意點A，|AP|≥AP0恒成立，則點A橫坐標(biāo)的取值范圍是.

筆者研讀后發(fā)現(xiàn)，可將函數(shù)y=1x（x>0）推廣到雙曲線、橢圓、拋物線的方程，得到一般性的結(jié)論，供大家參考.

此時點P與M重合.

類似地，如果P為雙曲線左支上一動點，由雙曲線的對稱性可得：

以上是對于點P僅在雙曲線的單支上，當(dāng)點A在x軸上移動時，|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值情況.

那么，對于點P在整個雙曲線上，當(dāng)點A在x軸上移動時，|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值情況要隨P在雙曲線的哪支上作相應(yīng)的調(diào)整？P與A位于y軸的同側(cè)，所以

推廣2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一動點，M1，M為左、右頂點，A（m，0）是x軸上任意一點，則|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值范圍是：當(dāng)m

設(shè)P（x，y），則AP2=（x-m）2+y2=（x-m）2+（1-x2a2）b2=e2（x-me2）2+（1-m2c2）b2.

①若-ce

（AP2）min-AM2=m2c2-1b2-（m-a）2=-1e2（m-ce）2<0（或（AP2）min-AM21=m2c2-1b2-（m+a）2=-1e2（m+ce）2<0），所以|AP|min=bcc2-m2，此時P點有兩個：（me2，±b1-m2a2e4）.

②若m≥ce（或m≤-ce），即me2≥a（或me2≤-a），當(dāng)x=a（或x=-a）時，（AP2）min=e2（±a-me2）2+m2b2c2-b2=（ma）2，故|AP|min=a-m=|AM|（或|AP|min=|a+m|=|AM1|），此時P與M（或M1）重合.

推廣3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為拋物線y2=2px（p>0）上一動點，O為頂點，A（m，0）是x軸上任意一點，則|AP|的最小值及相應(yīng)m的取值范圍是： 當(dāng)m>p時，|AP|min=-p2+2pm；當(dāng)m≤p時，|AP|min=m.

設(shè)P（x，y），則AP2=（x-m）2+y2=（x-m）2+2px=[x-（m-p）]2-p2+2pm.

①若m>p，即m-p>0，當(dāng)x=m-p時，|AP|min=-p2+2pm，此時P點有兩個：（m-p，±2p（m-p））.

②若m≤p，即m-p≤0，當(dāng)x=0時，|AP|min=m，此時點P與點O重合.

【參考文獻(xiàn)】

李培穎.一道2013年高考試題的“秒殺”引發(fā)的探究[J].數(shù)學(xué)通報，2013（3）.