談數(shù)學(xué)教學(xué)中的發(fā)散思維能力的培養(yǎng)

談鋒

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一.在教學(xué)中，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，也有助于培養(yǎng)開拓型現(xiàn)代人才.本文論述了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的意義，以及如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力.

【關(guān)鍵詞】發(fā)散思維；數(shù)學(xué)教學(xué)；能力培養(yǎng)

發(fā)散性思維是不依常規(guī)，尋求變異，對給出的材料，信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑去分析和解決問題的一種思維方式.長期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以集中思維為主要的思維方式，課本上的題目和材料的呈現(xiàn)過程大都循著一個(gè)模式，學(xué)生習(xí)慣于按照書上寫的與教師的方式去思考問題，用符合常規(guī)的思路和方法解決問題，這對于基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握是必要的，但對于數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)、智力能力的發(fā)展是不夠的，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力.

一、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的意義

（一）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的有效措施

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往只重視對學(xué)生集中思維的訓(xùn)練，即教師要求學(xué)生用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，用教過的方法來解決同一類問題，以達(dá)到熟練掌握的程度.這種思維訓(xùn)練對于夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)知識非常重要，但往往缺乏獨(dú)創(chuàng)性，結(jié)果缺少新鮮感，過多地約束了學(xué)生的思維，一般說來學(xué)生對此興趣不大，回味不濃，不會(huì)產(chǎn)生新的思維成果.而我們在教學(xué)中如果讓學(xué)生多考慮一些方法靈活多樣或答案不唯一的發(fā)散性問題，并在教師指導(dǎo)下做一些探究實(shí)驗(yàn)和民主討論，使學(xué)生在解決問題的過程中得到一些意外的收獲，那么就會(huì)使所學(xué)的數(shù)學(xué)知識“活起來”，解決問題的方法多起來，使學(xué)生真正領(lǐng)悟到主動(dòng)學(xué)習(xí)的愉悅，有利于發(fā)展學(xué)生的直覺思維，培養(yǎng)他們的參與意識，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

（二）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力是提高學(xué)生解決問題能力的重要手段

初中數(shù)學(xué)新大綱指出：“初中數(shù)學(xué)中要培養(yǎng)的創(chuàng)新意識主要是指對自然界和社會(huì)中的現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知、獨(dú)立思考，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，并用數(shù)學(xué)方法加以探索、研究和解決.”這段話告訴我們：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是要求學(xué)生會(huì)解決問題，還要鼓勵(lì)學(xué)生的好奇心，教會(huì)學(xué)生發(fā)散性地“從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題”，而對數(shù)學(xué)問題的探索、研究、解決的過程首先是一個(gè)發(fā)散的醞釀多種方案的過程，然后才是從中比較優(yōu)劣，確定最佳解決方案的過程，是發(fā)散和集中的有機(jī)組合.只要教師鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)腦筋，大膽質(zhì)疑，不斷加以探索和研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)更多更新的未知世界，思維能力在提出問題和解決問題的過程中得到更快地發(fā)展.

（三）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力是提高學(xué)生創(chuàng)造性能力的根本保證

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生說過：“任何一位科學(xué)家的創(chuàng)造能力，可用如下公式來估計(jì)：創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維能力.”美國心理學(xué)家吉爾密特也認(rèn)為：發(fā)散思維是從所給的信息中產(chǎn)生信息，其著重點(diǎn)是從同一來源中產(chǎn)生各種各樣的為數(shù)眾多的輸出，并且發(fā)生轉(zhuǎn)移作用.這兩種觀點(diǎn)從不同側(cè)面說明了同一個(gè)問題：發(fā)散性思維的優(yōu)劣是決定學(xué)生創(chuàng)造性能力大小的重要因素.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對學(xué)生的思考方向進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，使他們從不同的角度、不同的方向來尋求多種解決問題的方法，對于提高學(xué)生的創(chuàng)造性能力有很大的作用.可見，學(xué)生的創(chuàng)造性能力不是遙不可及的本領(lǐng)，只要我們在使學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，放大膽子讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性的思考和訓(xùn)練，大多學(xué)生的創(chuàng)造性能力就會(huì)得到不同程度的提高.

