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    含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式解法舉例

    2015-05-30 13:11:38馬俊杰
    關(guān)鍵詞:空集題是普通高中

    馬俊杰

    題型一

    普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(選修4-5)——《不等式選講》第20頁(yè)的第9題是:

    如果關(guān)于x的不等式︱x-3︱+︱x-4︱

    解法一 當(dāng)x≤3時(shí),解得x>7-a2.

    當(dāng)31.

    當(dāng)x≥4時(shí),解得x<7+a2.

    要使原不等式的解集不是空集,只需使7-a2<3,即a>1或7+a2>4,即a>1.

    綜上所述:a>1.

    解法二 令f(x)=|x-3|+|x-4|,即

    f(x)= -2x+7,x≤3, 1,3

    作出函數(shù)的圖像(如圖),它是分段線段函數(shù).

    由圖像可知,當(dāng)a>1時(shí),原不等式有解.

    解法三 由絕對(duì)值三角不等式可知:

    ︱x-3︱+︱x-4︱=︱x-3︱+︱4-x︱≥︱(x-3)+(4-x)︱=1.

    要使︱x-3︱+︱x-4︱1.

    本題還可以做以下變式:

    ︱x-4︱+︱x-3︱

    變式1:若關(guān)于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱>a恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.

    解 令f(x)=︱x-4︱+︱x-3︱.

    因?yàn)棣騲-4︱+︱x-3︱≥1,

    所以fmin(x)=1.

    若要使原不等式恒成立,只需使fmin(x)>a即可.

    即a<1.

    變式2:若關(guān)于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱

    令f(x)=︱x-4︱+︱x-3︱,則fmin(x)=1.

    若要使原不等式的解集為,只需使fmin(x)>a.

    變式3:若關(guān)于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a有解,求參數(shù)a的取值范圍(a<1,解略).

    變式4:若關(guān)于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱1,解略).

    變式5:若關(guān)于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a的解集為,求參數(shù)a的取值范圍(a≥1,解略).

    題型二

    ︱x2+2x-3︱>a.

    當(dāng)a<0時(shí),得x∈R, ①

    當(dāng)a≥0時(shí),得x2+2x-3>0或x2+2x-3<-a.②

    由①得 x>-1+4+a或x<-1-4+a.

    由②得(x+1)2<4-a.

    此時(shí)分類可知,若0≤a<4,解得-1-4-a

    若a≥4,此不等式無(wú)解.

    綜上,當(dāng)a<0時(shí),原不等式解集為R;

    當(dāng)0≤a<4時(shí),原不等式解集為{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a或-1-4-a

    當(dāng)a≥4時(shí),原不等式解集為{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a}.

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