巧用畫板工具促使情境問題數(shù)學(xué)化

李日松

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》在“課程的基本理念”中倡導(dǎo)創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化、積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，而畫板工具與數(shù)學(xué)知識的整合使學(xué)生在“玩中學(xué)數(shù)學(xué)”成為可能.

為了解當(dāng)前高中數(shù)學(xué)情境性問題的現(xiàn)狀，特設(shè)計調(diào)查問卷，受測對象為一級達(dá)標(biāo)校普通班學(xué)生，樣本容量為50人.通過數(shù)據(jù)分析，64%認(rèn)為老師在教學(xué)過程中偶爾使用或者一般不用問題情境來輔助教學(xué).對“知識的記憶是否依托于情境”有80%認(rèn)為與教師授課時引用的情境有關(guān).在“教師講述的情境屬于哪種類型”中，30%認(rèn)為是模擬型情境，而學(xué)生對此并不是很感興趣；32%認(rèn)為因為進度問題教師給出的是純數(shù)學(xué)例題；真正與學(xué)生現(xiàn)實生活相關(guān)的只占27%.究其原因，主要是教師本身對此類知識的匱乏.

畫板工具對情境創(chuàng)設(shè)的必要性可從兩個方面來看：從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).數(shù)學(xué)理論是通過人們自身數(shù)學(xué)活動，從已有數(shù)學(xué)對象及關(guān)系出發(fā)而產(chǎn)生的，但數(shù)學(xué)的抽象性成為數(shù)學(xué)難學(xué)的一個重要因素，而數(shù)與形是研究問題的兩個側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來去分析、解決問題從而易于學(xué)生理解掌握.從數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)看，數(shù)學(xué)教學(xué)是以學(xué)生已有知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)的過程.教師的任務(wù)是對數(shù)學(xué)知識建構(gòu)進行設(shè)計和組織，把書本的內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂刑剿餍缘臄?shù)學(xué)問題，并將這些問題置于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，而畫板工具即可為情境問題數(shù)學(xué)化創(chuàng)造舞臺.

下面結(jié)合四個教學(xué)案例來具體呈現(xiàn)畫板工具在高中數(shù)學(xué)人教版A版必修2創(chuàng)設(shè)情境中的應(yīng)用：

1.巧用幾何畫板“軌跡”按鈕，探究數(shù)學(xué)概念本質(zhì)

案例1 習(xí)題4.2 A組4題：求圓心在直線x-y-4=0，并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0交點的圓的方程.

此題傳統(tǒng)方法是先求兩圓交點，再利用弦的中垂線過圓心與已知直線方程聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，進而求出圓的方程.如何讓學(xué)生理解圓系方程呢？為了突出圓系方程的一般性，利用畫板工具構(gòu)造兩個相交圓，兩圓的一般方程分別為x2+y2+D1x+E1y+F1=0及x2+y2+D2x+E2y+F2=0，通過幾何畫板教師可以現(xiàn)場操作：分別畫出以-D12，-E12為圓心、D21+E21-4F12為半徑及以-D22，-E22為圓心、D22+E22-4F22為半徑做圓.根據(jù)恒過兩圓交點（定點）的圓，其圓心必在弦的中垂線上，并以中垂線上任意一點為圓心、定點為半徑做圓，追蹤圓的軌跡拖動圓心，就可以得出上圖所示的

定點的一些列圓.學(xué)生不禁感嘆圓系方程的美，教師因勢利導(dǎo)給出圓系方程的一般形式，學(xué)生在探究中真正把握了圓系方程的本質(zhì).教師還可引導(dǎo)學(xué)生思考λ=-1時，觀察分析求出的直線方程與相交圓公共弦的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的課堂教學(xué)原則.

2.善用幾何畫板“動畫”按鈕，突破數(shù)學(xué)難點

案例2 習(xí)題4.2 B組3題：已知圓x2+y2=4，直線

l：y=x+b，當(dāng)b為何值時，圓x2+y2=4上恰好有三個點到

直線l的距離都等于1？

此題直接求解并不容易，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)該題的問

題情境：分別構(gòu)造兩條直線l1：y=x+b+1及l(fā)2：y=x+b-1，將三條

直線隨著b的變化分別平移探究l1和l2與圓的交點之和，從

整個平移過程知b有兩解，再利用方程組聯(lián)立即可求解.

