含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式解法舉例

馬俊杰

題型一

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（選修4-5）——《不等式選講》第20頁(yè)的第9題是：

如果關(guān)于x的不等式︱x-3︱+︱x-4︱

解法一 當(dāng)x≤3時(shí)，解得x>7-a2.

當(dāng)31.

當(dāng)x≥4時(shí)，解得x<7+a2.

要使原不等式的解集不是空集，只需使7-a2<3，即a>1或7+a2>4，即a>1.

綜上所述：a>1.

解法二 令f（x）=|x-3|+|x-4|，即

f（x）= -2x+7，x≤3， 1，3

作出函數(shù)的圖像（如圖），它是分段線段函數(shù).

由圖像可知，當(dāng)a>1時(shí)，原不等式有解.

解法三 由絕對(duì)值三角不等式可知：

︱x-3︱+︱x-4︱=︱x-3︱+︱4-x︱≥︱（x-3）+（4-x）︱=1.

要使︱x-3︱+︱x-4︱1.

本題還可以做以下變式：

︱x-4︱+︱x-3︱

變式1：若關(guān)于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱>a恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

解 令f（x）=︱x-4︱+︱x-3︱.

因?yàn)棣騲-4︱+︱x-3︱≥1，

所以fmin（x）=1.

若要使原不等式恒成立，只需使fmin（x）>a即可.

即a<1.

變式2：若關(guān)于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱

令f（x）=︱x-4︱+︱x-3︱，則fmin（x）=1.

若要使原不等式的解集為，只需使fmin（x）>a.

變式3：若關(guān)于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a有解，求參數(shù)a的取值范圍（a<1，解略）.

變式4：若關(guān)于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱1，解略）.

變式5：若關(guān)于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a的解集為，求參數(shù)a的取值范圍（a≥1，解略）.

題型二

︱x2+2x-3︱>a.

當(dāng)a<0時(shí)，得x∈R， ①

當(dāng)a≥0時(shí)，得x2+2x-3>0或x2+2x-3<-a.②

由①得 x>-1+4+a或x<-1-4+a.

由②得（x+1）2<4-a.

此時(shí)分類可知，若0≤a<4，解得-1-4-a

若a≥4，此不等式無(wú)解.

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，原不等式解集為R；

當(dāng)0≤a<4時(shí)，原不等式解集為{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a或-1-4-a

當(dāng)a≥4時(shí)，原不等式解集為{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a}.