總之，發(fā)散思維是多方向性和開放性的思維方式，它同單一、刻板和封閉的思維方式相對立.它承認(rèn)事物的復(fù)雜性、多樣性和生動(dòng)性，在聯(lián)系和發(fā)展中把握事物.發(fā)散性思維仿佛具有眾多條的“觸角”，不拘泥于一個(gè)方向、一個(gè)框架而向四面八方延伸，可使學(xué)生的思維縱橫交錯(cuò)，構(gòu)成豐富多彩的、生動(dòng)的“意識之網(wǎng)，而這張網(wǎng)可以迅速、靈活地‘編出多種多樣的”意識產(chǎn)品.那么如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力呢？

二、培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力的基本途徑

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的能力主要是對發(fā)散性教學(xué)問題的討論.發(fā)散性數(shù)學(xué)問題，就是問題的條件或結(jié)論是不完整的或解題方法是不確定的有關(guān)問題.

（一）對問題的條件進(jìn)行發(fā)散

數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)碰到某一類問題，當(dāng)已知條件變化時(shí)，解決問題的角度、方法也會(huì)跟著變化.可以通過引導(dǎo)學(xué)生變化已知條件，去訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維.

例 6本不同的書，試給出適當(dāng)?shù)臈l件，確定排法的種數(shù).

學(xué)生在拿到這個(gè)題目后，討論會(huì)很熱烈，思維會(huì)很活躍，試著從各個(gè)不同角度去解決問題.比如：

（二）對問題的結(jié)論進(jìn)行發(fā)散

數(shù)學(xué)中的有些問題，在確定了已知條件后，沒有固定的結(jié)論.可讓學(xué)生根據(jù)已知條件，盡可能多地得出各種不同的結(jié)論.例如，在學(xué)完數(shù)列后，問學(xué)生： 數(shù)列3，3，3，3，……是什么數(shù)列？

學(xué)生就會(huì)對所學(xué)的數(shù)列知識進(jìn)行回顧，陸續(xù)會(huì)做下列回答：

a.常數(shù)列 b.無窮數(shù)列 c.公差為0的等差數(shù)列

d.公比為1的等比數(shù)列 e.有界數(shù)列 f.通項(xiàng)公式為an=3的數(shù)列

結(jié)論的發(fā)散有利于增加思維的廣度和深度，否則思維會(huì)纏繞在“一棵樹”上，無法散開.

（三）對圖形進(jìn)行發(fā)散

圖形的發(fā)散是指圖形中某些元素的條件不斷變化，從而產(chǎn)生一系列的新圖形.

例如，在雙曲線概念的教學(xué)中，給出雙曲線的定義“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2 的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于|F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線”以后，通過演示實(shí)驗(yàn)，做如下啟發(fā)、引申：

（1）將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？（兩條射線）

（2）將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？（軌跡不存在）

（3）去掉絕對值，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？ （只有一條）

（4）若令常數(shù)為零，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？ （線段F1F2的中垂線）

了解幾何圖形的演變過程，不僅可以舉一反三，觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而開拓了學(xué)生的發(fā)散性思維.

（四）對解法進(jìn)行發(fā)散

解法的發(fā)散即一題多解，就是同一題目，盡可能考慮多種不同的解法.教師平時(shí)在教學(xué)中要重視對學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，教會(huì)學(xué)生多途徑、多角度去分析問題，靈活運(yùn)用已有的知識技能，找出盡可能新、盡可能多、盡可能好的解題方法，這樣，既可幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，達(dá)到對知識的融會(huì)貫通，又可發(fā)展其發(fā)散性思維.

這些方法不但使學(xué)生掌握了無理不等式解法，而且?guī)椭鷮W(xué)生復(fù)習(xí)了集合，還應(yīng)用了換元法.解法中具有大量信息，知識覆蓋廣，活躍了學(xué)生思維.

三、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的主要方法

（一）利用類比進(jìn)行發(fā)散

所謂類比，是指由一類事物具有某種屬性，借以推測與其類似的事物也可能具有這種屬性的一種推理方法，它常稱為類比推理，是一種從特殊到特殊的推理方法，其結(jié)論具有或然性，是否正確需要經(jīng)過嚴(yán)格的證明或者實(shí)踐檢驗(yàn).

在數(shù)學(xué)教材中，存在著并列關(guān)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)對象，它們之間，無論是數(shù)學(xué)內(nèi)容和教材處理都很相似.如等差數(shù)列和等比數(shù)列，它們的性質(zhì)、重要結(jié)論有許多可以類比的地方.因此，在等比數(shù)列的教學(xué)中，不需要像等差數(shù)列那樣重新開始，而可以啟發(fā)學(xué)生對照等差數(shù)列的概念、公式和性質(zhì)類比到等比數(shù)列中來，從而獨(dú)立自主地獲得知識.