教師引導(dǎo)學(xué)生探究平移過程l1，l2與圓相交的幾何意義，充分培養(yǎng)了學(xué)生的分類討論、數(shù)學(xué)結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想.

3.善用英壬畫板空間旋轉(zhuǎn)，多角度呈現(xiàn)空間立體

案例3 直線與直線的位置關(guān)系中異面直線的定義.

按照異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條

直線叫作異面直線.由于觀察角度的限制很多學(xué)生對異面

直線很難理解，應(yīng)用英壬畫板通過旋轉(zhuǎn)空間，讓學(xué)生從不同角度感受、體會異面直線，從活動中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

對于高中數(shù)學(xué)來說，由于高中教學(xué)進度的現(xiàn)狀使得教師走向了兩極化：一方面，在大多數(shù)課堂中缺少情境，每堂課都從抽象的概念出發(fā)，使得學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣日益下降，班級數(shù)學(xué)成績成兩極化；另一方面，教師在課堂中雖引用了情境但情境為“一次性消費”，對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)并沒有給出很好的過渡，即由“現(xiàn)實世界”向“數(shù)學(xué)世界”（特萊弗斯稱之為“橫向數(shù)學(xué)化”）進而向“數(shù)學(xué)體系”（ 特萊弗斯稱之為“縱向數(shù)學(xué)化”）過渡時存在“斷層”.現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點是將情境性問題作為學(xué)生再創(chuàng)造的依托，而有指導(dǎo)的再創(chuàng)造能為學(xué)生提供一種跨越非形式知識和形式數(shù)學(xué)知識間鴻溝的方法，幫助學(xué)生逐漸掌握形式數(shù)學(xué).在利用畫板工具輔助教學(xué)時，不可避免涉及多媒體輔助教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的沖突問題.本人覺得兩者是可以和諧存在的，但需注意以下幾點：

1.因課而異，合理選擇軟件

在平面領(lǐng)域幾何畫板及GGB軟件是這方面的“巔峰之作”，而空間幾何則是英壬畫板的長項，對于概率中的圖形等Office辦公軟件、GGB即可完成.但對于學(xué)生必須要掌握的解題、畫圖步驟等知識（如平面的畫法），還需教師親自板書、畫圖.

2.充分發(fā)揮學(xué)生主體、教師主導(dǎo)作用

畫板工具輔助教學(xué)不應(yīng)只是教師展示多媒體的過程，如果條件合適完全可以讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，通過學(xué)生上臺改變畫板工具的自變量進行自主探究，這也是畫板工具與傳統(tǒng)PPT課件最大的區(qū)別.

3.因?qū)W生而異，合理修飾課件

課件選擇、制作需因?qū)W生、班級而異，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平的差異，合理引用情境，合理裝飾課件.

4.加強畫板工具培訓(xùn)、共享、交流，減少教師備課工作量

目前盡管PPT及隨書課件的資源很多，但由畫板工具生成的備課資源還較少，并且供交流的平臺也不多，而初次利用畫板工具設(shè)計教案費時費力，這也是限制廣大中學(xué)教師運用畫板工具的瓶頸.因此，加強畫板工具的培訓(xùn)、共享、交流擺在當(dāng)前現(xiàn)實的位置.

畫板工具作為數(shù)學(xué)多媒體輔助教學(xué)的重要部分，受到越來越多中學(xué)教師的關(guān)注，在實際教學(xué)中合理、適當(dāng)選擇畫板工具并與傳統(tǒng)認(rèn)知工具相補充、結(jié)合變得越來越重要.只要把握好多媒體輔助教學(xué)的“度”，完全可以在數(shù)學(xué)化的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生感到“數(shù)學(xué)好玩”.

【參考文獻】

[]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]徐斌艷.“現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育”中基于情境性問題的教學(xué)模式分析[J].外國教育資料，2000（4）.

[3]張小兵.幾何畫板創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的研究[D].江蘇：南京師范大學(xué)，2005.