教師不僅要在教學(xué)上運(yùn)用類比推理，還要?jiǎng)?chuàng)造條件，讓學(xué)生自己去學(xué)會(huì)類比，并在積極的參與中發(fā)掘拓展自己的潛能.可以設(shè)計(jì)以下幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： 一是設(shè)計(jì)類比表格，把兩個(gè)對象可以類比的項(xiàng)目列出來，幫助學(xué)生在閱讀中進(jìn)行比較；二是指導(dǎo)學(xué)生閱讀，在閱讀中填寫類比表格；三是組織學(xué)生進(jìn)行討論，交流閱讀心得和類比表，教師及時(shí)給予指導(dǎo)；四是通過練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)類比在解決數(shù)學(xué)問題中的作用.

（二）利用聯(lián)想進(jìn)行發(fā)散

聯(lián)想，是類比的進(jìn)一步展開，是根據(jù)命題的具體情況，聯(lián)系有關(guān)的定義和規(guī)律，或聯(lián)系已經(jīng)證明過的命題、證題的某些技巧與模式等，從而獲得解決問題的方法.

就數(shù)學(xué)來說，其概念、命題之間存在著各種各樣的聯(lián)系： 既有本質(zhì)的也有現(xiàn)象的，既有縱向的也有橫向的，等等.數(shù)學(xué)對象的種種聯(lián)系的內(nèi)化，是數(shù)學(xué)聯(lián)想方法的客觀基礎(chǔ).正是由于這些聯(lián)系，使得人們能夠通過聯(lián)想方法達(dá)到對事物由此及彼的認(rèn)識和把握.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生多思多想，獨(dú)立地思考、分析問題，改變思維保守、封閉的狀態(tài).例如，在求函數(shù)的最大、最小值時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生注意聯(lián)想下列一些方法： a.利用配方法；b.利用二次方程的判別式；c.利用三角函數(shù)的有界性；d.利用基本不等式；e.利用導(dǎo)數(shù)；等等.

數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，在內(nèi)容和方法上，是相互滲透、密切相關(guān)的.因此在運(yùn)用知識解決問題時(shí)，既要注意橫向聯(lián)系，又要注意縱向聯(lián)系，達(dá)到思維的流暢.

（三）利用歸納猜想進(jìn)行發(fā)散

歸納法是通過對一些個(gè)別的、特殊的情況加以觀察、分析，從而導(dǎo)出一個(gè)一般性結(jié)論的方法，是一種從特殊到一般的推理方法.

猜想，是帶有想象成分的預(yù)測，是指以某些已知的事實(shí)和一定的經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，對問題作出推測性的判斷.

猜想既不同于已被實(shí)踐證明了的科學(xué)結(jié)論，也不同于毫無根據(jù)的胡猜亂想.猜想具有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)： （1）具有一定的科學(xué)性； （2）具有一定的推測性.結(jié)論可能正確也可能錯(cuò)誤.欲斷定猜想得到的結(jié)論正確，必須經(jīng)過嚴(yán)格的演繹證明； 欲否定猜想得到的結(jié)論，舉出一個(gè)反例即可.

人們運(yùn)用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想.

數(shù)學(xué)中的很多定理、法則、公式等，基本上是由對特例的觀察、研究、分析開始，繼而歸納猜想出一般結(jié)論，最終用演繹法或數(shù)學(xué)歸納法給出嚴(yán)格的證明.歸納猜想具有很大的創(chuàng)造性，其創(chuàng)造性不僅表現(xiàn)在由經(jīng)驗(yàn)材料上升到一般原理，而且對于從范圍較窄的一般原理上升到更為普遍的一般原理也具有一定的作用.在教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容鼓勵(lì)學(xué)生大膽歸納猜想，引導(dǎo)學(xué)生通過猜想去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.

綜上所述，通過對條件、結(jié)論、圖形、解法等方面進(jìn)行發(fā)散，并借助類比、聯(lián)想、歸納猜想等訓(xùn)練發(fā)散性思維的方法，激發(fā)靈感的火花，從而拓展了學(xué)生的發(fā)散性思維，增長了他們的創(chuàng)新能力.

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